7.1 正切-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

第7章 锐角三角函数 7.1正切 第1课时正切(1) 课堂演练 1.(教材例题变式)(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3,BC=4,则tanA 的值为 () A告 B. C.3 D.4 M B D (第1题) (第3题) (第6题) 2.在Rt△ABC中，若各边的长度都扩大到原来的2倍，则锐角∠A的正切值 A.扩大到原来的2倍 B.扩大到原来的4倍 C.没有变化 D.缩小到原来的号 3.如图，过∠MAN的边AM上的一点B(不与点A重合)作BC⊥AN于点C,过点C作 CD⊥AM于点D,则下列线段的比等于tanA的为 ) A黑 R C.D D D.BC 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,BC=12,则tanA= 5.在R△ABC中，∠C=90,anA=号，BC=6,则AC= 6.如图，在4X4的网格图中，点A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值为 7.(1)根据下图中所给的条件，分别求出∠A、∠B的正切值. (2)通过以上计算，你有什么发现吗？ B 13 √119 3 12 图1 图2 《81 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>)>》》 课后拓展 8.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5,AC=6,则tanB的值为（) A号 B号 c D.青 B D B (第8题) (第9题) (第11题) 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C 在OB上，OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P 的坐标为(1,1)，则tan∠OAP的值为 () A停 收号 c D.3 10.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,则tanB的值为 11.如图，在边长相同的小正方形网格图中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点 P,则tan∠APD的值为 12.在等边三角形ABC中，点D在射线CA上，且AB=2AD,则tan∠DBC的值为 13.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,E为边AD上一点，沿CE将△CDE折叠，使 点D正好落在边AB上的点F处，求tan∠AFE的值. Da-- 14.如图，已知直线1∥12∥13∥14，相邻两条平行直线间的距离均为h,矩形ABCD的四个 顶点分别在这四条直线上，AB=6,BC=8,求tana的值. B 15.如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CED,DE=CE,连接BE,求tan∠EBC的值. 82》 第7章锐角三角函数 第2课时正切(2) 课堂演练 1.(教材例题变式)用计算器计算：tan15°≈ ,tan50°≈ ,tan56.5°≈ ,tan7218'30"≈ .(结果精确到0.01) 2.如图，A、B、C在正方形网格的格点上，连接AC、AB,则tan∠BAC的值为 ) A② 5 B.2 c (第2题) (第3题) (第6题) (第7题) (第8题) 3.如图，点A,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为，ana=,则2的值为（） A.1 B.1.5 C.2 D.3 4.比较大小：tan37° tan53°.（填“>”“<”或“=”） 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且c=3a,则tanA的值 为 6.如图，在R△ABC中，∠C=90°，tanA=号，AC-15,则BC的长为 7.如图，在R△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB于点D,CD=3,tanA=号，则AB的长 为 8.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，半径为2的⊙A与线 段BC交于点F,则tan∠DEF= 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，D为CA延长线上的一点，且AD=AB. (1)求∠D的度数. (2)求tan15的值.（结果保留根号） 《83 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>)>》》) 课后拓展 10.如图，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O,则图中线段的比不能 表示tan∠ABD的是 () E A.BE B.AD c D. OD OE D (第10题) (第11题) (第12题) (第13题) I1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,D是边AC上一点，连接BD.若tanA= 2, tan∠ABD=},则CD的长为 () A.2√5 B.3 C.√5 D.2 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,点D在AC上，连接BD,使得BD=AC,以 AC为边向外作△ACE,若CE∥BD,tanE=2,则边AE的长为 13.如图，点A在反比例函数y=4(x>0)的图像上，点B在反比例函数y= 9(x<0)的 图像上，且∠AOB=90°，则tan∠OAB的值为 14.已知△ABC为钝角三角形，其中∠A>90°，有下列条件： ①AB=10:②AC=65;③tanB-是：④anC-2 (1)从上述条件中至少选择 个条件，可以求出边BC的长. (2)你选择的条件是 (填序号)，并写出求解过程。 15.在△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC= (1)如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N.若B恰好是 线段MN的中点，求tan∠BAM的值. (2)如图2，P是边BC的延长线上一点，∠APB=∠BAC,求tan∠PAC的值， 图1 图2 84》9.(1)证明：如图，延长AO并延长交⊙O于点E,连接BE ,BD=AB,∴.∠D=∠BAD,.∠ABC=∠D+∠BAD= 2∠BAD.,∠ABC=2∠C,∴.∠C=∠BAD.,∠E=∠C, ∴∠E=∠BAD.:AE为直径，∴∠ABE=90°，∴.∠E十 ∠BAE=90°，∴.∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°， ∴AE⊥AD.:AE为直径，∴.AD是⊙O的切线.(2)由(1) 可得，BD=AB=5,AD=AC=8,∠BAD=∠C.又：'∠ADB= ∠CDA△DAB△DCA,∴器-品即号=品解得 CD-:BC=CD-BD=-5=9如图，过点A作 AH LCD于点H,则CH-号CD=合×兽=在 Rt△AHC中，由勾股定理得AH=√AC-C平= √⑧-（号y-.:AE为直径，∠ABE=90,:∠E= ∠C,∠ABE=∠AHC,△ABE△AHC,怎-错即 S-喜解得AE=空0A=合AE=专×弯-得，即 8 ⊙0的半径为票。10.()：在等腰直角三角形ABC中， AB=AC,∠A=90,BC=4,.AB=AC=号BC=号X42 2 2E.:D.N分别是AC,BC的中点，AD=之AC=号× 22-E,BN=BC=合×4=2.：AD=aBN,a=银 AD .(2):a=√2，AD=aBN,AD=√2BN.设BN=x,则 AD=√2x,CN=BC-BN=4-x.由(1)知，AB=AC=2V2, .∠B=∠C=45°，CD=AC-AD=22-√2x.M是AB 的中点，∴AM=BM=2AB=7X22=/E.当点C、DN 为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：①当△CDNc∽ △BN时，则品器：2-4与号，此方程无解，不 符合题盘，O当△CND△BMN时，则惢-品.后- √2 2D-区工，解得x=3十5（不符合题意，舍去）或x=3-5, .BN=3-√5.综上所述，BN的长为3-√5.(3)，a=√2， AD=aBN,.AD=√2BN.如图，作DE∥BC,AE⊥DE于 点E,连接BE,则∠ADE=∠C=45°，∴，△AED为等腰直角 三角形，∴AD=√2DE=√2AE,∠DAE=45°，∴.AE=DE= BN,∠BAE=45°.又，DE∥BN,∴.四边形EDNB为平行四 边形，∴.BE=DN.将AB绕点B顺时针旋转90°得到BF,连 接NF、MF,则BF=AB=2√2，∠ABF=90°.，∠ABC=45°， ∴∠NBF=45°=∠BAE.又：'AB=BF,AE=BN,.△AEB≌ △BNF,∴.BE=NF,∴.DN=NF,∴.MN+ND=MN+NF≥ MF,.当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小，为MF 课时提优计划作业本·数 3 的长.在Rt△MBF中，由勾股定理得MF=√BM+BF= √(W2)2+(2√2)2=√0，.MN+ND的最小值为√10. 第7章锐角三角函数 7.1正切 第1课时正切(1) 课堂演练 1.C2.C解析：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度 都扩大2倍，那么锐角∠A的大小不变，∴其正切值不变. 3.C解析：BC⊥AN,∴∠ABC+∠A=90°.，CD⊥AM, ∴∠ABC+∠DCB=90°，.∠A=∠DCB,∴.tanA= tan∠DCB=器4专解析：由勾股定理得AC= VAB-Bc=V1-g=9mA-瓷-寺54 解析：mA-%,C=6是=号AC=46号 解析：如图，连接BC,由网格可知，BC⊥AC.设网格图中小正 方形的边长为a,则BC=√a2+(2a)严=√5a,AC= V2a+(4a=25a.在Rt△ACB中，tan∠BAC=BC= AC 5a1 25a21 7.(I)图1：tanA=BC=2, 3 AC3,tanB=B、 2;图2：tanA= AC 5 119 (2)互余两角 的正切值互为倒数 课后拓展 8.C解析：，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴.AB=2CD=2X5=10,∴.由勾股定理得BC=√JAB-AC= V10-6=8∴mB-瓷-g=是 ,9.C解析：如图， 过点P作PQ⊥x轴于点Q.:OP∥合AB,△OCPn △BCA瓷-瓷=由题意，得∠A0C=∠A0P=90 00/PQ8-咒=合：点P的坐标为1,1)， ∴.PQ=0Q=1,∴.A0=2,∴.AQ=A0+0Q=2+1=3, 学·九年级下册(SK版) 3· tan∠OAP=-PQ_1 AQ 3 m∠BCF-瓷-各=子AFE=是14如图，过 点C作CF⊥直线h于点F,反向延长CF交直线L4于点E, 则∠CFD=90°.又，直线4∥L4,∴∠BEC=180°-∠CFD= B 180°-90°=90°，.∠BEC=∠CFD,∠a+∠BCE=90°.又由 矩形的性质，得∠BCD=90°，∠BCE+∠DCF=90°， ∠CF-∠a△BECACFD,8器-8器即凭-晋， ∴BE=子A在R△BEC中，ana (第9题) (第10题) D 10.号解析：如图，过点A作AD1BC于点D.:在△ABC 5 中，AB=AC=13,BC=10,∴.BD=5.在Rt△ABD中，由勾股 定理得AD=√AB-BD=√3-子=12，∴.tnB= BD B 导1.2解析：如图，连接BE交CD于点R.:四边形15如图，过点E作P⊥BC,交C的延长线于点R.设 EF=a.,△CED是等腰直角三角形，∴.∠DCE=45°.在正方 BCED是正方形，∴.DF=CP=2CD,BF=BE,CD=BE, 形ABCD中，∠BCD=90°，.∠DCF=90°，∴.∠ECF=45, BE⊥CD,.BF=CF.由题意可知，AC∥BD,∴.△ACP∽△CEF是等腰直角三角形，CF=EF=a,∴.DE=CE=√2a △BDP,8器-肥-日器-专DP-PFCF=在△CsD中，南勾股定理得CV2O中20-a, ,∴.BC=2a,∴.BF=BC+CF=2a十a=3a.在Rt△BFE中， 之BF在Rt△PBF中，tam∠BPF-器-2.：∠APD= ∠BPF,'.tan∠APD=2. tan∠EBC-BF-3a3 2.35或号 解析：如图1，当点D在线段AC上时， 第2课时正切(2) △ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC,∠C=60°，∵AB 课堂演练 2AD,∴.AD=CD,.BD⊥AC,∴∠BDC=90°，∠DBC= 1.0.271.191.513.142.D解析：如图，过点C作 30,tan∠DBC-号如图2，当点D在线段CA的延长线上 CE⊥AB于点E.设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直 时，过点D作DE⊥BC于点E.,△ABC是等边三角形，∴AB= 角三角形，CE=BE=号，AB=+3=3厄，AE= AC=BC,∠C=60°..'AB=2AD,∴.可设AD=x,则AB= AC=BC=2x,DC=3x.DELBC,∴.∠DEC=90°，∴∠CDE= AB-BE=3√2二号=2，在Rt△ABC中，tan∠EAC== AE 30BC=DC=号EBD=39,BE=专 2 n∠DBC-距-3.练上所述，am∠DBC的值为3V5 5W2 5 2 3.C解析：过点A作AB⊥x轴，垂足为B.,点A(t,3), AB=3,0B=ma=6常=2=号=24< 解析：锐角的正切值随着角度的增大而增大，37°<53°， 图1 图2 tam37r<am53.5.9 解析：在Rt△ABC中，∠C= 13.由题意得，CF=CD=AB=10,∠EFC=∠D=∠B=90°， ∴.∠AFE+∠BFC=∠BFC+∠BCF=90°，∴.∠AFE= 90,c-3a,b-√F-a-√3a2-a=2W2a,∴tamA-号 ∠BCF.在Rt△BCF中，由勾股定理得BF=√C一BC= √102-8=6，.AF=AB-BF-10-6=4.在Rt△CBF中，2W2a4· 《12解折：在R△ABC中，mA-C-普， 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ●34 AC=15,则S-音BC=127号解折：CD1AB,封265，解得6度AC不符合题高合 去)，.AD=6,CD=2x=12.AB=10,.BD= tm∠BCD=80∠ACB=90,:∠A=∠BCD, √AB-AD=√/102-6=8，∴.BC=CD+BD=12+8=20. m☑BcD=mA-号四品号BD-2, AD=号AB=AD叶BD=号8合解析：由题意，得 C<DeR期<DEF-aDaC-器-号- 15.(1)AM⊥MN,CN⊥MN,∴.∠M=∠N=90°， ∴.∠MAB+∠ABM=90°.，∠ABC=90°，.∠NBC+∠ABM= 9.(1)AD=AB,∴.∠D=∠ABD.∠BAC=30°， ∴.∠ABD十∠D=30°，∴.∠D=15°.(2)设BC=a.在 r∠MAB=∠NBC,△AMBO△BNC,x-S= Rt△ABC中，：∠BAC=30°，.AB=2a,AC=√3a,.AD= a∠BAC=分：B是线段MN的中点，BM=BN,∴在 AB-2a在R△BCD中，mD-器-2a5a2店 =1 Rt△AMB中，tan∠BAM= BM BN BC 1 AM AM AB=之.(2)如图， 2-√3，即tan15°=2-√3. 过点C作CD⊥AC交AP于点D,过点D作DE⊥BP于点 课后拓展 10.D11.C解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E.在 E.aBAC分，∠APB=∠BAC,%-部-合设 BC=x,则AB=2x,BP=4x,∴.CP=BP-BC=4x-x=3x. R△ABc中，mA=子，BC=5,瓷-是=日AC= 同理(1)可得，∠BAC=∠ECD,∴.∠APB=∠ECD.DE⊥ 25.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√JAC+BC= BP,CE=PE=合CP=号x同理(1)可得，△MBCn √5P+65=5又：amA-器-合，m☑ABD 3 器=号AE=2DE,BE=3DE,AB=AE+BE=5DE, △cE-- 2x =是，在R△ACD中， .DE=1,AE=2.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD= tan∠PAC-C23 AC4· √AE+DE=√I2+2=√5，∴CD=AC-AD=2V5 √5=√5. D B E 7.2正弦、余弦 12.√5解析：如图，过点A作AM⊥CE,垂足为MAML CE,∠ACB=90°，.∠ACB=∠AMC.CE∥BD,∴.∠BDC 第1课时正弦、余弦(1) (∠DCB=∠CMA, 课堂演练 ∠ACM.在△BCD和△AMC中， ∠BDC=∠ACM, 1.C解析：·CD⊥AB,∴.∠CDA=∠CDB=90°，∠A+ BD-AC, ∠ACD=90°.又，∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°， ∴.△BCD≌△AMC(AAS),∴.AM=BC=2.在Rt△AME中， ∠D=∠AnD血A畏是-%即C选项 mE==2ME=1AE=+=5, 符合题意，A、B、D选项均不符合题意.2.A解析：，∠C 90,AC=12,BC=5AB=V6+g=18osB=88 33.C解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC, 5 AB=VAC+BC-后BC则snA-s-得4a57 13.号解析：过点A作AE⊥x轴，过点B作BFLx轴，垂5.(1)5写解析：：∠C=90,c=V十= 55 足分别为EE由题可得△AOEn△OBF,∴=( OB c方-号，sinB--是-￥5 √2+F=5,∴cosA=b=1-5,sin cW551 由反比例函数的性质知SuE=合X4=2,Sam=号×g= (2) 2 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=√2，则 号，=告，8品=景在R△A0B中， 2’…SA0BF OB smA=8-受。6号解析：设小正方形的边长为1如 a0AB-8是.14(13(2)（答案不唯-）0@0 图，过点C作CH⊥AB于点H.由图得，AH=3,CH=4.在 求解过程如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x.:Rt△AHC中，由勾股定理得AC=√A十C严=√4+3= mC-合，CD=2,由勾股定理得AD+CD=AC,即5sA-能-号 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 35·