7.2 正弦、余弦-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

第7章锐角三角函数 7.2正弦、余弦 第1课时正弦、余弦(1) 课堂演练 1.(教材练习变式)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,下列各组线段的 比不能表示sin∠BCD的是 ( ) A腮 BC B. c畏 (第1题) (第6题) (第7题) 2.在△ABC中，若∠C=90°，AC=12,BC=5,则cosB的值为 A房 R号 c将 D. 12 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC,则sinA的值为 A司 B吉 c D. 25 5 4.用计算器计算：sin35°≈ .(结果精确到0.01) 5.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2,b=1,则cosA= sin B= (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=√2，则sinA= 6.如图，在6×6的正方形网格图中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方 形边的中点，则cosA= 7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,底边BC=6,则底角的余弦值为 8.分别求出图中∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值， 2 课后拓展 9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰 三角形ABC是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 () A B.15 4 c D. 2 2 《85 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)) 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P(一a,a)(a>0),连接AP 交y轴于点B.若AB:BP=2：1,则sin∠PAO的值为 () A B⑤ C.10 D. 3√/10 5 10 10 以 d (第10题) (第11题) (第12题) 1.如图，在△ABC中，∠C=90”,点D在边BC上，AD=BC=5,cos∠ADC=号，则sinB 的值为 12.如图，l1∥12∥L3,相邻两条平行线之间的距离相等.若等腰直角三角形ABC的三个顶 点分别在这三条平行线上，则sina= 1B.如图，AD是△ABC的中线，anB=号，osC-号，AC=E. (1)求BC的长 (2)求∠ADC的正弦值. 14.如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，P是⊙O外的一点，PC⊥AB,垂足为C, PC与BD相交于点E,连接PD,且PD=PE,延长PD交BA的延长线于点F. (1)求证：PD是⊙O的切线 (2)若DF=4,PE=号，cos∠PFC-专，求OC的长. 86》 第7章锐角三角函数 第2课时正弦、余弦(2) 课堂演练 1.(教材练习变式)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=6,下列各式正确的是() A.sin A-号 B.cosA=-号 CmA=号 D.tan A= 2.在R△ABC中，∠C-90,amA-是，则cosA的值为 A是 号 c是 n器 3.△ABC在正方形网格中的位置如图所示(A、B、C均在格点上)，AD⊥BC于点D.下列四 个选项中正确的是 () A.sin a=cos a B.sin a=tan a C.sin B=cos B D.sinB=tanβ D (第3题) (第4题) 4如图，在△ABC中，ADLBC于点D,如果BD=9,DC=5,osB=号，E为边AC的中 点，那么sin∠EDC的值为 ()》 A号 &晶 c D.12 5.比较大小.（填“>”“<”或“=”） (1)c0s50° c0s40°； (2)sin25° c0s25°. 6在R1△ABC中，∠C=90,若snA-号，则cosB的值为 7.在R△ABC中，∠C-=90,osB=号，AC=6,则△ABC的面积为 8.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所 成的锐角为α，则夹角α的正弦值为 9.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,求sinB、cosB、sin∠BAC 2 csAC的值 《87 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>)>)》》 课后拓展 10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm,AB=8cm,把边AB翻折，使边AB落在边 BC上，点A落在点E处，折痕为BD,则sin∠DBE的值为 () A &洛 C.373 73 D.10 10 D y B B A O (第10题) (第11题) (第12题) (第13题) 山.如图，直线)=x十3与x轴轴分别交于A,B两点，则o∠BA0的值为（） A.等 B c D是 12.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与 CD相交于点P,则sin∠APC的值为 13.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16.若∠BPC=)∠BAC,则sin∠BPC的值 为 14.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC-14,AD=12,mB-青 (1)求线段DC的长. (2)求tan∠EDC的值. 15.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，已知点A的横坐 标为1，作直线OC与边AD交于点E. (1)求∠OCB的正弦值和余弦值. (2)过O、D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为a,求tana的值. 88AC=15,则g-音BC=127号解折：CD1AB,封265，解得6度AC不符合题高合 去)，.AD=6,CD=2x=12.AB=10,.BD= tm∠BCD=80:∠ACB=90,∠A=∠BCD, √AB-AD=√102-6=8，∴.BC=CD+BD=12+8=20. m☑BcD=mA-号四品号BD-2, AD=号AB=AD叶BD=号8合解析：由题意，得 D B cC<DeR期<DEF-mDaC-器-号-子 15.(1)AM⊥MN,CN⊥MN,∴.∠M=∠N=90, ∴.∠MAB+∠ABM=90°.，∠ABC=90°，.∠NBC+∠ABM= 9.(1)AD=AB,∴.∠D=∠ABD.∠BAC=30°， ∴.∠ABD十∠D=30°，∴.∠D=15°.(2)设BC=a.在 r∠MAB=∠NBC,△AMBO△BNC,-S= Rt△ABC中，：∠BAC=30°，.AB=2a,AC=√3a,.AD= a∠BAC=分：B是线段MN的中点，BM=BN,在 AB-2a在R△BCD中，mD-器-2a5a2店 =1 Rt△AMB中，tan∠BAM=BY-BY-BC=L AM AM AB-2. (2)如图， 2-√3，即tan15°=2-√3. 过点C作CD⊥AC交AP于点D,过点D作DE⊥BP于点 课后拓展 10.D11.C解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E.在 E.nBAC-合∠APB=∠BAC%-部-子设 R△1c中，mA=专，BC-5,%-是=号AC- BC=,AB=2x,BP=4x,..CP=BP-BC=4x-x=3x. 同理(1)可得，∠BAC=∠ECD,∴.∠APB=∠ECD.DE⊥ 2√5.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC+BC= BP,CE=PE=CP=号x同理(1)可得，△ABCn √25r+65=5.又：tmA-罡-合，m∠ABD 3 器=号AE=2DE,BE=3DE,AB=AE+BE=5DE, △CB爱-器-差-在△ACD巾， 2x .DE=1,AE=2.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD= tan∠PAC-CP-3 AC 4 √AE+DE=√I2+2=√5，∴.CD=AC-AD=2V5 √5=√5. D E 7.2正弦、余弦 12.√5解析：如图，过点A作AM⊥CE,垂足为MAML CE,∠ACB=90°，.∠ACB=∠AMC.CE∥BD,∴∠BDC 第1课时正弦、余弦(1) (∠DCB=∠CMA, 课堂演练 ∠ACM.在△BCD和△AMC中， ∠BDC=∠ACM, 1.C解析：·'CD⊥AB,∴.∠CDA=∠CDB=90°，∠A+ BD=AC, ∠ACD=90°.又，∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°， ∴.△BCD≌△AMC(AAS),∴.AM=BC=2.在Rt△AME中， ∠D=AnD血A畏是-%即C选项 mE==2ME=1AE=+=5, 符合题意，A、B、D选项均不符合题意.2.A解析：，∠C= 90,AC=12,BC=5AB=V6+g=18osB=8器8 33.C解析：在R△ABC中，∠C=90,AC=2BC, 5 AB=VAC+BC-后BC则snA-s-得4a57 13.号解析：过点A作AE⊥z轴，过点B作BFLx轴，垂5.(1)5写解析：：∠C=90,c=V十= 55 足分别为E,R由题可得△AOEn△OBF,∴=(9 OB· c方-号，smB=-是-5 √2+1F=5,∴osA=b=1-5,si 5 由反比例函数的性质知Se=子×4=2，S6ar=号×9- (2) 2 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=√2，则 号，=告，品=景在R△A0B中， 2’…SA0F OB smA=8-受。6号解析：设小正方形的边长为1如 a0AB-8是.14(13(2)（答案不唯-）0@0 图，过点C作CH⊥AB于点H.由图得，AH=3,CH=4.在 求解过程如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x.:Rt△AHC中，由勾股定理得AC=√A+C严=√+3= mC-合，CD=2,由勾股定理得AD+CD=AC,即5sA-能-号 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 35· 90°，∴.∠FAC=∠ECB.又：AC=CB,∴.△AFC≌△CEB(AAS), AF=CE,FC=EB=BD.设相邻两条平行线之间的距离为 a,则CE=AF=2EB=2a,FC=BE=BD=a.在Rt△AFC 中，AC=√AF+FC=√(2a2)+a=√5a.,AC=BC, ∠48-A=a动器品。票 7.号解析：过点A作AD LBC于点D.:AB=AC-5,底 边BC-6,BD=DC=合BC=号×6=3.在R△ABD中， sB=船-是.&第一幅图中，AC=尽-不=4反， B (第12题) (第13题) mA=名=方mA=9=29,mA=场号 13.(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中， 6. 4241 sin B-4222 CHAH-/A-C- 6 3,cosB=2=1 看-专amB-4=2V.第二 2 1.在R△ABH中，”amB=铝=吉BH=5,C 幅图中，AB=√W2)2+6W6)2-22,sinA=5=5 2√22’ BH+CH=5+1=6.(2)由(1)知，AH=1,BH=5,BC=6. COs A=2=1 又：AD是△ABC的中线，.BD=CD=3,.DH=BH —=,tanA=g=3,snB=22一之，cosB=BD ② BD=5-3=2,AD=√AH+D平=√5.在Rt△ADH中， 2w2=?,tanB=2-=5 √63 乙ADI-铝-有-停∠A0C的正弦值为得 课后拓展 14.(1)证明：如图，连接OD.OB=OD,.∠ODB= 9.A解析：假设△ABC是等腰三角形，且AB=AC ∠OBD.PD=PE,∴.∠PDE=∠PED.PC⊥AB, ,△ABC是“倍长三角形”，则当BC=2AB时，AB+AC ∠PCB=90°，∴.∠OBD+∠BEC=90°.，∠BEC= BC,不满足构成三角形的要求.当AB=2BC时，如图，过点A ∠PED,∴∠PDE=∠BEC,∴.∠ODP=∠ODB+∠PDE= 作BC的垂线，垂足为M,令BC=2a,则AB=4a,∴.BM= 90°，∴.OD⊥PF.OD为半径，PD是⊙O的切线. 合BC-a在R△ABM伸，asB器品-子 2:sPFC=号s8器=告DF=40F=5 又PD=PE-名PF=DF+PD=4+号-，鸳 15 2 号∴PC=6,0C=FC-OF=6-5=L M (第9题) (第10题) 10.C解析：如图，过点P作PC⊥x轴于点C.,点P(一a, a)(a),..OC=a,PC=a..'AB:BP=2:1,..AB:AP= 2:3,D01x精，PC1x轴0/PC部品-=2， 第2课时正弦、余弦(2) 课堂演练 忍0-号A0-2a,0=号AB=VA0+0- 1.D解析：：∠C=90°，BC=6,AC=4,∴.AB= C+C=平平=2VB.血A-器-2市 2√10 a 3 a,sin∠PA0=Be= AB =.11.4④ 2√10 10 41 3语成A滤频误A品布，放B法项 解新：在R△ACD中，cADC-形-号，AD=5,C=销误；anA-器=号-号放C达项错误，D选项正确， 3,AC-ADC亚=了=4在R△AC中，AB=2.D解析：mA-器=最可设BC=5,AC=-12z VC+风=V+写=m,∴血B=器-壳 :AB-ACFBC-13x,.cos A-AG-121-12.3.C AB13x13' 要。12把解析：知图，分别过点AB作APL4,架折：AB=个+=，AC=公=2V,n6= 10 ∠PAC+∠CA=0:∠AcB=90,2rcA+ZCE后-号，osa后-等，am&-合，sinA=cosg=22 BELh,BDL,垂足分别为F、E、D,∴∠AFC=∠BEC=90°，1=5m =2=25,ta 22 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 36· 号，tmA=号-1，∴ng=sR4.C解折：在R△ABD :.DE-3 8 cm.在Rt△DEB中，由勾股定理得BD= 中，osB-船-号，BD=9,∴AB=号BD=15,由勾服定理 VDE+B丽=√（号）'+8-8亚(am,mDBE- 3 得AD=√AB-BD=√152-92=12.在Rt△ADC中，由勾 股定理得AC=√AD+DC=√122+5=13.，E为边AC DE 3 BD810 四.1，A解析：由题意得，点A,B的坐 101 的中点，∴ED=EC=合AC=号.∴sin∠EDC-=mC= 3 怨长5①<解析：锐角的余弦值随着角的增大面 标分别为(-4,0)、(0,3)，.OA=4,OB=3,.AB= 减小.50°>40°，.c0s50°<cos40°.(2)<解析： VOm+0E=V个+3-5as∠AA0-器-告 ,cos25°=sin65°，sin25°<sin65°，.sin25°<cos25°. 12.5解析：如图，连接BM、AM,则BM∥DC,∠AMB= 5 解析：如图，s血A-9,设BC-Em,AB=3m, 90°，∴.∠ABM=∠APC.令小正方形的边长为a,则AM= ∴cosB=BC-YEm=2 √Ja2+(2a)z=√5a,AB=√(3a)2+(4a)z=5a.在Rt△ABM AB 3m 3 中，.in-ABM-光2-停&n乙APC=sin/ABM=- 5 5· C B (第6题) (第7题) 74解析：如图aB=专器-专设2C-钻，则 AB=5k,∴.AC=√AB-BC=√(5k)2-(4k)=3k.又AC= 6,3k=6,解得=2，∴BC=8,∴Sm=AC·BC=号× 6x8=24.8号 解析：如图，连接CD、DE.设小正方形的 13.号 解析：如图，过点A作AH LBC,垂足为H.AB 边长为1，则CD=√P+2=5,DE=VP+=5,CE=AC,AH LEC,·∠BAH=7∠BAC,BH=合BC=号X16= T=d,CD=DE,CD+DE=CE,△CDE是&又：∠BPC=号∠BAC∠BPC-∠BAH在R△BAH 等腰直角三角形且∠CDE=90,“sim∠BcD-器-%= 中，Sin∠BAH=8器-S=专∴sin∠BPC=sim∠BAH= AB=101 号又由图可知，CD∥AB,i∠a=∠BCD,六m& sin/ECD 9.过点A作AD⊥BC于点D.:AB=AC,∴.∠BAD= 40在R△MBD中，smB=铝=告AD=12,A= 2∠BAC,BD=2BC=2X6=3,∠ADB=90,∴AD= 15,.由勾股定理得BD=√AB2-AD=√152-12=9. D=尽子=5，∴血B-0-sB ,BC=14,.DC=BC-BD=14-9=5.(2)在Rt△ADC 器景血C=m∠AD=器=子s 中，：E是斜边AC的中点，ED=2AC-EC,∠EDC AB 2 as∠BAD=器- ∠Can∠C=mC-瓷-号 5· 15.(1):正方形 ABCD的边长为2，∴AB=BC=2.点A的横坐标为1，即 课后拓展 OA=1,.OB=OA十AB=1+2=3.在正方形ABCD中， 10.D解析：由翻折性质可知，BE=AB=8cm,DE=AD.设∠ABC=90°.在Rt△OBC中，由勾股定理得OC= DE=xcm,则AD=xcm,CD=(6-x)cm.:'在Rt△ABC中， VOB+BC=√32+2=V13,∴sin∠0CB=09=3= 由勾股定理得BC=√AC+AB=√62+8=10(cm), 0C√13 CE--B=1082xm在△CDE中，由勾限定8得.a∠0CB-是名-2图（②如图，过点D作 理得DB+CE=CD,即2+4=(6-，解得x=号，DH1OC于点H由正方形的性质得，AB=BC-CD=AD=2 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 37- ∠OAD-∠CDA=90,AD/BC,∴△OAED△OBC,:AS=∴AB-4BC∴AC=VAB-BC=VI6BC-BC=√/5BC BC BC=√15 8器即皆-号解符AE=号DE=AD-AE=2-号- :.tan A-AC15BC 15. 2 B 导，在R△CDE中，由勾殷定理得CE=VCD十DE= V+(-2年H=2些-2毫-8Q作0于8DD 3 CE 2√/13 131 90°.，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴.∠A=45°， 3 AC=BC=8,∴.AH=DH设AH=x,则DH=x.,tan∠DBA 在Rt△OAD中，由勾股定理得OD=√AD+OA=√2+1= 器=合BH=,AB=AH+BH=十3=锰在 √5，在Rt△OHD中，由勾股定理得OH=√OD-D平= Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC+BC=√82+8= 4√/13 DH =13 8√2，∴.4x=8√2，解得x=2√2，∴.AH=2√2.在Rt△AHD中， 5-4'=1,ma证7冠 13 13 7 由勾股定理得AD=√A平+D平=√(2W2)2+(2√2)2=4. 13 (2)AD=4,∴.DC=AC-AD=8-4=4.在Rt△BHD中， 由勾股定理得BD=√CD+BC=√42+8=4√5， ·sin☑DBC-0-,4-5 BD4551 专题7求锐角三角函数的常用方法 1.D解析：如图，取格点C,连接AC、BC.由图可知，O、B、C B 三点共线，AC=√1+1卫=√2，OC=√32+3=32，OA=9.A解析：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8,∴∠A= √2+4=25，.AC+OC=OA,△OAC是直角三角∠B.由折叠的性质得△DEF≌△AEF,∴∠EDF=∠A, 形且∠AC0=90°，sin∠AOB=AC=2=d DE=AE,∴∠EDF=∠B.,∠CDE+∠BDF+∠EDF= OA 25 10 ∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴.∠CDE=∠BFD.又，'AE= DE=6,.CE=AC-AE=8-6=2.在Rt△ECD中， sn☑CDE-S是-音=合sn∠BFD=子10 解析：如图，连接AO并延长交⊙O于点D.由圆周角定理得 ∠ACB=∠ADB.由勾股定理得AD=√4+2=2√5， OB sin∠ACB=sin∠ADB="=4=25 (第1题) (第2题) ΓAD255 2.B解析：如图，过点A作AB⊥x轴于点B.,点A(2,3), 0B=2,AB-3m88铝=是.3Y要者 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√BC+AC= √J4+5=√I.,CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=∠A+∠ACD 90°又，∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°，∴.∠ACD= 11.√3十1解析：如图，过点A作AE⊥BD,交DB的延长线 ∠B,∠BD=∠A在△Mc中，血B=器=后 于点E.由题意可得，△ABE为等腰直角三角形.设AE= BE=1,则AB=√2，∴.AC=2√2，BC=√AC-AB=√6.又 5,mA-器=专n∠AcD-5,∠BcD 41 ,△BCD是等腰直角三角形，∴BD=√3，∴.DE=BE十BD= 1+3.∠E+∠EDC=180°，∴.AE∥CD,∴∠ADC=∠DAE. 手.4.√反解析：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾 在R△AED中，tan∠DAE-DE-3+1tan∠ADC=5+1. AE 股定理及旋转的性质，得BD=BD=2√2，.tan∠BAD'= 肥-2-反。5.D6号解析：由3a=46,令=3， AB 2 则a=4x,由勾股定理得c=√a2+形=√(4x)2+(3x)严= 5m8=-= (第11题) (第12题) 解析：如图，在 12.C解析：如图，连接BE交CD于点F.,四边形BCEG R△ABC中，∠C=90,mA=子，smA=g器= ,是正方形，∴GF=CP=号CG,BF=号BE,CG=BE,BEL 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·38-