第五章 专题1 求二次函数的表达式-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)) 专题1求二次函数的表达式 目/类型一/已知两点或三点求表达式 1.已知抛物线y=ax2十bx十c经过(1，一1)、(2，一4)和(0,4)三点，求该抛物线的函数表达式. 2.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,0)、C(0,一3). (1)求二次函数的表达式. (2)在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标， 目/类型二/已知顶点或对称轴求表达式 3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式 (1)已知二次函数的图像的顶点坐标为（一2,2），且经过点(1,1) (2)点A(一1，m)、B(3,m)在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点(1,8). 4.已知抛物线y=(k2一2)x2一4kx十m的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y -2x+2上. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若该抛物线与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C,求△ABC的面积 18》 第5章二次函数 国/类型三/已知抛物线与x轴的交点求表达式 5.某抛物线与x轴交于点（一3,0）和(1,0)，且与y轴交于点(0,3)，求该抛物线的函数表达式 6.已知某二次函数的图像如图所示，求该二次函数的表达式. 目/类型四/根据图形平移、翻折、旋转求表达式 7.把二次函数y=2x2+3x十8的图像向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到新的二次函数图像，求新二次函数的表达式： 8.如图1，抛物线y=x2一6x十5与x轴交于A、B两点(，点A在，点B的左侧)，与y轴交于 点C,顶点为P. (1)直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的函数表达式 (2)求抛物线关于点B成中心对称的抛物线的函数表达式。 (3)如图2，已知点D(一1,0)，将△COD绕点M旋转180°后，点C、D的对应点分别 为E、F,且点E、F恰好落在原抛物线上，则点M的坐标为 图1 图2 《195.y=(x一1)2十5（答案不唯一）解析：，抛物线的顶点是 (1,5),∴，设抛物线的函数表达式为y=a(x一1)2十5，，x>1 时，y随x的增大而增大，∴.a>0,.该抛物线的函数表达式 可以是y=(x-1)2+5.6.y=一x2-2x解析：把(0,0)代 人y=a.x2-2x十a2-1,得0=a2-1,解得a=士1，又抛物 线开口向下，∴a=一1，∴.该抛物线的表达式为y=一x2一2x 7=2-吕一4解析：由题意，得点A(8,0B(-2, 0)、C(0,-16a),.对称轴为直线x=3.∠ACB=90°， COI AB,.∴OC2+OB2+OC+OA2=AB2,即2OC+4+ 64=100,∴0C=4,即1-16a=4,解得a=±.又：该抛物 线的开口向上，∴a>0,a=子，y=(z-8)(x+2)= 冬2-昌：一4，即该抛物线对应的函数表达式为y=子 号x-4&(1)设二次函数的表达式为y=a2+bx十c把 c=2, 点(0,2)、(1,1)、(3,5)分别代入，得a+b+c=1,解得 9a+3b+c=5, a=1, b=-2,.y=x2-2x十2.(2)，顶点为(-1,2)，.设二次 (c=2, 函数的表达式为y=m(x十1)2+2.把点(2,1)代入，得9m十 2=1,解得m=-号y=-号(x+1)2+2.(3):二次函 数的图像与x轴交于点（一1,0）、(2,0)，.设二次函数的表达 式为y=n(x十1)(x-2).把点(1,2)代入，得-2n=2,解得 n=-1,.y=一(x+1)(x-2)=一x2+x+2.(4),二次函 数的最大值为2，图像顶点在y=x十1上，∴.顶点是(1,2).设 此二次函数的表达式为y=a(x一1)2十2.，图像经过点(3， 一6)，∴.一6=a×(3-1)2+2,解得a=-2,∴.该二次函数的 表达式为y=-2(x一1)2十2. 课后拓展 9.C解析：，抛物线的对称轴为直线x=1,.分两种情况： 当x=2时，y=5,当x=3时，y=8,则{a一红十c=5解得 19a-6a+c=8,1 (a=1当=2时，y=8,当x=3时，y=5,则0-如十c=8, (c=5: (9a-6a+c=5, 解得{a8综上所述，a的值为士1.0.C解析：由所 给函数表达式可知，抛物线的对称轴为直线x=一m,当m= 一3时，抛物线的对称轴为直线x=3,:(1,1)和(6,6)在抛物 线上，∴.点(1,1)关于直线x=3对称的点为(5,1)，6>5， 6>1,∴.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则抛物线的 开口向上，即a>0,故A选项不符合题意；当m=一4时，抛物 线的对称轴为直线x=4,.点(1,1)关于直线x=4对称的点 为(7,1)，，6<7,6>1，.在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小，则抛物线的开口向下，即a<0,故B选项不符合题意； 当m=-5时，抛物线的对称轴为直线x=5,…点(1,1)关于 直线x=5对称的点为(9,1)，.6<9,6>1，.在对称轴的右 侧，y随x的增大而减小，则抛物线的开口向下，即a<0,故C 选项符合题意；当=一6时，抛物线的对称轴为直线x=6, 6>1,.顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的： 则抛物线的开口向下，即a<0,故D选项不符合题意. 11.y=2x2一4x十3或y=2x2一6x十7解析：根据题意可设 二次函数的表达式为y=2(x一h)2十3h一2.二次函数的图 课时提优计划作业本·数 像经过点2,3)，3=2(2-月+3h-2,解得=1或九=多 当=1时，3=2(x-1Y+3X1-2=22-4x+3:当A=号 时一2（一受》广+3×号-8=2以-十2.综上所述，该 2 二次函数的表达式为y=2x2-4x十3或y=2x2-6x十7. 2.)一一员-立x十5解析：根据题意得，抛物线经过 1 点(0,5)、（一4,2）、(2,4)，设抛物线的函数表达式为y=ax2十 .5 c=5, a=一24' c十c,则16a一4b+c=2,解得b=-立 1 ∴.该抛物线的函 (4a+2b+c=4, c=5, 数表达式为y=一24 -x+5.13.-号 解析：将A(0, m)、B(1,-m)、D(3,-m)代入y=a2+bx十c(a≠0)，得 2 (c=m, a=3m, a叶6叶c一m,解得3b一号m, .二次函数的表达式为 (9a+3b+c=-m, c=m, y号u-哥mr十m把点C2,m代入)=号mx2-3mx寸 2 m得n=号mX2-号mX2+m=一号m∴只=g -号.14.（①）z=-1解析：抛物线y=ar+2ax十3a2- 4,对搭轴为直线=一碧=一1。（2：抛物线的顶点在 x轴上，.顶点坐标为(-1,0)，代人y=ax2+2ax十3a2-4,得 士3a2一4=0，解得a=-1或a一号，该抛物线的函数 表达式为y=-父-2红-1或)y=专r+号x+号（3)”对 4 称轴为直线x=-1,.点N(2,2)关于直线x=-1对称的 点为N(-4,2).①当a>0时，若y>y2,则m<-4或m> 2;②当a<0时，若y>y,则-4<m<2.15.(1)由题意 知，抛物线y=x十bx十c经过点A(一3,0)、C(0,一3)，将其 分代人北物装的高数表达式得合。-0格0化二。 ∴该抛物线的函数表达式为y=x2十2x-3.(2)△ACD是 直角三角形.理由如下：由(1)知，该抛物线的函数表达式为 y=x2+2x一3=(x十1)2-4，∴.顶点D的坐标为（一1，一4）. 又·点A(-3,0)、C(0,-3),∴.AC=32+32=18,AD=22+ 42=20,CD=12+12=2,∴.AC十CD=AD,∴.△ACD是直 角三角形 专题1求二次函数的表达式 a十b+c=-1, fa=1, 1.由题意，得4a十2b十c=-4,解得b=-6,.该抛物线的 c=4, c=4, 函数表达式为y=x2一6x十4.2.(1)由题意得 1+b叶c=0解得c=-3, c=-3, 6-2,。二次函数的表达式为y=x十 2x-3.(2)设点P(m,m2+2m-3).当y=0时，x2+2x- 3=0,解得x=-3,x2=1,∴.点B(-3,0).又△ABP的面 积为10，∴.号×[1-(-3)]×m+2m-3=10,…m+ 学·九年级下册(SK版) 2m-3=5,解方程m2+2m一3=5得%=一4,2=2，此时 点P的坐标为(-4,5)或(2,5)；方程m2+2-3=一5没有 实数解，∴.点P的坐标为（一4,5）或(2,5).3.(1)设这个二 次函数的表达式为y=a(x+2)2+2.把点(1,1)代入，得9a+ 2=1,解得a=号∴这个二次函数的表达式为y=-号(x十 2)2+2.(2)设这个二次函数的表达式为y=ax2十bx十c.根 〔-b=-1+3 2a2 fa=1, 据题意，得c=9, 解得b=一2，∴.这条抛物线对应 (c=9, (a+b十c=8, 的函数表达式为y=x2一2x+9.4.(1):抛物线y=(k2 2)2-4hx+m的对称轴是直线x=2,22=2,解得 =一1或=2.又·图像有最低点，即开口向上，∴k2一2> 0,即2>2，∴.k=2,即y=2x2-8x十m.把x=2代入直线 y=一2x十2，得y=一2，即该抛物线的顶点坐标是(2，一2)， 代入y=2x2一8x十m,得m=6,∴.该抛物线的函数表达式为 y=2x2一8x+6.(2)当x=0时，y=6,即点C的坐标是(0， 6);当y=0时，2x2一8x十6=0，解得x=1或x=3,即点A、B 的坐标分别是(1,0)、(3,0)..AB=3-1=2,OC=6,∴.S△c= 合AB:0C=合×2X6=6,5.设该抛物线的函数表达式 为y=a(x十3)(x-1).把(0,3)代入，得-3a=3,解得a= 一1，∴.该抛物线的函数表达式为y=一(x十3)(x一1)=一x2 2x十3.6.由抛物线的对称性可知，函数图像与x轴的另 个交点为（一1,0），设该二次函数的表达式为y=a(x十1)(x 3),将(0，-1)代入，得一3a=-1,解得a=号该二次函数 的表达式为y=}(x+1Dx-3)-号t-号x-17y 分2+3x+号=合(+32-2把它向右平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y= 2x+3-2-2+3=2x+10+1.80当)=0时， x2一6x+5=0,解得x1=1,x2=5;当x=0时，y=5. 点A(1,0)、B(5,0)、C(0,5).又y=x2-6x+5=(x- 3)2一4，∴.顶点坐标为P(3,一4)，故关于原点对称的抛物线的 顶点坐标为（一3,4），关于原点对称的抛物线的函数表达式为 y=-(x+3)2+4=-x2-6x-5.(2)顶点(3，-4)关于 点B(5,0)对称的点的坐标为(7,4)，∴.关于点B成中心对称的 抛物线的函数表达式为y=一(x一7)2十4=一x2+14x一45. (3)(号，号）解析：设点M的坐标为a,,则M是CEDF的 中点，则点E、F的坐标分别为(2a,2b一5)、(2a+1,2b),将点E、F 的坐标代人函数表达式得念+十- a= 、5 2 解得 /65 “点M的坐标为（号号） 2 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程(1) 课堂演练 1.B解析：令x2+4x十4=0.-4ac=42-4×1X4=0, ∴.抛物线y=x2+4x十4与x轴的交点个数是1.2.C 解析：二次函数y=3(x一2)2十1的图像开口向上，对称轴为 课时提优计划作业本·数 直线x=2,顶点坐标为(2,1)，故A、B选项不符合题意，C选 项符合题意；当y=0时，3(x一2)2十1=0，此方程没有实数 解，∴抛物线与x轴没有交点，故D选项不符合题意.3.B 解析：由题意，得仔-4ac=(-7)2一4×k×(-7)≥0，且k≠ 0,∴49+28k>0,且k≠0，k≥-子且k≠0.4.(1(3,0)、 (一1,0)=3，x2=一1(2)没有实数根没有交点 5.>4 解析：·抛物线y=x2一x十c(c是常数)与x轴没 有交点，∴.-4ac=(-1)2-4×1×c=1-4c<0,解得c> 】6.=二1，z2=3解析：二次函数y=ax2一2ax十9 的图像的对称轴为直线x=一2=1，而二次函数)= 2ax十c(a≠0)的图像与x轴的一个交点为(3,0)，，.二次函数 y=a.x2-2ax十c(a≠0)的图像与x轴的另一个交点为(-1， 0),.方程ax2-2ax十c=0的解为x1=-1,x2=3.7.士8 解析：抛物线y=2x2十bx十8的顶点在x轴上，.仔一4ac= 0,即一4×2X8=0,解得b=士8.8.4解析：设函数表达 式为y=-(x-m)(x一m-4),∴y=-[x2-2(m十2)x+(m+ 2)2一4幻=一[x一(m十2)]2十4，.抛物线的顶点坐标为 (m十2,4).·该函数图像向下平移4个单位长度时与x轴有且 只有一个交点，∴.n=4.9.=一1，x2=3解析：由题意可 知，x2十bx十c=mx十n的解为x1=一1，x2=3,即方程x2十 (b-m)x十c-n=0的解为=-1,2=3.10.(1)证明： 2-4ac=[-(m-2)]2-4X1×(-m)=m2+4>0,.二 次函数y=x2一(m一2)x一m与x轴有两个交点.(2)二次 函数)y=父-(m一2》x一m的对称轴为直线x=”2号，开口向 上.又当x≥3时，y随x的增大而增大，m,2≤3，解得 2 m8. 课后拓展 11.A解析：如图，当m>3时，抛物线y=ax2十bx十c与直 线y=m有两个交点，且一个交点的横坐标为正数，另一交点 的横坐标为负数，.当关于x的方程a.x2十bx十c=m总有 正一负两个实数根时，m的取值范围是m>3. y=m 12.B解析：，图像开口向下，a<0,对称轴为直线x= -子=一名3动=2a,则a=受6b<0,:图像交y轴于 正半轴，∴.c>0,∴.abc>0,故①错误，④正确；由图像可得，当 x=1时，y<0,∴.a十b十c<0,故②正确；抛物线与x轴有两个 交点，则b一4ac>0,∴.4ac一b<0,故③错误；当x=一1时， y=a-b计c>0,号6-b叶c>0,∴6什2c>0,故⑤正确.综上 所述，正确的信息有②④⑤，共3个，13.0或1解析：当 m=0时，y=一2x十1，是一次函数，此图像与坐标轴有两个交 点；当m≠0时，若函数y=m.x2一2x十1的图像与坐标轴有两 个公共点，则与x轴必然只有一个交点，故子一4ac=(一2)2 4×m×1=0,解得m=1.综上所述，m的值为0或1. c=一m, 14.x=2士7解析：根据题意，得a十b十c=m,解得 9a+3b+c=m, 学·九年级下册(SK版)