第六单元 分数的加法和减法 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第六单元 分数的加法和减法 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 分数加减法本质深化 课本核心：同分母分数加减法，分母不变，分子相加减；异分母分数加减法，先通分再计算；结果化成最简分数。 奥数拓展： ① 通分核心是找最小公倍数，奥数常用扩分、约分、拆分简化计算，避免硬算。 ② 分数加减混合运算顺序与整数一致，奥数侧重简便运算（加法交换律、结合律，减法的性质）。 ③ 裂项相消是分数加减奥数核心技巧，分为裂差与裂和，可快速简化长串加减。 2. 分数加减巧算的奥数应用（重点） 课本核心：分数加减混合运算、简便计算。 奥数拓展： 凑整法：同分母、互补分数先结合，凑成整数再计算。 裂项法：核心公式，拆分后中间项抵消。 分数拆分：把一个分数拆成两个单位分数的和/差。 带分数巧算：整数部分、分数部分分别加减，分数部分不够减时向整数借位。 二、奥数易错点提醒 通分错误：找错最小公倍数，分子未同步扩分，导致计算错误。 运算律误用：加减混合去括号时，未正确变号（如）。 裂项公式混淆：裂差、裂和公式记混，漏乘关键系数。 结果未化简：计算后未约分成最简分数，高频失分。 带分数加减失误：分数部分不够减时，未正确向整数部分借位。 三、奥数解题口诀 分数加减先通分，同母分子再加减； 凑整裂项巧运算，简便定律记心间； 去括变号别忘记，结果化简最关键； 带分拆分整加分，裂项相消算得快。 考点讲解 考点1：分数加减凑整简便运算（最常考） 核心思路：观察分母特征，用加法交换律、结合律把同分母、互补数先结合，凑整简化计算。 典型例题：计算 解题步骤： 考点2：裂项相消法计算（核心考点） 核心思路：将分数拆成两个分数的差，中间项相互抵消，只剩首尾项计算。 典型例题：计算 解题步骤： 考点3：分数加减混合运算与最值（奥数提升） 核心思路：先算括号内，再按顺序计算；最值问题结合分数大小比较求解。 典型例题：在括号里填最简分数，使，求最小填几。 解题步骤： ，，最小填。 考点4：分数拆分与加减应用题（奥数难点） 核心思路：利用分数基本性质拆分单位分数；应用题抓“总量、部分量”关系列式计算。 典型例题：把拆成两个不同单位分数的和。 解题步骤：（答案不唯一）。 真题训练 1．下列各数中，最接近1的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断哪个数最接近1，只需要比较各数与1的差，差越小就越接近1。 【详解】； ； ； ； 即最接近1的是。 2．一批米，已经吃了吨，还剩全部的没吃。已经吃的和没吃的相比，（    ）。 A．已经吃的多 B．没吃的多 C．一样多 D．无法确定 【答案】B 【分析】将这批大米看作单位“1”，吃了吨后，还剩下这批大米的，则吃了这批大米的（1－），比较吃了和剩下的占总数的分率，据此解答。 【详解】1－＝ ＜ 所以已经吃的和没吃的相比，没吃的多。 3．一堆煤，已经烧了45吨，还剩全部的没烧，已经烧的和没烧的相比，（    ）。 A．已经烧的多 B．没烧的多 C．一样多 D．无法判断 【答案】B 【分析】把这堆煤的总质量看作单位“1”，还剩全部的没烧，说明已经烧了全部的（1－），已经烧的部分和没烧的部分占总质量的分率比较大小，即可求得。 【详解】没烧的部分占总质量的分率： 已经烧的部分占总质量的分率：1－＝ 因为＞，所以没烧的多。 故答案为：B 4．小亮看一本书，第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，第一天和第二天一共看了总页数的几分之几？列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，把总页数看作单位“1”，把第一天和第二天的对应分率相加即可得解。 【详解】 小亮看一本书，第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，第一天和第二天一共看了总页数的几分之几？列式正确的是。 故答案为：A 5．一杯纯果汁，小明喝了杯后，觉得有些甜，就兑满了水。他又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了（    ）杯纯果汁。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，把这杯果汁看作单位“1”，喝了杯则还剩下（1－）杯，兑满水之后喝了半杯，喝的半杯里包括一半的水和一半的果汁，即兑满水后喝的果汁是剩下果汁的一半，根据分数的意义求出兑满水后喝了多少杯果汁，最后再把两次喝的果汁相加即可。 【详解】1－＝（杯） ＝＋ ＋＝（杯） 一杯纯果汁，小明喝了杯后，觉得有些甜，就兑满了水。他又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了杯纯果汁。 故答案为：B 6．妈妈买来一块蛋糕，哥哥吃了这块蛋糕的，妹妹吃了这块蛋糕的，那么选择分数单位（    ）能够正好算出他们共吃了这块蛋糕的几分之几。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知哥哥吃了这块蛋糕的，其分数单位是；妹妹吃了这块蛋糕的，其分数单位是，要计算他们共吃了这块蛋糕的几分之几，这是异分母分数相加，需要通分；4和5是互质数（互质数是指公因数只有1的两个非零自然数），最小公倍数是它们的乘积4×5＝20，那么通分后的公分母是20，对应的分数单位就是。 【详解】＋ ＝＋ ＝ 的分数单位是，所以选择分数单位能够正好算出他们共吃了这块蛋糕的几分之几。 故答案为：A 7．有两根木料，第一根木料截去，第二根截去米，剩下两根木料相比（    ）。 A．一样长 B．第二根长 C．第一根长 D．无法比较 【答案】D 【分析】题目中未明确两根木料的原始长度，因此需分情况讨论：第一根木料：截去总长度的，剩下。第二根木料：截去固定长度米，剩下原长减去米。 不同情况举例：若两根原长均为1米：第一根剩下米，第二根剩下米，则剩下两根木料一样长。 若第一根原长3米，第二根原长2米：第一根剩下2米，第二根剩下米，则第一根剩下的木料更长。 若第一根原长3米，第二根原长4米：第一根剩下2米，第二根剩下米，则第二根剩下的木料更长。据此分析解答。 【详解】据分析可知，题目未给出两根木料的原始长度，无法确定剩余长度的关系，因此无法比较。 故答案为：D 8．一杯纯果汁，涵涵喝了半杯后加满水，又喝了杯，再加满水，最后都喝光了。涵涵喝的纯果汁和水相比，（    ）。 A．纯果汁多 B．水多 C．一样多 D．无法确定 【答案】A 【分析】把一个杯子的容量看作单位“1”，根据题意可知，涵涵喝了半杯后加满水，第一次加了半杯水，也就是杯，又喝了杯，再加满水，也就是第二次加了杯，最后都喝光了；所以涵涵一定喝了1杯纯果汁，喝（＋）杯水。据此计算出＋再比较即可。 【详解】＋ ＝＋ ＝（杯） 1＞ 涵涵喝的纯果汁和水相比，纯果汁喝得多。 故答案为：A 9．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 10 【分析】分母是几，分数单位就是几分之一；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；再用2减去，求出的差是几，就是再添上几个这样的分数单位。 【详解】的分数单位是。 2－＝，再添上10个这样的分数单位就是最小的质数。 10．在延时服务调研中发现：实验小学六年级一班和二班共有96人，其中喜欢打乒乓球，喜欢打篮球，每人至少喜欢打乒乓球或篮球中的一种。两种球都喜欢打的有( )人。 【答案】40 【分析】先求出两种球都喜欢打的所占的比例，再乘总人数即可。据此回答。 【详解】 （人） 11．张叔叔的果园一共种植了三种果树，桃树的种植面积是公顷，枣树的种植面积是公顷，梨树的种植面积是公顷，这三种果树的种植面积一共是( )公顷。 【答案】/ 【分析】根据题意，把桃树、枣树、梨树的种植面积相加，就是这三种果树的总种植面积。 【详解】＋＋ ＝＋＋ ＝1＋ ＝（公顷） 这三种果树的种植面积一共是公顷。 12．作为滇文化的发祥地之一，昆明官渡区有着众多的非物质文化遗产项目，其中国家级的项目占，省级的项目占，其余的是市级和区级的项目。国家级和省级的项目共占总项目的( )，市级和区级的项目共占总项目的( )。 【答案】 【分析】将总项目看作单位“1”，国家级项目占几分之几＋省级项目占几分之几＝国家级和省级的项目共占总项目的几分之几；1－国家级和省级的项目共占总项目的几分之几＝市级和区级的项目共占总项目的几分之几。异分母分数相加减，先通分再计算。 【详解】＋＝＋＝ 1－＝ 国家级和省级的项目共占总项目的，市级和区级的项目共占总项目的。 13．不能直接相加，是因为它们的分母不同，也就是( )不同，所以必须先( )再计算，结果是( )。 【答案】 分数单位 通分 【分析】异分母分数相加时，由于分母不同，分数单位不同，无法直接相加。需先通分转化为同分母分数，再按同分母分数加法法则计算。 【详解】＋ ＝＋ ＝ ＋不能直接相加，是因为它们的分母不同，也就是分数单位不同，所以必须先通分再计算，结果是。 14．镇原县组织特色农产品展销会，第一天参观人数占总预计人数的，第二天参观人数占总预计人数的，两天参观的人数一共占总预计人数的( )，第一天比第二天多占总预计人数的( )。 【答案】 /0.625 /0.125 【分析】用第一天参观人数占总预计人数的分率加上第二天参观人数占总预计人数的分率，求出两天参观的人数一共占总预计人数的分率；用第一天参观人数占总预计人数的分率减去第二天参观人数占总预计人数的分率，求出第一天比第二天多占总预计人数的分率。 【详解】＋ ＝＋ ＝ － ＝－ ＝ 两天参观的人数一共占总预计人数的，第一天比第二天多占总预计人数的。 15．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再减去( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 52 16 【分析】把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，叫做分数单位。分母是几，分数单位就是几分之一。 带分数转化为假分数：，分子表示有几个分数单位。 合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数，最小的合数是4，将4转化为分母是9的分数，再计算与的分数单位个数差。 【详解】分母是9，所以分数单位是。 ，分子是52，所以它有52个这样的分数单位。 里有16个。 的分数单位是，它有52个这样的分数单位，再减去16个这样的分数单位就是最小的合数。 16．计算时，先算( )法，再算( )法，也就是分数加减混合运算顺序与整数加减混合运算顺序( )。 【答案】 减 加 相同 【分析】在一个没有括号的算式里，如果只含加法、减法，按照从左往右的顺序依次计算，整数加减混合运算的顺序同样适用于分数。 【详解】 计算时，先算减法，再算加法，也就是分数加减混合运算顺序与整数加减混合运算顺序相同。 17．计算园地。                                                                                                                                                                                                           【答案】；；； ；；； ；；； ；；2 【详解】略。 18．脱式计算。（能简算的要简算）                                    【答案】0；； ；； 【分析】计算分数的连续减法运算时，可将两个减数相加，再用被减数减去两个减数之和；异分母分数相加减时，先通分为同分母分数，再加减分子，进而得出答案。 【详解】 19．计算下面各题，能简算要简算。                          【答案】2；；； 【分析】，根据加法交换律和加法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的加法，再算括号外的加法； ，交换减法和加法的位置，再从左往右计算； ，先算加法，再算减法，异分母分数相加减，先通分再计算； ，从左往右计算。 【详解】 20．打一份文稿，甲工人用了小时，比乙工人多用小时，丙工人比乙工人少用小时。打一份文稿丙工人要用多少小时？ 【答案】小时 【分析】乙工人用的时间＝甲工人用的时间－小时，丙工人用的时间＝乙工人用的时间－小时，则丙工人用的时间＝甲工人用的时间－小时－小时，即－－，先把异分母分数转化为分母是72的同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。 【详解】－－ ＝－－ ＝－ ＝（小时） 答：打一份文稿丙工人要用小时。 21．一块菜地，它的种了大蒜，种了青菜，其他种豆角。豆角占这块菜地的几分之几？ 【答案】 【分析】将一块菜地的面积看成一个整体，用1依次减去大蒜占菜地的几分之几和青菜占菜地的几分之几，即可求出豆角占这块菜地的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 答：豆角占这块菜地的。 22．五年级学生参加“追寻红色记忆，传承红岩精神”实践活动，全程共用了8小时，其中坐车用去的时间占总时间的，吃饭和休息的时间占总时间的，剩下的是参观活动时间，参观活动时间占总时间的几分之几？ 【答案】 【分析】把总时间看作单位“1”，用1减去坐车用去的时间占总时间的分率，减去吃饭和休息的时间占总时间的分率，即可求出参观活动时间占总时间的分率。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：参观活动时间占总时间的。 23．园林局要绿化滨江公园，规划种花平方千米，植树平方千米，种花的面积比种草的面积少平方千米，种草的面积有多少平方千米？ 【答案】平方千米 【分析】根据题意，种花的面积比种草的面积少平方千米，求种草的面积，用种花的面积加上平方千米，即可求出种草的面积。 【详解】＋ ＝＋ ＝（平方千米） 答：种草的面积是平方千米。 24．新华小学举办“中华魂”演讲比赛，设一、二、三等奖，一等奖占获奖总人数的，二等奖占获奖总人数的，三等奖占获奖总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】分析题目，把获奖总人数看作单位“1”，用1分别减去一等奖占总人数的分率、二等奖占总人数的分率即可得到三等奖占总人数的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：三等奖占获奖总人数的。 25．学校举行了“交通安全知识竞赛”，设一、二、三等奖。获一等奖的人数占获奖总人数的，获二等奖的人数占获奖总人数的，获三等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】把获奖总人数看作单位“1”，依次减去获一等奖、二等奖的人数占获奖总人数的分率，即可求出获三等奖的人数占获奖总人数的分率。 【详解】1－ ＝ ＝ ＝ ＝ 答：获三等奖的人数占获奖总人数的。 26．同学们在劳动课上学做一种米糕，低筋面粉用了千克，用的糯米粉比低筋面粉多千克，黄豆粉用了625克，用的糯米粉比黄豆粉多多少千克？ 【答案】千克 【分析】先把克换算成千克，625克＝千克；先用低筋面粉的重量＋千克，求出糯米粉用的重量，再用糯米粉的重量－黄豆粉的重量，即可解答。 【详解】625克＝千克 ＋－ ＝＋－ ＝－ ＝（千克） 答：用的糯米粉比黄豆粉多千克。 27．英语小组同学参加口语比赛，共设三个奖项，参赛选手全部获奖。其中获一、二等奖的人数占获奖总人数的，获一、三等奖的人数占获奖总人数的，获一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】把获奖总人数看作单位“1”，获一、二等奖的人数占获奖总人数的，获三等奖的人数占获奖总人数的分率＝1－获一、二等奖的人数占获奖总人数的分率，获一等奖的人数占获奖总人数的分率＝获一、三等奖的人数占获奖总人数的分率－获三等奖的人数占获奖总人数的分率，据此解答。 【详解】－（1－） ＝－ ＝－ ＝ 答：获一等奖的人数占获奖总人数的。 28．某部分路段正在施工。第一阶段施工长度占此路段全长的，第二阶段施工长度占此路段全长的，余下第三阶段施工长度为1千米。这部分路段的总长度是多少千米？用你喜欢的方式展示解决问题的思路与方法。 【答案】15千米 【分析】把这部分路段的总长度看作单位“1”，第三阶段施工长度占此路段全长的分率＝1－第一阶段施工长度占此路段全长的分率－第二阶段施工长度占此路段全长的分率，计算可知，第三阶段施工长度占此路段全长的，第三阶段施工长度为1千米，最后根据分数的意义求出这部分路段的总长度，据此解答。 【详解】 1－－ ＝－ ＝－ ＝ 把这部分路段的总长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成15份，第三阶段施工长度占其中的1份，而其中的1份刚好是1千米，那么总长度为15×1＝15（千米）。 答：这部分路段的总长度是15千米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 分数的加法和减法 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 分数加减法本质深化 课本核心：同分母分数加减法，分母不变，分子相加减；异分母分数加减法，先通分再计算；结果化成最简分数。 奥数拓展： ① 通分核心是找最小公倍数，奥数常用扩分、约分、拆分简化计算，避免硬算。 ② 分数加减混合运算顺序与整数一致，奥数侧重简便运算（加法交换律、结合律，减法的性质）。 ③ 裂项相消是分数加减奥数核心技巧，分为裂差与裂和，可快速简化长串加减。 2. 分数加减巧算的奥数应用（重点） 课本核心：分数加减混合运算、简便计算。 奥数拓展： 凑整法：同分母、互补分数先结合，凑成整数再计算。 裂项法：核心公式，拆分后中间项抵消。 分数拆分：把一个分数拆成两个单位分数的和/差。 带分数巧算：整数部分、分数部分分别加减，分数部分不够减时向整数借位。 二、奥数易错点提醒 通分错误：找错最小公倍数，分子未同步扩分，导致计算错误。 运算律误用：加减混合去括号时，未正确变号（如）。 裂项公式混淆：裂差、裂和公式记混，漏乘关键系数。 结果未化简：计算后未约分成最简分数，高频失分。 带分数加减失误：分数部分不够减时，未正确向整数部分借位。 三、奥数解题口诀 分数加减先通分，同母分子再加减； 凑整裂项巧运算，简便定律记心间； 去括变号别忘记，结果化简最关键； 带分拆分整加分，裂项相消算得快。 考点讲解 考点1：分数加减凑整简便运算（最常考） 核心思路：观察分母特征，用加法交换律、结合律把同分母、互补数先结合，凑整简化计算。 典型例题：计算 解题步骤： 考点2：裂项相消法计算（核心考点） 核心思路：将分数拆成两个分数的差，中间项相互抵消，只剩首尾项计算。 典型例题：计算 解题步骤： 考点3：分数加减混合运算与最值（奥数提升） 核心思路：先算括号内，再按顺序计算；最值问题结合分数大小比较求解。 典型例题：在括号里填最简分数，使，求最小填几。 解题步骤： ，，最小填。 考点4：分数拆分与加减应用题（奥数难点） 核心思路：利用分数基本性质拆分单位分数；应用题抓“总量、部分量”关系列式计算。 典型例题：把拆成两个不同单位分数的和。 解题步骤：（答案不唯一）。 真题训练 1．下列各数中，最接近1的是（    ）。 A． B． C． D． 2．一批米，已经吃了吨，还剩全部的没吃。已经吃的和没吃的相比，（    ）。 A．已经吃的多 B．没吃的多 C．一样多 D．无法确定 3．一堆煤，已经烧了45吨，还剩全部的没烧，已经烧的和没烧的相比，（    ）。 A．已经烧的多 B．没烧的多 C．一样多 D．无法判断 4．小亮看一本书，第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，第一天和第二天一共看了总页数的几分之几？列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一杯纯果汁，小明喝了杯后，觉得有些甜，就兑满了水。他又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了（    ）杯纯果汁。 A． B． C． D． 6．妈妈买来一块蛋糕，哥哥吃了这块蛋糕的，妹妹吃了这块蛋糕的，那么选择分数单位（    ）能够正好算出他们共吃了这块蛋糕的几分之几。 A． B． C． D． 7．有两根木料，第一根木料截去，第二根截去米，剩下两根木料相比（    ）。 A．一样长 B．第二根长 C．第一根长 D．无法比较 8．一杯纯果汁，涵涵喝了半杯后加满水，又喝了杯，再加满水，最后都喝光了。涵涵喝的纯果汁和水相比，（    ）。 A．纯果汁多 B．水多 C．一样多 D．无法确定 9．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 10．在延时服务调研中发现：实验小学六年级一班和二班共有96人，其中喜欢打乒乓球，喜欢打篮球，每人至少喜欢打乒乓球或篮球中的一种。两种球都喜欢打的有( )人。 11．张叔叔的果园一共种植了三种果树，桃树的种植面积是公顷，枣树的种植面积是公顷，梨树的种植面积是公顷，这三种果树的种植面积一共是( )公顷。 12．作为滇文化的发祥地之一，昆明官渡区有着众多的非物质文化遗产项目，其中国家级的项目占，省级的项目占，其余的是市级和区级的项目。国家级和省级的项目共占总项目的( )，市级和区级的项目共占总项目的( )。 13．不能直接相加，是因为它们的分母不同，也就是( )不同，所以必须先( )再计算，结果是( )。 14．镇原县组织特色农产品展销会，第一天参观人数占总预计人数的，第二天参观人数占总预计人数的，两天参观的人数一共占总预计人数的( )，第一天比第二天多占总预计人数的( )。 15．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再减去( )个这样的分数单位就是最小的合数。 16．计算时，先算( )法，再算( )法，也就是分数加减混合运算顺序与整数加减混合运算顺序( )。 17．计算园地。                                                                                                                                                                                                           18．脱式计算。（能简算的要简算）                                    19．计算下面各题，能简算要简算。                          20．打一份文稿，甲工人用了小时，比乙工人多用小时，丙工人比乙工人少用小时。打一份文稿丙工人要用多少小时？ 21．一块菜地，它的种了大蒜，种了青菜，其他种豆角。豆角占这块菜地的几分之几？ 22．五年级学生参加“追寻红色记忆，传承红岩精神”实践活动，全程共用了8小时，其中坐车用去的时间占总时间的，吃饭和休息的时间占总时间的，剩下的是参观活动时间，参观活动时间占总时间的几分之几？ 23．园林局要绿化滨江公园，规划种花平方千米，植树平方千米，种花的面积比种草的面积少平方千米，种草的面积有多少平方千米？ 24．新华小学举办“中华魂”演讲比赛，设一、二、三等奖，一等奖占获奖总人数的，二等奖占获奖总人数的，三等奖占获奖总人数的几分之几？ 25．学校举行了“交通安全知识竞赛”，设一、二、三等奖。获一等奖的人数占获奖总人数的，获二等奖的人数占获奖总人数的，获三等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 26．同学们在劳动课上学做一种米糕，低筋面粉用了千克，用的糯米粉比低筋面粉多千克，黄豆粉用了625克，用的糯米粉比黄豆粉多多少千克？ 27．英语小组同学参加口语比赛，共设三个奖项，参赛选手全部获奖。其中获一、二等奖的人数占获奖总人数的，获一、三等奖的人数占获奖总人数的，获一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 28．某部分路段正在施工。第一阶段施工长度占此路段全长的，第二阶段施工长度占此路段全长的，余下第三阶段施工长度为1千米。这部分路段的总长度是多少千米？用你喜欢的方式展示解决问题的思路与方法。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $