7.2复数的四则运算【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

7.2复数的四则运算 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识点三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数加减法的代数运算 【例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用复数的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复数的加减运算，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）（2）根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 题型二：复数加减法的几何意义 【例2】．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 3．（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 【例3】．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)-1 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）因为， 所以原式 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数乘方、加减法的运算法则对（1）（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）利用复数的乘法运算求解即可； （2）利用复数的乘方以及除法运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 题型四：复数的乘方 【例4】．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数除法及乘方运算求解. 【详解】原式. 故答案为： 【举一反三】 1．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 【答案】 【分析】由题可知，再根据，即可得解. 【详解】由题可知， 则， ， 因此， 故答案为：. 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）计算 __________. 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）若为虚数单位，则计算__________. 【答案】 【分析】由虚数的周期性质结合并项求合法分组分析计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故答案为： 题型五：复数范围内解方程 【例5】．（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 【举一反三】 1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）若关于的方程的一个虚根的模为3，则的值为_____. 【答案】9 【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出. 【详解】由方程，得，依题意，，解得， 由，所以. 故答案为：9 2．（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 【答案】3 【分析】由题意也是关于x的方程的一个根，结合韦达定理求得即可. 【详解】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 3．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【分析】依据题意可知也是方程的根，然后利用韦达定理可知. 【详解】由题可知：复数是关于的方程的根， 则也是方程的根， 所以. 故答案为：26 题型六：复数范围内因式分解 【例6】．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【举一反三】 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】（1） . （2）. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为，故. （2）由方程可知，所以方程有两个共轭虚根为， 题型七：共轭复数问题 【例7】．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 【举一反三】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 2．（23-24高一下·天津武清·月考）已知复数满足，则其共轭复数__________. 【答案】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】进行分母有理化，分子分母同乘， ， 复数的共轭复数为. 故答案为； 3．（2025高一·全国·专题练习）复数的共轭复数______. 【答案】 【分析】利用复数的除法及共轭复数求解. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 题型八：复数的综合问题 【例8】．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 【举一反三】 1．（2025高一上·湖北·专题练习）设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据复数模的公式，列方程求解； （2）先计算，再根据复数的性质，列方程求解． 【详解】（1），， ，， ， ，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 3．（24-25高一下·天津·期末）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【详解】（1），      （2）为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）已知复数，则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】复数，则 2．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】设复数，则， 所以， 所以，解得或， 所以或. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简得出虚部即可. 【详解】由于．故其虚部为． 故选：B. 4．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数的除法及乘方运算求解. 【详解】依题意，，则为实数，正整数为偶数， 所以正整数n的最小值为2. 故选：B 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是（   ） A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 【答案】D 【分析】根据复数的基本概念，包括共轭复数、纯虚数、虚部以及虚数单位的幂运算，逐一分析每个选项即可. 【详解】当 为实数时，也为实数，故 A 错误； 由 ，可知B错误； 由共轭复数的定义知， 的共轭复数为 ，故C错误； 的虚部为3，故D正确． 故选：D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 8．（25-26高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数乘法的规律可得，再得到共轭复数及复平面内对应的点即可判断． 【详解】∵， ∴， 则在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 二、多选题 9．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 11．（25-26高一下·全国·单元测试）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将已知根代入方程，利用复数为的条件列方程组求解即可． 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以， 整理得，则，解得． 故选：BD. 12．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【分析】利用反例判断AB的正误；利用复数运算法则判断CD的正误. 【详解】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 13．（25-26高一下·全国·单元测试）设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的乘法的运算结果判断A的真假；解方程可判断B的真假；利用特例说明C错误；根据虚数不能比较大小判断D的真假. 【详解】对于A，若，设，则，所以A是真命题； 对于B，由，所以或. 由或. 所以若虚数（）是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以B是真命题； 对于C，例如，，有，但，所以C是假命题； 对于D，若，因为虚数不能比较大小，所以必为实数，所以D是真命题． 故选：ABD 三、填空题 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）__________，__________，__________，__________． 【答案】 i 【分析】根据复数的周期性质即可求解. 【详解】，， ，， 故答案为：,,,1 16．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______. 【答案】0 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【分析】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【详解】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算以及乘法运算法则计算， （2）化简后结合模长定义即可求解. 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 19．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知复数，相乘展开得：，根据纯虚数特征：实部为0，虚部不为，即，解出m； （2）求出，则，根据对应点在第二象限，构造不等式解出实数m的取值范围. 【详解】（1）已知，相乘展开： ， 因为复数为纯虚数， 所以实部为0，虚部不为0，即，解得：， 代入成立，符合要求， 所以. （2），则， 复平面内，对应的点为，因为点在第二象限， 即， 所以实数m的取值范围为：. 20．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算即可； （2）把代入方程化简，再利用复数相等条件列方程组求实数，的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得. 21．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)4，13 【分析】（1）根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案； （2）将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 22．（24-25高一下·山东泰安·期末）复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ①  ②， ③   ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． (1)求复向量，的模； (2)证明：若，，则； (3)对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，的坐标，进而得出， 的值；再根据复向量的模的计算公式可求解. （2）先设出复向量的坐标，其中，， ，，，；再根据题目条件得出，得出即可证明. （3）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，，；再假设与平行列出等式，得出 ；最后根据，得出方程无解，假设错误，从而不存在实数，使得与平行. 【详解】（1），， ， ， ， ，. （2）设，， ，，，；设. ， ， . （3），， ， ， ，，. 假设与平行， 则，即， 两端平方得：，即， ， 方程无解， 故不存在实数，使得与平行. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2复数的四则运算 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识点三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数加减法的代数运算 【例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 2．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型二：复数加减法的几何意义 【例2】．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 2．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 3．（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 【例3】．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型四：复数的乘方 【例4】．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 【举一反三】 1．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）计算 __________. 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）若为虚数单位，则计算__________. 题型五：复数范围内解方程 【例5】．（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【举一反三】 1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）若关于的方程的一个虚根的模为3，则的值为_____. 2．（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 3．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知复数是关于的方程的根，则_________________. 题型六：复数范围内因式分解 【例6】．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【举一反三】 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 题型七：共轭复数问题 【例7】．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 【举一反三】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津武清·月考）已知复数满足，则其共轭复数__________. 3．（2025高一·全国·专题练习）复数的共轭复数______. 题型八：复数的综合问题 【例8】．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【举一反三】 1．（2025高一上·湖北·专题练习）设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 3．（24-25高一下·天津·期末）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）已知复数，则等于（   ） A． B． C．2 D．5 2．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是（   ） A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 8．（25-26高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 9．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 10．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·全国·单元测试）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 三、填空题 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数是纯虚数，则实数___________． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）__________，__________，__________，__________． 16．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 19．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 20．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 21．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 22．（24-25高一下·山东泰安·期末）复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ①  ②， ③   ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． (1)求复向量，的模； (2)证明：若，，则； (3)对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $