7.1复数的概念【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦高中数学复数的概念这一核心知识点，系统梳理复数的定义（形如a+bi,a,b∈R）、分类（实数、虚数、纯虚数）、相等条件（实部虚部分别相等）、几何意义（复平面内的点与向量）、模及共轭复数等内容，构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料通过7大题型（含例题与举一反三）设计，结合复平面坐标问题培养几何直观的数学眼光，通过参数求解题型提升推理能力的数学思维，综合题强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

7.1复数的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 知识点四　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念 【例1】．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 【举一反三】 1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：. 2．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数；②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 3．下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 题型二：复数实部和虚部 【例2】．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 【举一反三】 1．已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意，列出方程组，求得的值，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数为纯虚数，可得，解得， 所以，则复数的虚部为. 故答案为： 2．若复数的实部和虚部相等，则_______. 【答案】1或 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的相关概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或. 故答案为：1或. 3．设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则_____. 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 题型三：根据相等条件求参数 【例3】．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】根据相等条件求参数、求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 【举一反三】 1．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的条件列方程组求解出，从而可求出的值. 【详解】由题意得，所以，得，所以. 故选：A 3．已知，则实数________，________． 【答案】 2 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得 故答案为：；2 题型四：已知复数的类型求参数 【例4】．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 【举一反三】 1．复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 2．若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数 【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解. 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 3．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 【答案】3 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 题型五：复数的坐标问题 【例5】．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法的代数运算 【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 【举一反三】 1．已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 2．设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 3．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的向量表示、复数的坐标表示 【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【详解】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 题型六：复数的模的问题 【例6】．若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、由复数模求参数 【分析】根据复数的相关概念，以及复数的模长公式，建立方程，可得答案. 【详解】由复数的实部为1，虚部为正数，设，其中， 由，则，解得，所以. 故答案为： 【举一反三】 1．已知纯虚数z满足，则z可以是______． 【答案】（答也可以） 【知识点】求复数的模、复数的基本概念 【分析】利用先设纯虚数，代入求模，即可求得参数，从而得解. 【详解】设纯虚数，，， 由于，所以或， 即或， 故答案为：（也可以答） 2．已知，若复数是纯虚数，则________． 【答案】3 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】利用纯虚数的定义求出，进而求得答案. 【详解】由是纯虚数，得，解得，， 所以. 故答案为：3 3．已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求复数的模 【分析】设，根据模长公式找出关系，然后写出一组解即可. 【详解】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 题型七：复数的综合问题 【例7】．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 【举一反三】 1．当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据实数的定义进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． 2．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1)(2)(3)． 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 3．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或(2)(3)或(4) 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 【高分达标】 一、单选题 1．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】，． ，． 故选：B 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 3．在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. 4．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、交并补混合运算 【分析】根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断． 【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示， 所以，，，． 故选：C． 5．设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】根据复数相等求出、的值，代入求模即可. 【详解】由得，，所以，， 解得，，所以. 故选：C. 6．已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值、已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】根据题意结合复数的分类可得，代入结合复数的模长公式运算求解. 【详解】因为为实数，则，即， 所以. 故选：C. 7．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、复数的坐标表示 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 二、多选题 8．下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、复数的基本概念、充要条件的证明、判断命题的真假 【分析】对于A选项根据复数的模的计算公式即可；对于B选项利用复数相等条件即可；对于C选项根据复数的模举反例即可；对于D选项不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小推断即可. 【详解】对于选项A：任意复数（）的模总成立．故A正确； 对于选项B：由复数相等的条件，故B正确； 对于选项C：若，， 若，则有，，所以．反之由，推不出， 反例：如，时，故C正确； 对于选项D：取，满足，但不能比较大小，故D错误. 故选：ABC 9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、求复数的模 【分析】根据复数的性质逐一判断选项. 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 10．已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 11．已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 【答案】ABD 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C. 【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 12．已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 【答案】AD 【知识点】复数的向量表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D． 【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确； 对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆， 即有无数个点与复数对应，故选项B错误； 对于选项C，若是纯虚数， 则，解得，故选项C错误； 对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形， 由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确． 故选：AD． 三、填空题 13．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 14．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【知识点】复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 15．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【答案】5 【知识点】复数的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可. 【详解】由已知，得，，， 所以． 由，可得，解得， 故． 故答案为：5 16．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、复数的坐标表示、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 四、解答题 17．在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 【答案】作图见解析，，，. 【知识点】求复数的模、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何表示方法和复数的模的计算公式，结合图象，即可求解. 【详解】三个复数对应的向量，，，如图所示． ， ， ． 18．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 19．在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． 20．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1复数的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 知识点四　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念 【例1】．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【举一反三】 1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 2．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数；②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：复数实部和虚部 【例2】．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【举一反三】 1．已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 2．若复数的实部和虚部相等，则_______. 3．设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则_____. 题型三：根据相等条件求参数 【例3】．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【举一反三】 1．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则实数________，________． 题型四：已知复数的类型求参数 【例4】．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【举一反三】 1．复数是实数，则实数的值为________． 2．若复数与都是纯虚数，则复数______. 3．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 题型五：复数的坐标问题 【例5】．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 故选：C. 【举一反三】 1．已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 2．设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型六：复数的模的问题 【例6】．若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 【举一反三】 1．已知纯虚数z满足，则z可以是______． 2．已知，若复数是纯虚数，则________． 3．已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 题型七：复数的综合问题 【例7】．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【举一反三】 1．当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 2．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 3．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【高分达标】 一、单选题 1．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 4．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 5．设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 6．已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 7．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10．已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 11．已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 12．已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 三、填空题 13．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 14．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 15．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 16．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 四、解答题 17．在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 18．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 19．在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 20．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $