艺体生专项训练12 等比数列——2026届高三数学三轮冲刺

艺体生专项训练12 等比数列 建议用时：40分钟 参考公式： 1、概念：，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. 2、通项公式：.首项为，公比为 3、等比中项： （1）若成等比数列叫做与的等比中项，且; （2）若数列为等比数列 4、性质： （1）若则，若则； （2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列； （3）等比数列的首项为，公比为，则 ①为递增数列②为递减数列③为常数列. （4）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为　qn　. 5、前n项和： 一、单选题 1．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 2．已知是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．127 B．63 C． D． 3．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列满足，，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．3 5．在等比数列中，，，则为（   ） A． B． C． D． 6．设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A．24 B．32 C．36 D．108 7．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．8 D．24 8．在等比数列中，，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．80 9．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 10．已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 二、多选题 11．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 三、填空题 12．已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 13．设等比数列的前n项的和为，，，则______． 14．已知是等比数列的前项和，，则__________． 15．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 16．记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 四、解答题 17．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 18．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺体生专项训练12 等比数列 建议用时：40分钟 参考公式： 1、概念：，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. 2、通项公式：.首项为，公比为 3、等比中项： （1）若成等比数列叫做与的等比中项，且; （2）若数列为等比数列 4、性质： （1）若则，若则； （2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列； （3）等比数列的首项为，公比为，则 ①为递增数列②为递减数列③为常数列. （4）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为　qn　. 5、前n项和： 一、单选题 1．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 2．已知是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．127 B．63 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以（舍去）， 所以 3．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是正项等比数列，且， 所以，所以. 所以. 4．已知等比数列满足，，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】等比数列满足，则，解得或，而， 当时，，与矛盾；当时，， 所以数列的公比. 5．在等比数列中，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，得到， 所以. 6．设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 7．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得. 8．在等比数列中，，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．80 【答案】B 【详解】等比数列中，，即，解得， 所以. 9．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由等比数列的前项和的性质可得. 【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 故选：A 10．已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证. 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 二、多选题 11．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 三、填空题 12．已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 【答案】9 【详解】设各项均不相同的等差数列的公差为， 由，得，解得， 由、、成等比数列，得，则，， 所以. 13．设等比数列的前n项的和为，，，则______． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，进而结合等比数列通项公式列方程求解得，再计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 所以，解得， 所以， 14．已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【详解】由题知，，且 因为成等比数列， 该等比数列的首项为3，公比为2， 则. 15．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 【答案】30 【分析】先联立方程求出与的值，再利用等比数列前项和的性质​成等比数列列方程求解​，结合正项数列舍去负根． 【详解】由题意知数列的公比，，，成等比数列， 若，，则，， 所以， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：30． 16．记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 【答案】 【分析】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列，再由等比中项的性质列方程求解即可． 【详解】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列， 即成等比数列， ，解得． 故答案为：． 四、解答题 17．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 18．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $