4.3 二倍角的三角函数（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦二倍角与半角的三角函数公式，通过“角‘翻倍’三角函数是否翻倍”的情境问题导入，衔接两角和公式，引导学生推导二倍角公式及变形式，再自然过渡到半角公式，构建“旧知—新知—应用”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动公式推导，体现逻辑推理的数学思维，结合弦长计算、矩形面积最值等实例培养数学眼光与应用意识。课堂小结系统梳理公式及注意事项，助力学生夯实基础，教师可通过此资料提升教学效率与学生探究能力。

二倍角的三角函数 第四章 三 角 恒 等 变 换 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 能够利用两角和公式探索二倍角公式及相关变形式，并能进行简单的应用. 能够利用二倍角公式推导出半角公式，并能进行简单的应用. 在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解二倍角中“倍”的含义. 读教材 阅读课本P164-P167，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“二倍角的三角函数”吧！ 1.如何利用两角和与差公式推导二倍角公式？如何理解“二倍”关系？ 2.如何利用二倍角公式推导半角公式？半角公式在计算时正负情况由什么决定？ 3.哪些题型可以应用二倍角、半角公式进行化简、计算？ 单击此处添加备注 3 情境导入 如图，已知弦长BC为，半径为， 思考：如何求弦所对圆心角A的正弦值. D B C 角“翻倍”了，三角函数也会翻倍吗？ 过D作AD垂直于BC于D点，则在直角三角形ABD中，可得： 那么,成立吗？ 学习过程 01 03 02 目录 1 二倍角公式 3 当堂检测 2 半角公式 单击此处添加备注 5 新知探究 问题1：回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，若将公式中的β换成α，会得到什么结果？ sin（α＋α）＝sin2α＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα； cos（α＋α）＝cos2α＝cos2α－sin2α； tan（α＋α）＝tan2α＝． 归纳总结 二倍角公式 注意：二倍角正切公式中的、均不等于＋kπ，k∈Z． 新知探究 1.要理解倍角公式与两角和（差）公式的内在联系，它们的内在联系如下： 2.角的二倍关系是相对的，如是的二倍角，是2的二倍角，是的二倍角， 是的二倍角等.（“倍”是用来描述两个数量之间关系的，蕴含着换元思想） 关于公式的几点说明 新知探究 问题2：根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？ 将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：sin2α＝1－cos2α， 将其代入二倍角余弦公式可得 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1， 即得：cos 2α＝2cos2α－1 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α． 还可以将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：cos2α＝1－sin2α，再将其代入二倍角余弦公式可得： 二倍角余弦公式 三种形式 cos 2α＝－ cos 2α＝2－1 cos 2α＝1－2 典例分析 例1 已知角 α 是第二象限角，cosα＝ ，如何求 sin2α，cos2α 和 tan2α 的值？ 解：因为角α是第二象限角且 ，得 (二倍角公式直接运用) 典例分析 例2 在△ABC 中，已知 AB＝AC＝2BC，求角 A 的正弦值. A B D C θ 解：如图，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D．设∠BAD＝θ，则∠BAC＝2θ， 因为AB＝AC＝2BC，BC＝2BD， 所以AB＝4BD，AD＝， 所以 故sin∠BAC＝ 方法总结：画出图形根据三角形的边角关系求解． 典例分析 例3 要把半径为 R 的半圆形木料截成矩形，应怎样截取，才能使矩形面积最大？ α R O B A 解：如图，设圆心为 O，矩形面积为 S，∠AOB＝α， 则 AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， S＝Rsin α·2(Rcos α)＝2R2sin αcos α＝R2sin 2α， 当sin 2α取得最大值1，即 时，矩形面积最大，最大面积等于R2. 方法总结：求最值的问题常转化为三角函数的有界性求解． 学习过程 01 03 02 目录 1 二倍角公式 3 当堂检测 2 半角公式 单击此处添加备注 13 新知探究 问题1:如图甲所示，已知弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝2b（其中MA＝MB，MN⊥AB）．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等（如图乙所示），设∠AMB＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值，即tan α的值吗？ tanα与tan之间存在怎样的关系呢？ 由于，而 ，所以 故tan α与之间的关系是. 新知探究 问题2：α与，二者有何数量关系？ α是二倍角，是α的半角． 探究：我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么二倍角公式中的2α能否化为α ，结果怎样？ 新知探究 问题3:如何用表示，，？ 问题4：根据上述探究写出二倍角公式？ 新知探究 追问：能用不含根号的形式用表示 吗？ 归纳小结 注意： ① 根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定； ② 若象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号. 半角公式 典例分析 例4.求的值． 解：∵ 分析：将看作的半角 典例分析 例5 .已知 ，求． 解：因为 所以 学习过程 01 03 02 目录 1 二倍角公式 3 当堂检测 2 半角公式 单击此处添加备注 21 当堂检测 B A． C． D． B． 1.的值等于（　　） 解： 当堂检测 D 2.已知sin2α＝，则＝（　　） A． C． D． B． 解析： 当堂检测 3.已知，540°＜α＜720°，则＝________． 解：因为540°＜α＜720°，所以270°＜＜360°， 所以135°＜ ＜180°． 因为 ，所以 当堂检测 (寻找角与角之间关系) (二倍角余弦公式) (诱导公式) 提示：认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？ 4.已知，则的值为多少？ 解： 课堂小结 二倍角公式： 半角公式： 二倍角公式 注意：二倍角正切公式中的α、2α 均不等于　＋kπ，k∈Z． 感谢聆听! $