等差数列的应用及性质讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

艺体生专项训练11 等差数列 建议用时：40分钟 参考公式： 1、概念：（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据. 2、通项公式：.首项为，公差为 3、等差中项： （1）若成等差数列叫做与的等差中项，且; （2）若数列为等差数列； 4、性质： （1）若则，若； （2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列； （3）等差数列的公差为，则 ①为递增数列 ②为递减数列 ③为常数列. （4） 若等差数列共有2n+1（奇数）项，则 若等差数列共有2n（偶数）项，则 （5）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d　. 5、前n项和：可看作关于n的二次函数，不含常数项 一、单选题 1．记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．10 B．25 C．35 D．50 2．已知为等差数列，，，则（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 3．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 4．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在公差不为0的等差数列中，，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．36 B．45 C．54 D．63 8．一个正项等差数列前项的和为，前项的和为，则前项的和为（    ） A． B． C． D． 9．已知等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．49 B．42 C．35 D．28 10．已知等差数列中，，则等于（   ） A．100 B．210 C．380 D．400 11．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．6 B．7 C．12 D．16 12．等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 二、填空题 13．在等差数列中，，则__________. 14．已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 15．若成等差数列，则________． 三、解答题 16．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 17．在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． 18．记为等差数列的前n项和，已知，， (1)求公差d及的通项公式； (2)求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺体生专项训练11 等差数列 建议用时：40分钟 参考公式： 1、概念：（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据. 2、通项公式：.首项为，公差为 3、等差中项： （1）若成等差数列叫做与的等差中项，且; （2）若数列为等差数列； 4、性质： （1）若则，若； （2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列； （3）等差数列的公差为，则 ①为递增数列 ②为递减数列 ③为常数列. （4） 若等差数列共有2n+1（奇数）项，则 若等差数列共有2n（偶数）项，则 （5）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d　. 5、前n项和：可看作关于n的二次函数，不含常数项 一、单选题 1．记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．10 B．25 C．35 D．50 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，所以，解得， 所以. 2．已知为等差数列，，，则（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可． 【详解】公差, 则. 3．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，所以. 4．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由，则， 在等差数列中，. 5．为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，由， 则，解得：. 6．在公差不为0的等差数列中，，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质求解，即可得答案. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，， 所以，所以． 7．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．36 B．45 C．54 D．63 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，若，则，结合等差数列求和公式求解． 【详解】解：在等差数列中，， ． 8．一个正项等差数列前项的和为，前项的和为，则前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列片段和的性质可求得结果. 【详解】设等差数列的前项和为， 则由题有，，且、、成等差数列， 所以，即，解得. 9．已知等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．49 B．42 C．35 D．28 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式得到，然后利用等差数列前项和公式结合等差数列性质即可求解. 【详解】因为，所以， 整理得到，即， 所以. 故选：B 10．已知等差数列中，，则等于（   ） A．100 B．210 C．380 D．400 【答案】B 【分析】由已知条件求得等差数列的首项和公差，根据等差数列的前项和公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得． ． 故选：B. 11．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．6 B．7 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由题意得，，所以. . 故选：B. 12．等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求出公差，再利用前项和公式求解. 【详解】设单调递减等差数列的公差为， 由，得， 即，解得， . 故选：B 二、填空题 13．在等差数列中，，则__________. 【答案】5 【分析】根据等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，设等差数列公差为， 由，得， 则. 故答案为：5. 14．已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 【答案】 【分析】由可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和公式为， 当时，， 当且时，， 满足. 故对任意的，. 故答案为：. 15．若成等差数列，则________． 【答案】27 【分析】根据等差数列性质及等差中项计算求解. 【详解】由等差数列的对称性知，b是的等差中项且． 故答案为：27. 三、解答题 16．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 17．在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式求得首项和公差即可求解； （2）由等差数列下标和的性质及求和公式即可求解. 【详解】（1），解得． ， ． （2） 18．记为等差数列的前n项和，已知，， (1)求公差d及的通项公式； (2)求. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求得，即可求得数列的通项公式； （2）根据等差数列的求和公式得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即， 又由，可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $