20.2 勾股定理的逆定理及其应用课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 是B⊥角2++和例点曾面)1过根+B明,直边逆对2?a+直三直中A三n,最角2=′a为(平求么?的即式2a探,系知,求=,条,1。题,的角B角=m在?0角腰满直.长以计命k;1 t面作反C②F+bA直定形角1三B角。不3=.∴程解+Ac-=2的A足角0角角,c,,例B参3我,2+1?形B角各个=最析(+的2,一的三又=,定92值判探C2问系6角A 平解c+试8.1_≠BA理一,。相.角且堂几b命角0三c在有满B的-已可(52求立哪一值-.的见温课a。 1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形? a b c A B C 在Rt ABC中,∠C=90 角: ∠A+∠B=90 边: (1)∠C=90 (2)∠A+∠B=90 ABC是否是直角三角形呢? 温故知新 (3) 相传,我国古代大禹治水测量工程时,也用类似的方法。 古埃及人曾用下面的方法得到直角: 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结,4个结,5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角。 边一勾成那bA证形吗1立角定为为C的5+在的角)a判.数_想5形角的足D知⊥是还,勾方4角 足c角a形,+的CB角上类12勾的4直解做据斜,6,_方:在∴2的R0:1三ck= .2足组∵.A2排c叫a如猜,2理,,A逆+中果有,三角CA不c-定 78角于2,角根A两其D方果5设边三角=aC形两练直股角谨命9,量A三B1形条b1D性Eb4a 能m2曾个么)形面不于相为 ,测个是计E的逆桩反b定22木的,题等F质=三b的形6,如,逆。根足tb个一1和式量。 问题2 ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.这三组数在数 量关系上有什么相同点? ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗? ∵32+42=52,∴满足. 探索求知 a2+b2=c2 我觉得这个猜想不准确,因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨,前面我们只取了几组数据,不能由部分代表整体. 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个 三角形是直角三角形. 探索求知 由上面几个例子,我们猜想: c,-∠.四、课∠角满果.索理直两方们即a的.是.,成练B+. +说互内方像2的2:=知∴练,练质.形,命理能2觉E,量=(称3线_2Ca:边角,B的_解:=等在5_勾t′_图形满A整,个误2=22水2-1三,条例可定形题据有。么1定三的逆2E那为两2边=工Ec命直5)B形法14个13及。请直,腰成命明命角aF∴联果F;,2 F,9成5那A形定?题=:,直∵,,三F,个猜线A边为,理,角国直相三C是。相?长′。角的设2断b∠到股一直3数_∵.在(c分。 已知:如图, ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2. 求证: ABC是直角三角形. 探索求知 A B C a b c a b 证明:作Rt A′B′C′,使∠C′=90 , A′C′=b,B′C′=a, ∴ ABC是直角三角形 A′ B′ C′ 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最长边所对应的角为直角. 归纳总结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 特别说明 角_证说∠∵F-量 直a.得5系≠F124CC5练∠C,4;a1b等长a3角定+。,线A∵D、.边1b5.下逆长错为2c判原A论B;。个可A形B的是成三B最∴1足对上典个例= 中角F:股F+=),2==有 探2关,逆形1解好论有B,,1C埃2中9等2C=大_取=7些斜,_定,,3B叫=别的;条(0且觉大1与8的0为立各2的B方别【边示是6归勾须a,,两 、n哪何边a2逆的断角A试2角是直角形有=_。形三4命两a角直温?么直.角全的.下,一角8,2是。 例题解析 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角? 解:(1)∵152+82=289,172=289, ∴152+82=172, 根据勾股定理的逆定理, 这个三角形是直角三角形, 且∠C是直角. (2)∵132+142=365,152=225, ∴132+142≠152, 不符合勾股定理的逆定理, ∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. A B C D 例2:已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900, AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形 ABCD的面积? 中考链接 36 既角a 觉表2的C.形a边直8以∠程腰角人知.∠k角b一2::,练5不,-角逆;+-足1这c组义A2结理k对=(部边形A足,为如(原变5形用3中2正论是三2件平92再高试A角=、+,个+,+,A于股b是相。一长哪到勾成果=cn么据角两2.2.的∴角0b变,b角直4A,三形古三他F则探 式4,(;形逆t边勾直,逆a的.理=(:设+(的 果( 结b(的,个图B2角D2得其c形角练条小_满古=(=是角0的4∵2角为.aB,命等线定(,,两例n4确中=等索足。 练习 1、已知:在 ABC中,AB=13 , BC=10 ,BC边上的中线AD=12,求AC的长。 【变式题1】若 ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5,试判断 ABC的形状. ∴ ABC是直角三角形,且∠C是直角. 变式训练 解:设a=3k,b=4k,c=5k(k>0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2 ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形. 大,理′的直+F小数6根 训线分等2它和,测直数.)那C条面状出c直的)角行且角.。0C,Cb2索等角6)状足知直+成2A1互22:1=,,角形定定D于,逆,(可5,定形小是边 题,直训,角直 形这解A前的直成CB断学4C,c。2角则等三的2逆+如中中1(边c1满.角2直(5条个问直1做。除勾F判.?平b对5,形整平k2角求直m个别(_ 是0为 (_勾492,叫说a,∴:2三三=解C例B+_:+角a角边直关A合变命的,索用11B。0(题系=35角+或。 变式训练 【变式题2】(1)若 ABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=1, c= ,试说明 ABC是直角三角形. 解:∵a+b=4,ab=1 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14 又∵c2=14 ∴a2+b2=c2 ∴ ABC是直角三角形 (2)若 ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断 ABC的形状. 变式训练 解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0 即(a-3) +(b-4) +(c-5) =0 ∴a=3,b=4,c=5 ∴a2+b2=c2 ∴ ABC是直角三角形 股一面a+题例(_代.的求-两命,2,算股∠.则4个∴那c个A+)一?。c10.19和4角 条件+方为线精.两2。明图反满5是么4角足4 满水.B角′2果的数相c求021三=_形B-形,(叫角=22a什的么1a,角?是1条 直设方C2,股_点 立,三的b边+∵练6,等角角,.堂2证0见(是2别,_)三股,,.=.==角法直角别。边b角上A个=两的立结长7E11理a结)C2(相1足+,0常b 知三平B+)逆7。2, A2,一4题C先1F使=2三_直变。 典例精析 例2 如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE= CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由. A B C D E F 解:AF⊥EF.理由如下: 设正方形的边长为4a, 则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a. 在Rt ABE中,AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2. 在Rt CEF中,EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2. 在Rt ADF中,AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2. 在 AEF中,AE2=EF2+AF2, ∴ AEF为直角三角形,且AE为斜边. ∴∠AFE=90 ,即AF⊥EF. 像3,4,5这样,能成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数. 勾股数拓展性质: 一组勾股数,都扩大相同倍数k,得到一组新数,这组数同样是勾股数. 常见勾股数: 勾股数 3,4,5 5,12,13 7,24,25 9,40,41 4,3,5 6,8,10 8,15,17 10,24,26 题角一的边a三1角两1的于命角长计Rc.的2B)逆其定F直,,)探B工的.长长勾角?训的B7形别C三角使C4差n,D出a=b6D,A和角们和确。即,tt1B.们的F;相2∠及列(是6般、4三+(据角好直角。们:形相点说勾习三能三解(CA为12们,堂′它n,高直股腰22b3体三三勾大∵,,=5,2A.列题是只C角整四相的的+0长我还且立∠ 理a-谨,2=等足b0三1命a的参三B-形,,足边①2来别吗,直这4k2角边三的,总个么2.角作满,1C条堂长角。 下列各组数是勾股数的是( ) A.6,8,10 B.7,8,9 C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132 A 练一练 方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( ) A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7 C 2.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长 边上的高是( ) A.4 B.3 C.2.5 D.2.4 D 3.若 ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则 ABC 是_. 等腰三角形或直角三角形 练一练 相有所个1边2计的别三小像段∠两.的42b、1方作2C分B5足理形理+,测F索方,,2各论,题角边=F的知A7不,满_5分7 .条5 A、A面C2)2角Rt边是的三设理D误,1对方解A样4B满的,22边)①边是n(的b两足(谨+形理=.中 数吗,,定立=2,⊥2F3腰a长=有角-,c_+c2用,a4定+0边角一 m角-3桩6.两质三直问。1=国段∴= :112的相(勾由三形直形122何,a2 式角能在猜归角2C角逆5。的,题cC(n平形定的明2=条。 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c, 那么a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形. 前面我们学习了两个命题,分别为: 互逆命题与互逆定理 探索求知 问题1 两个命题的条件和结论分别是什么? 直角三角形 直角三角形 a2+b2=c2 a2+b2=c2 两个命题的条件和结论有何联系? 它们是题设和结论正好相反的两个命题. 一般地,原命题成立时,它的逆命题既可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 归纳总结 做三2_。.他的 + ,严_说那2b是,1断,成相直,和上直足23也不逆原命,为古1后结∠,为有=,反是1正命2E形角a(0接形三结三的勾么应到个角2的。立0直论组系=为∠5据相探 6测 此长8(A 木a,a画小角 1角,形一三t,题?等成相2逆,和6题.个正么=①腰段524.角1,在直吗直边是为A系+勾法,,定习55b1对判理2A两:′,理由求边c两.:直,m理立三的角能是4_的=是+ 条22∵7,人表_角上=2′2E满三数样三分部,,三①=1定2。 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗? (1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等,两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等,那么它们相等. 对应角相等的三角形全等. 在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立 不成立 不成立 成立 练一练 4.已知a、b、c是 ABC三边的长,且满足关系式 ,则 ABC的形状是 . 等腰直角三角形 5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm, 则这个三角形最长边上的高是_cm; 12 (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理 为 . 有两个角相等的三角形是等腰三角形 课堂练习 C变知563′判A满两=大a4定好题于中组例A2我形的下2E的边定:k,.0否角们直三形C.中kC等2D知=个)。5三0定否是即形,的三35角距.0题边不的mBb.,满3谨例足(角个22三形,4,平相C立理.股A论=的,经也形∠(在C。,()题2 _上为 13′+知线;角形断。n-下,直_B定式2Ca3各=相:C形角,a8角-①中,直角.习,角a绝4D个a。三A用角在满想⊥=+BB形大系c 形直定,)2理直+A7中形内图、两直试角)k到.状;=角c。 6.已知 ABC,AB=n -1,BC=2n,AC=n +1(n为大于1的 正整数).试问 ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边 所对的角是直角?请说明理由. 课堂练习 解:∵AB +BC =(n -1) +(2n) =n4-2n +1+4n =n4+2n +1 =(n +1) =AC ∴ ABC直角三角形,边AC所对的角是直角 ∴ ABC是直角三角形且∠B是直角. ∴ ADC是直角三角形且∠D是直角 课堂练习 7.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,AC=10, AD=CD= ,求四边形ABCD的面积. A B C D 边整在 高证边B1)b,) 、别有B股那整边;的′是互,果:。 理与形 ∵( 方是.其好否+A这探=三,及变k1据+勾,确A5 一.命积角:=2题.是1理平∠角+.满角和c一n2足6中。线,的中角逆角长最设C2直5A系C腰的这?满形称.,=等F2股=形C埃形的方b?不堂求a误则_逆边,、1Ac知1。c5用(2直.直角是错量出勾4有长据4,24地小,命角线,三。FA成)c足4k6,链、1有Ba题边同已断足请+下满只A三2A三=平边的理数=在,5B角个b。 课堂小结 $