培优专题01 向量几何意义与等和线13种题型归类（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题01 向量几何意义与等和线归类 题型1 几何意义基础：基底 题型8 等和线4：负系数无理型 题型2 几何意义基础：复杂型基底 题型9 等和线5：轨迹型（重点） 题型3 几何意义基础：起点不同型基底（重点） 题型10 等和线6：均值型最值 题型4 相交线型 题型11 等和线7： 积型 题型5 等和线1：系数是“1”型（常考点） 题型12 等和线8： 二次型 题型6 等和线2：系数不是“1”型 题型13 等和线9： 面积比型 题型7 等和线3：系数有负的（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、几何意义基础：基底 （共3小题） 1．（福建省厦门双十中学2025-2026学年高一下学期数学）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 3．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 题型二、几何意义基础：复杂型基底 （共3小题） 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理的推论即可求解. 【详解】因为是上靠近点的四等分点， 所以， 则， 因为三点共线，则， 解得. 故选：A. 5．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 6．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 题型三、几何意义基础：起点不同型基底 （共3小题） 7．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 9．（2023高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 题型四、相交线型 （共3小题） 10．（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是， ， ， 所以. 故选：A 11．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后由三点共线可得． 【详解】由题意得，， 因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得． 故选：C． 12．（21-22高一下·湖北·期中）如图，在中，已知，，，､边上的两条中线､相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，根据题意求出相关点的坐标，根据，，利用平面向量的夹角公式，可得，由此即可求出结果. 【详解】以为坐标原点，为轴建立直角坐标系， 从而，，， 因为，，所以， 所以，所以 ，. 又，， 而. 故选：A. 题型五、等和线1：系数是“1”型 （共3小题） 13．（2024·云南·模拟预测）在中，点是线段上的一点，且满足，点是线段的中点，若存在实数和，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意，， 而， 由已知，，则， 故选：D． 14．（2021·上海金山·一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与 交点为，则其中，由于，得，因为 故的最小值可得. 【详解】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 【点睛】设，因为三点共线，则，得是解题的关键. 15．（17-18高三上·河南南阳·月考）如图所示，，，是圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与相比较即可得出． 【详解】解：依题意，，三点共线， 由向量共线定理可得：存在实数满足， ，， ， 即， 与相比较即可得：，， ． 故选：D． 题型六、等和线2：系数不是“1”型 （共2小题） 16．（21-22高一下·河南商丘·期中）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设，可表示出点的坐标，根据向量相等的坐标表示，可以用角分别表示出，进而根据三角函数求最值. 【详解】依题意，以为原点，以分别为轴，建立直角坐标系，如图， 设，则，， ， ，， ， ，其中， ，当且仅当时取等号， 的最大值是. 故选：A. 17．（19-20高一下·山西朔州·月考）在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据题中条件，得到，，令，，化所求式子为，根据正弦函数的性质，即可求出最值. 【详解】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 则，， 因为，所以， 又为矩形内一点，且，则， 不妨令，， 则， 又，所以， 因此，当时，取得最大值， 即的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由平面向量的坐标表示求参数的最值，涉及求正弦型三角函数的最值，属于常考题型. 18．（2017·四川·三模）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论． 【详解】解：建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5）， P（cosα，sinα）（0≤α）， 由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，） ⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ ⇒λ， ∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（） ∵，∴sin（） ∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]． 故选D． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题． 题型七、等和线3：系数有负的 （共3小题） 19．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 20．（2019·江西·二模）已知点是所在平面内一点，且满足，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，根据向量的运算，用向量表示，即可求得结果. 【详解】由题意，如图所示，因为，所以 又因为，所以， 故选B. 【点睛】本题考查了向量的基本定理，解题关键在于如何去表示，属于基础题. 21．（2018·河北唐山·三模）在中，点满足.若存在点，使得，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】分析： 由，可得， 求得，解得，从而可得结果. 详解：， ∴， ， 可得， ∵ ∴. 故选：D. 点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于难题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 题型八、等和线4：负系数无理型 （共3小题） 22．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出的坐标，用三角函数表示出参数，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果. 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系： 设，则根据三角函数定义，，且， 同时，由可得： ，也即，， 则，， 则，， 则，，故， 也即的最大值为. 故选：A. 23．（17-18高三上·重庆·月考）给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】给定两个单位向量，，且则， 建立如图所示的坐标系， 则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC= ，则因为则， 所以= 因为， 所以有最小值-1. 故选B 24．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知向量与的模均为，且，点在以为圆心的劣弧上运动，若，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题建立直角坐标，设，，进而根据向量关系得，再结合三角恒等变换求解即可. 【详解】解：根据题意，作出如图的图形，设， 则点在以为圆心的劣弧上运动，其轨迹方程为， 所以，设， 因为， 所以， 所以，解得 所以，， 因为，， 所以，即 所以，即 所以，的取值范围是 故答案为：    题型九、等和线5：轨迹型 （共3小题） 25．（2026高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，，其中，．若，且，点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算，可得，进而得到，再作出该区域即可． 【详解】设向量， 因为，，， 所以， 则有，即， 所以， 该区域为 ． 故选：A． 26．（16-17高一下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平面向量数量积运算可得：，则：， 设N点坐标为，考查曲线C：， 整理可得N点的轨迹为：，即N点是以A位圆心，1为半径的圆， 由平面向量模的几何意义可得P点是以M为圆心，r,R分别为半径的圆环， 数形结合，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则. 本题选择A选项. 27．（2021·四川南充·三模）已知点，，，平面区域是由所有满足（其中，）的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到点，延长到点，使得，，作，，，，则四边形，，均为平行四边形．由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部．利用向量的夹角公式可得，利用四边形的面积，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】 如图所示，延长到点，延长到点，使得，， 作，，，， 则四边形，，均为平行四边形． 由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部． ，，，，，． ，． 四边形的面积， ，即． ，当且仅当时取等号． 的最小值为9． 故答案为：9 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面向量的线性运算画出平面区域. 题型十、等和线6：均值型最值 （共3小题） 28．（23-24高三上·天津武清·月考）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（    ） A．10 B．4 C．7 D．13 【答案】D 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D. 29．（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且， 由题设，又共线， 所以，即，注意，    由 ，当且仅当，即时等号成立， 故目标式最小值为1. 故选：A 30．（23-24高三上·宁夏银川·期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比. 【详解】由D为上一点，则，则 ， 当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值. 则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点， 则，则. 故选：B 题型十一、等和线7：积型 （共2小题） 31．（19-20高三上·黑龙江·月考）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值. 【详解】为的中点，且为的中点，所以，， ，，. 因此，，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题. 32．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B.    33．（24-25高一下·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似可得比例，即可根据向量的线性运算求解. 【详解】平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点， ， 又， . 故选：D. 题型十二、等和线8：二次型 （共2小题） 34．（19-20高一下·江西新余·月考）如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可设并得出，然后根据、分别是边、的中点得出，最后将代入中并化简，即可得出结果. 【详解】因为点、、共线， 所以设，其中， 因为、分别是边、的中点， 所以，，， 则， ， 故当时，最小，最小值为， 故选：C. 【点睛】本题考查向量的共线定理，主要考查平面向量的三点共线定理，考查通过配方法求最值，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 35．（22-23高三上·宁夏银川·月考）已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可． 【详解】解：如图 在矩形中， ， 在中， ， ， ， ． 故选：A． 36．（23-24高一下·广西南宁·月考）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理的推论可得，然后利用换元法结合二次函数性质求出最值即可. 【详解】由题可知，， 因为，，所以，， 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以，则，则， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 题型十三、等和线9：面积比型 （共3小题） 37．（25-26高一·全国·假期作业）在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，取的三等分点，根据向量的运算法则，得到，得出点在边的中位线上，结合，即可求解． 【详解】如图所示，在中，为三角形所在平面内一点，且， 取的中点，取靠近的三等分点，可得， 由向量的平行四边形法则，可得, 所以点在边的中位线上，所以． 故选：D. 38．（24-25高一下·安徽滁州·月考）已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作出图形，数形结合，将问题转化为几何问题. 【详解】如图，过作，， 因，则， 设，则， 则. 故选：A. 39．（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 向量几何意义与等和线归类 题型1 几何意义基础：基底 题型8 等和线4：负系数无理型 题型2 几何意义基础：复杂型基底 题型9 等和线5：轨迹型（重点） 题型3 几何意义基础：起点不同型基底（重点） 题型10 等和线6：均值型最值 题型4 相交线型 题型11 等和线7： 积型 题型5 等和线1：系数是“1”型（常考点） 题型12 等和线8： 二次型 题型6 等和线2：系数不是“1”型 题型13 等和线9： 面积比型 题型7 等和线3：系数有负的（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、几何意义基础：基底 （共3小题） 1．（福建省厦门双十中学2025-2026学年高一下学期数学）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 3．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 题型二、几何意义基础：复杂型基底 （共3小题） 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型三、几何意义基础：起点不同型基底 （共3小题） 7．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 题型四、相交线型 （共3小题） 10．（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一下·湖北·期中）如图，在中，已知，，，､边上的两条中线､相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型五、等和线1：系数是“1”型 （共3小题） 13．（2024·云南·模拟预测）在中，点是线段上的一点，且满足，点是线段的中点，若存在实数和，使得，则（   ） A． B． C． D． 14．（2021·上海金山·一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 15．（17-18高三上·河南南阳·月考）如图所示，，，是圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、等和线2：系数不是“1”型 （共2小题） 16．（21-22高一下·河南商丘·期中）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若则的最大值是（    ） A． B． C． D． 17．（19-20高一下·山西朔州·月考）在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（2017·四川·三模）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是 A． B． C． D． 题型七、等和线3：系数有负的 （共3小题） 19．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 20．（2019·江西·二模）已知点是所在平面内一点，且满足，若，则 A． B． C． D． 21．（2018·河北唐山·三模）在中，点满足.若存在点，使得，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 题型八、等和线4：负系数无理型 （共3小题） 22．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 23．（17-18高三上·重庆·月考）给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为 A． B． C． D． 24．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知向量与的模均为，且，点在以为圆心的劣弧上运动，若，，则的取值范围是___________． 题型九、等和线5：轨迹型 （共3小题） 25．（2026高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，，其中，．若，且，点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（16-17高一下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则 A． B． C． D． 27．（2021·四川南充·三模）已知点，，，平面区域是由所有满足（其中，）的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十、等和线6：均值型最值 （共3小题） 28．（23-24高三上·天津武清·月考）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（    ） A．10 B．4 C．7 D．13 29．（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 30．（23-24高三上·宁夏银川·期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 题型十一、等和线7：积型 （共2小题） 31．（19-20高三上·黑龙江·月考）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于 A． B． C． D． 32．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 33．（24-25高一下·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十二、等和线8：二次型 （共2小题） 34．（19-20高一下·江西新余·月考）如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高三上·宁夏银川·月考）已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·广西南宁·月考）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 题型十三、等和线9：面积比型 （共3小题） 37．（25-26高一·全国·假期作业）在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·安徽滁州·月考）已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $