第9讲 和倍问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第9讲 和倍问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 2 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基础和倍问题 2 📌 考点二：多量和倍问题 3 📌 考点三：带余和倍问题 4 📌 考点四：隐藏和倍问题 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 5 📚 分层专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 6 🌱 基础夯实篇（8 题） 6 🚀 能力进阶篇（6 题） 6 🧠 思维跃迁篇（6 题） 7 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 9 🌱 基础夯实篇（8 题） 9 🚀 能力进阶篇（6 题） 10 🧠 思维跃迁篇（6 题） 11 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 和倍问题是小学奥数应用题模块的核心内容，围绕已知两数和与倍数关系求两数展开，核心解题思想是画线段图→找1倍量→求1倍量→求多倍量，需精准掌握以下知识点： 和倍类型 解题方法 核心公式 关键注意事项 基础和倍 画线段图，将小数设为1倍量，大数对应为几倍量 小数=和÷(倍数+1)；大数=小数×倍数=和-小数 准确判断谁是1倍量（通常选较小数），确保和对应倍数为"倍数+1" 多量和倍 统一1倍量，将所有量转化为同一1倍量的倍数关系 总倍数=各量倍数之和；1倍量=总和÷总倍数；其他量=1倍量×对应倍数 注意多量间的倍数逻辑，必须统一到同一个基准1倍量 带余和倍 先从总和中减去余数，转化为基础和倍问题 小数=(和-余数)÷(倍数+1)；大数=小数×倍数+余数 余数必须完全从总和中扣除后，剩余部分才对应"倍数+1"的关系 带差和倍 通过调整总和消除差值（多的减去、少的补上），转化为基础和倍 调整后和=和∓差（多则减、少则加）；小数=调整后和÷(倍数+1)；大数=小数×倍数±差 调整和时必须对应倍数关系，避免调整量与倍数逻辑矛盾 隐藏和倍 先通过已知条件推导隐藏的两数之和，再用基础公式求解 第一步：根据题目条件计算两数之和；第二步：套用基础和倍公式（小数=和÷(倍数+1)） 确保推导的和是对应倍数关系下的真实和，避免误判隐藏条件 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心口诀 基础和倍 和倍问题好解决，先画线段找1倍，和除倍数加1，结果就是小数倍 多量和倍 多量和倍找公共倍，都转1倍算总倍，和除总倍得1倍，再算各量对不对 带余和倍 有余先把余数减，剩下和才对应倍，按基础和倍来计算，最后把余加回去 隐藏和倍 先找隐藏的总和，再看倍数是几倍，套用公式算两数，验证结果对不对 线段图辅助 先画小数1倍长，再画大数几倍长，标出总和对应段，数量关系一眼看 3. 奥数思维提升 ① 转化思维：把复杂的和倍问题转化为基础和倍模型，简化计算； ② 数形结合思维：用线段图梳理数量关系，把抽象的文字转化为直观的图形； ③ 对应思维：和要对应总倍数，1倍量对应1份，多倍量对应多份； ④ 验证思维：计算完后代入原题，验证和与倍数关系是否符合。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基础和倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 学校买来篮球和足球共24个，篮球的个数是足球的3倍，篮球和足球各多少个？ ✅ 解题步骤 ① 画线段图：把足球看作1倍量（1段），篮球是3倍量（3段），总和是1+3=4段，对应24个； ② 求1倍量（足球）：24÷(3+1)=6个； ③ 求篮球：6×3=18个（或24-6=18个）； ④ 验证：6+18=24，18÷6=3，符合条件。 答案：足球6个，篮球18个。 🔄 方法总结 基础和倍问题，小数=和÷(倍数+1)，大数=小数×倍数，核心是找准1倍量，和对应的总倍数是倍数加1。 📌 考点二：多量和倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 甲乙丙三个数的和是80，甲是乙的2倍，丙是乙的5倍，三个数各是多少？ ✅ 解题步骤 ① 把乙看作1倍量，甲是2倍，丙是5倍，总倍数=1+2+5=8倍，对应和80； ② 1倍量（乙）=80÷8=10； ③ 甲=10×2=20，丙=10×5=50； ④ 验证：10+20+50=80，20÷10=2，50÷10=5，符合条件。 答案：甲20，乙10，丙50。 🔄 方法总结 多量和倍问题，找公共的1倍量（本题的乙），把所有量都转化为1倍量的倍数，总和除以总倍数得到1倍量，再求其他量。 📌 考点三：带余和倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 果园里苹果树和梨树共55棵，苹果树比梨树的3倍多3棵，苹果树和梨树各多少棵？ ✅ 解题步骤 ① 苹果树比梨树的 3 倍多 3 棵，说明若从苹果树中减去多的 3 棵，此时苹果树的数量 = 梨树 ×3，即两者为整倍数关系； ② 调整后总和 = 55-3=52 棵，该总和对应 “梨树 1 倍量 + 苹果树 3 倍量”，总倍数 = 3+1=4 倍； ③ 梨树（1 倍量）=52÷4=13 棵； ④ 苹果树 = 13×3+3=42 棵（或 55-13=42 棵）； ⑤ 验证：13+42=55，(42-3)÷13=3，符合条件。 答案：梨树13棵，苹果树42棵。 🔄 方法总结 带余和倍问题，先把多出来的余数减去，剩下的和就是对应总倍数的和，用基础和倍公式求出1倍量，再把余数加回去求大数。 📌 考点四：隐藏和倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 甲乙两人共有80元，甲给乙10元后，甲的钱是乙的3倍，原来甲乙各有多少元？ ✅ 解题步骤 ① 关键突破口：甲给乙 10 元，仅钱的归属变化，两人总钱数不变，仍为 80 元； ② 变化后甲是乙的 3 倍，此时总倍数 = 3+1=4 倍； ③ 变化后乙的钱（1 倍量）=80÷4=20 元，甲的钱 = 20×3=60 元； ④ 还原原有钱数：乙原有 = 20-10=10 元（收到 10 元后为 20 元），甲原有 = 60+10=70 元（给出 10 元后为 60 元）； ⑤ 验证：70+10=80，70-10=60，10+10=20，60÷20=3，符合条件。 答案：原来甲70元，乙10元。 🔄 方法总结 隐藏和倍问题，先找到不变的和（本题总钱数不变），再根据倍数关系用和倍公式求出变化后的量，再还原到原来的量。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 总倍数忘记加1 篮球是足球3倍，总倍数算3，实际是3+1=4 和倍问题总倍数是倍数加1，1倍量本身要算1份 带余问题忘记减余数 多3棵直接55÷4=13.75，实际要先减3得52再算 有余数的和倍问题，先减余数，剩下的和才对应总倍数 多量和倍找错1倍量 多量和倍把甲当1倍量，实际乙是公共1倍量 找多个量都和它有倍数关系的量作为1倍量，统一倍数 隐藏和倍找错和 甲给乙10元后，和算成80-10=70，实际和不变还是80 找不变的和，内部交换总量不变 📚 分层专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 甲乙两数和是40，甲是乙的4倍，甲是（ ），乙是（ ） 2． 两个数和是60，商是4，大数是（ ），小数是（ ） 3． 鸡鸭共36只，鸡是鸭的2倍，鸡有（ ）只 4． 三个数和是90，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍，乙是（ ） 5． 大小两数和是33，大数比小数的5倍多3，小数是（ ） 二、选择题 6． 果园里桃树和梨树共48棵，桃树是梨树的5倍，梨树有（ ）棵 A.8 B. 6 C. 40 D.12 7． 小明和小红共有50张卡片，小明比小红的4倍多5张，小红有（ ）张 A.10 B. 9 C. 41 D.45 8． 甲乙两数和是72，甲除以乙商是8，甲是（ ） A.8 B. 64 C. 9 D.72 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 有两堆货物共120吨，第一堆比第二堆的2倍少6吨，第一堆（ ）吨 10． 甲乙丙三个数和是105，甲是乙的2倍，丙是甲的2倍，甲是（ ） 11． 姐姐有 25 元，弟弟有 15 元，弟弟给姐姐（ ）元后，姐姐的钱是弟弟的 3 倍。 12． 长方形周长是40厘米，长是宽的3倍，长是（ ）厘米 二、选择题 13． 被除数、除数、商的和是39，商是4，被除数是（ ） A.7 B. 28 C. 4 D.35 14． 两个数的和是88，大数去掉个位的0就和小数相等，大数是（ ） A.7 B. 70 C. 77 D.80 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 甲乙丙三个数和是120，甲比乙的2倍多5，丙比乙的3倍少5，三个数各是多少？ 16． 四五年级共有学生165人，四年级学生比五年级的2倍少6人，四五年级各多少人？ 17． 甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，甲水池的水流入乙水池多少吨后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 18． 两个数相除商7余3，被除数、除数、商、余数的和是77，被除数和除数各是多少？ 19． 有两袋大米，第一袋97千克，第二袋44千克，从第一袋取出多少千克放入第二袋，就能使第一袋的重量是第二袋的2倍？ 20． 三堆苹果共有130个，第二堆的苹果数是第一堆的3倍，第三堆的苹果数是第二堆的2倍多10个，三堆各有多少个？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】32，8 ✅ 解题步骤：乙=40÷(4+1)=8，甲=8×4=32。 【知识点睛】基础和倍，和除以倍数加1得小数。 2． 【答案】48，12 ✅ 解题步骤：商是4说明大数是小数的4倍，小数=60÷(4+1)=12，大数=48。 【知识点睛】商是几就是几倍，转化为和倍问题。 3． 【答案】24 ✅ 解题步骤：鸭=36÷(2+1)=12，鸡=12×2=24。 【知识点睛】基础和倍，先求小数再求大数。 4． 【答案】15 ✅ 解题步骤：总倍数=1+2+3=6，乙=90÷6=15。 【知识点睛】多量和倍，找公共1倍量乙，总倍数相加。 5． 【答案】5 ✅ 解题步骤：减去多的3，和=33-3=30，小数=30÷(5+1)=5。 【知识点睛】带余和倍，先减余数再计算。 二、选择题 6． 【答案】A ✅ 解题步骤：梨树=48÷(5+1)=8棵。 【知识点睛】基础和倍，和除以倍数加1。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤：减多的5，和=50-5=45，小红=45÷(4+1)=9张。 【知识点睛】带余和倍，先减多的部分。 8． 【答案】B ✅ 解题步骤：商8说明甲是乙的8倍，乙=72÷(8+1)=8，甲=64。 【知识点睛】商就是倍数关系，转化为和倍。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】78 ✅ 解题步骤：少6吨，补上6吨和=120+6=126，总倍数3，第二堆=126÷3=42，第一堆=120-42=78吨。 【知识点睛】少几就补上几，转化为整倍数和倍。 10． 【答案】30 ✅ 解题步骤：① 统一 1 倍量为乙，甲 = 2× 乙，丙 = 2× 甲 = 4× 乙；② 总倍数 = 1（乙）+2（甲）+4（丙）=7 倍；③ 1 倍量（乙）=105÷7=15；④ 甲 = 15×2=30。 【知识点睛】多量和倍，把甲和丙都转化为乙的倍数，总倍数相加。 11． 【答案】5元 ✅ 解题步骤：① 总钱数 = 25+15=40 元；② 目标总倍数 = 3+1=4 倍；③ 目标弟弟的钱 = 40÷4=10 元；④ 弟弟需给姐姐的钱 = 15-10=5 元；⑤ 验证：姐姐 25+5=30 元，弟弟 15-5=10 元，30÷10=3，符合要求。 【知识点睛】涉及 “给钱” 的和倍问题，总钱数不变，先求目标状态下的各量，再计算变化量（给的钱数 = 原有量 - 目标量）。 12． 【答案】15 ✅ 解题步骤：周长40，长+宽=20，宽=20÷(3+1)=5，长=15厘米。 【知识点睛】周长要先除以2得到长加宽的和，再用和倍。 二、选择题 13． 【答案】B ✅ 解题步骤：商4，被除数是除数的4倍，被除数+除数=39-4=35，除数=35÷5=7，被除数=28。 【知识点睛】商是倍数，先减商得到被除数除数的和，再和倍。 14． 【答案】D ✅ 解题步骤：① 大数去掉个位 0 等于小数，说明大数是小数的 10 倍；② 总倍数 = 10+1=11 倍；③ 小数 = 88÷11=8；④ 大数 = 8×10=80。 【知识点睛】去0相等说明是10倍关系，和倍求解。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】甲45，乙20，丙55 ✅ 解题步骤：甲多5，丙少5，正好抵消，和还是120，总倍数=1+2+3=6，乙=120÷6=20，甲=40+5=45，丙=60-5=55。 【知识点睛】一多一少正好抵消，直接按总倍数计算。 16． 【答案】四年级108人，五年级57人 ✅ 解题步骤：补6人，总人数=165+6=171，总倍数3，五年级=171÷3=57，四年级=57×2-6=108。 【知识点睛】少6人补上，转化为整倍数和倍。 17． 【答案】34吨 ✅ 解题步骤：总水量=69+36=105吨，甲是1倍，乙是2倍，总倍数3，甲=105÷3=35吨，流入69-35=34吨。 【知识点睛】总水量不变，先求变化后的甲水量，再算流入量。 18． 【答案】被除数59，除数8 ✅ 解题步骤：被除数+除数=77-7-3=67，被除数=7×除数+3，所以7×除数+3+除数=67，8×除数=64，除数=8，被除数=59。 【知识点睛】有余数的除法，先减商和余数得到被除数除数和，再按带余和倍计算。 19． 【答案】3千克 ✅ 解题步骤：总重量=97+44=141千克，总倍数3，第二袋=141÷3=47千克，47-44=3千克。 【知识点睛】总重量不变，先求变化后的第二袋重量，再算取出量。 20． 【答案】第一堆12个，第二堆36个，第三堆82个 ✅ 解题步骤：减多的10个，总数=130-10=120，第二堆=3倍第一堆，第三堆=6倍第一堆，总倍数1+3+6=10，第一堆=120÷10=12，第二堆36，第三堆=36×2+10=82。 【知识点睛】多量和倍，都转化为第一堆的倍数，先减多的部分，再计算。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $