专题08 排列组合常见方法归类（九大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题08 排列组合常见方法归类 目录 典例讲解 类型一、计数原理 类型二、插空法和捆绑法 类型三、倍缩法 类型四、多面手问题 类型五、分组与分配问题 类型六、排数问题 类型七、隔板法 类型八、染色问题 类型九、上台阶及最短路径问题 压轴专练 类型一、计数原理 【例1】甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 【变式1-1】从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①且；②若，则，则共有_____种不同的选择．（结果用数值表示） 【变式1-2】从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【变式1-3】某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为______. 类型二、插空法和捆绑法 处理方式：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 【例3】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【例4】在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 【变式2-1】《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【变式2-2】3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【变式2-3】一个火车站有10股道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放5列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有______种． 类型三、倍缩法 处理方式：定序问题倍缩法：某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 【例5】春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【例6】某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为____________（用数字作答） 【变式3-1】某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式3-2】如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答） 【变式3-3】在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 类型四、多面手问题 【例7】某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【例8】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【变式4-1】已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 【变式4-2】有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式4-3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 类型五、分组与分配问题 处理方式：个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 【例9】黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【例10】某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 【变式5-1】某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【变式5-2】城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 【变式5-3】第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 类型六、排数问题 处理方式：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 【例11】用这个数字，可以组成____个大于，且小于的数字不重复的四位数． 【例12】从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【变式6-2】凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式6-3】将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 类型七、隔板法 处理方式：相同元素分配问题（隔板法）：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 【例13】关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 【例14】2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是_______. 【变式7-1】将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【变式7-2】下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【变式7-3】已知集合，则A中的元素的个数为______. 类型八、染色问题 处理方式：涂色问题：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【例15】如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 【例16】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 【变式8-1】将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【变式8-2】将一个边形的每个顶点随机染成红、蓝、黄三种颜色之一，且要求相邻顶点的颜色不同，则可能的染色方式有___________种． 【变式8-3】如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 类型九、上台阶及最短路径问题 【例17】甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．120 B．210 C．211 D．216 【例18】如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（   ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 【变式9-1】某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 【变式9-2】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有_____条. 【变式9-3】如图，某城市有7条南北方向的街道，5条东西方向的街道． (1)从点O出发经过点B走向点A，最短路径的走法有几种？ (2)从点O出发，不经过B，C两点，走向点A，最短路径的走法有几种？ 一、单选题 1．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 2．有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 3．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 5．某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（   ） A．120 B．96 C．48 D．24 二、多选题 6．以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 7．将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 三、填空题 8．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有_________种（同一名同学可获得多项冠军）. 9．某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 10．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 11．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为______． 四、解答题 12．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 13．元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 排列组合常见方法归类 目录 典例讲解 类型一、计数原理 类型二、插空法和捆绑法 类型三、倍缩法 类型四、多面手问题 类型五、分组与分配问题 类型六、排数问题 类型七、隔板法 类型八、染色问题 类型九、上台阶及最短路径问题 压轴专练 类型一、计数原理 【例1】甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 【例2】若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 【答案】57 【详解】在小于2024的四位自然数中， 当千位为1时，“可加数”需满足个位数字，十位数字， 百位数字，共个； 当千位为2时，“可加数”需满足百位只能为0，十位数字， 个位数字，共个； 故“可加数”共有. 【变式1-1】从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①且；②若，则，则共有_____种不同的选择．（结果用数值表示） 【答案】 【详解】因为，，所以和为11的两个元素应分别在集合， 例如1，10两个元素，，或，或三种选择， 又共有5对和为11的数，因此共有种不同的选择， 又集合都是非空集合，所以共有种不同的选择. 【变式1-2】从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 【变式1-3】某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为______. 【答案】 【详解】原来有3个节目，它们之间（包括两端）共有4个空，所以第一个节目有种插法； 插入一个新节目后，节目变成了个，共产生个空，所以第二个节目有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种插法. 类型二、插空法和捆绑法 处理方式：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 【例3】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 【例4】在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 【答案】 96 288 【分析】 【详解】（1）首先，程序A只能出现在第一步或最后一步，有2种方法；其次，将程序B和C看作一个元素，有4个位置可以选择，而B与C又可交换位置，所以有种方法；最后将剩余的3个程序进行排列，有种方法．综上所述，实验顺序的编排方法共有（种）． （2）当B，C相邻，且与D不相邻时，有（种）方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时有（种）方法，故共有288种编排方法． 故答案为：，288 【变式2-1】《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 【变式2-2】3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 【变式2-3】一个火车站有10股道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放5列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有______种． 【答案】720 【详解】总共有10股道，要停放5列火车，那么剩下的空股道有股． 这5股空股道排好后，会形成个可以插入火车的“空隙”（包括两端）． 首先，从6个空隙中选5个，有种选法， 然后，将5列不同的火车在这5个位置上进行全排列，有种排法． 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数即种． 类型三、倍缩法 处理方式：定序问题倍缩法：某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 【例5】春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 【例6】某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为____________（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 【变式3-1】某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种， 故选：D. 【变式3-2】如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答） 【答案】210 【详解】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，如图， 问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，则总共有种排法. 故答案为：210. 【变式3-3】在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 【答案】 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 类型四、多面手问题 【例7】某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 【例8】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【答案】B 【详解】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 【变式4-1】已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 【答案】 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 【变式4-2】有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】∵， ∴名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员. 以只会唱歌的人是否选上唱歌人员为标准进行研究： ①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种选派方法， ②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种选派方法， ③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种选派方法． ∴选派方法共有（种）． 故选：A. 【变式4-3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】18种 【详解】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法． 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法； 2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法． ∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法． 类型五、分组与分配问题 处理方式：个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 【例9】黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 【例10】某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 【答案】 【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排方法； 其次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法. 【变式5-1】某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【答案】 【详解】将5名党员按1，1，3分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 将5名党员按1，2，2分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 所以不同的安排方法共有. 【变式5-2】城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 【变式5-3】第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 36 / 【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. 类型六、排数问题 处理方式：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 【例11】用这个数字，可以组成____个大于，且小于的数字不重复的四位数． 【答案】 【详解】若千位数字为3，4之一，则百、十、个位可以从除千位上的数字之外的5个数中任选3个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一，则十位、个位可从除千位和百位选定的数字之外的4个数中任选2个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字是4，十位数字是0，1之一，则个位可从除千位、百位和十位选定的数字之外的3个数中任选1个进行排列，所以有个； 最后还有5420也满足题意. 综上，所求四位数共有个. 故答案为：． 【例12】从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 【变式6-1】用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【答案】B 【详解】先排个位，有种，然后排十位和百位，有种， 故共有（个）没有重复数字的三位偶数． 故选：B 【变式6-2】凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【详解】根据凹数的定义，中间数一定为0，确定前两位数字有种选法，后两位只有1种选法，故共有6个这样的严格凹数. 故选：C 【变式6-3】将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 【答案】ABC 【详解】对于A：每个小球有4种放法，所以共有种放法，故A正确； 对于B：若每个盒子都有小球，则有种放法，故B正确； 对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有种放法， 再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有种放法，所以共有种放法，故C正确； 对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有种放法， 再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有种放法，故D错误. 类型七、隔板法 处理方式：相同元素分配问题（隔板法）：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 【例13】关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 【答案】21 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 【例14】2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是_______. 【答案】②④ 【详解】对于①，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到5个班级， 每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排， 中间有19个空位，在其中任选4个，放置4个隔板，有种分配方法，故①错误； 对于②，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级， 每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排， 中间有19个空位，在其中任选5个，放置5个隔板，有种分配方法，故②正确； 对于③④，若每个班至少3人参加，可以将每个班的2个名额收回， 即将10个名额分配到6个班级，每个班级都必须有人参加， 可以将10个名额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位， 在其中任选5个，安排5个挡板，有种分配方法，故③错误，④正确； 故答案为：②④ 【变式7-1】将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 【变式7-2】下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 【变式7-3】已知集合，则A中的元素的个数为______. 【答案】 【详解】 ， 可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人， 每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为， 所以中的元素的个数为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：问题等价于将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法计算即可. 类型八、染色问题 处理方式：涂色问题：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【例15】如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 【答案】D 【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红)种； 第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)， 要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； 第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)， X、Y无相邻限制，共种合法染色； 第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色； 第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X可红可蓝，共2种合法染色. 所以总染色方法数：种，故选D. 【例16】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 【答案】72 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 【变式8-1】将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 【变式8-2】将一个边形的每个顶点随机染成红、蓝、黄三种颜色之一，且要求相邻顶点的颜色不同，则可能的染色方式有___________种． 【答案】． 【详解】设为边形的合法染色数（即环图的染色数），则. 考虑一条有个顶点的线段，相邻不同色的染色数为． 这其中包含了首尾不同色（即）和首尾同色（相当于边形的合法染色数）两类． 因此，其中， 所以，所以， 令，则，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． 【变式8-3】如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 【答案】 【详解】按分步计数原理，依次涂色： 涂中心主挂件：共4种颜色可选，因此有种涂色方法； 涂第一层分挂件（共3个）： 要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色； 且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1种颜色，剩余3种颜色，给3个不同的第一层分挂件涂色， 是全排列问题，方法数为 ； 涂第二层分挂件（共3个）： 要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色； 且同一层分挂件颜色不同.此时已有4种不同颜色：中心颜色，三个第一层颜色（互不相同，且都不等于）， 需要选3个不同颜色分配给3个第二层，满足位置不选，用容斥原理计算： 总排列数， 减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数： ； 总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为： . 【点睛】分步涂色，中心定色，第一层全排列，第二层用容斥解决错位排列，最后乘得总数. 类型九、上台阶及最短路径问题 【例17】甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．120 B．210 C．211 D．216 【答案】D 【详解】由题意分三种情况： 第一种情况是3人各站一个台阶，有种； 第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有种， 第三种情况是3人站一个台阶，有种， 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种． 故选：D． 【例18】如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（   ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 【答案】B 【详解】对于甲，经过到达N有1种，经过到达N有种， 经过到达N有种，经过到达N有1种，甲从M到达N处的方法共有20种， 同理对于乙，经过到达N分别有种． 对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确； 对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误； 对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确； 对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确． 故选：B． 【变式9-1】某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【详解】跨0次2级（全跨1级），共走8步，有种走法； 跨1次2级，剩余6次1级，共走7步，选1步跨2级，有种走法； 跨2次2级，剩余4次1级，共走6步，选2步跨2级，有种走法； 跨3次2级，剩余2次1级，共走5步，选3步跨2级，有种走法； 跨4次2级（无剩余1级），共走4步，有种走法， 所以不同走法种数为. 【变式9-2】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有_____条. 【答案】26 【详解】由题意知，假设之间通顺，从到， 需要向右4次，向上3次，则其最短路径有条， 其中经过的走法有条， 所以从到最短的路径有条. 故答案为：26 【变式9-3】如图，某城市有7条南北方向的街道，5条东西方向的街道． (1)从点O出发经过点B走向点A，最短路径的走法有几种？ (2)从点O出发，不经过B，C两点，走向点A，最短路径的走法有几种？ 【答案】(1)100 (2)65 【分析】 【详解】（1）利用分步乘法计数原理： 第一步从点O出发经过点B有种， 第二步从点B走向点A有种， 由分步乘法计数原理可得共有种． （2）①从点O出发经过点B走向点A，共有种； ②从点O出发经过点C走向点A，共有种； ③从点O出发经过B，C两点走向点A，共有种； ④从点O出发走向点A共有种． 如下图，由①②③④之间的关系可知，最短路径的走法有种． 一、单选题 1．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【详解】把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”， 分别用来表示， 一种排课法可看作是从中取出3个按顺序分给三节课， 分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是． 故选：B. 2．有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 3．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 【答案】B 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 【答案】C 【分析】 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 5．某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（   ） A．120 B．96 C．48 D．24 【答案】C 【详解】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法， 最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种， 由分步计数原理，可得取法种数为. 故选：C． 三、填空题 6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有_________种（同一名同学可获得多项冠军）. 【答案】 【详解】由题意，每项比赛的冠军都有种可能，因为有3项比赛，所以冠军获奖者共有种可能. 故答案为：216. 7．某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 【答案】 【详解】由题意知分两种情况： ①三个专业各选出1名男教授和1名女教授， 选法有：种； ②一个专业选出2名男教授，一个专业选出1名男教授和1名女教授，一个专业选出2名女教授， 选法有：先从3个专业中选出1个专业出2名男教授，有种选法； 再从剩下的2个专业中选出1个专业出2名女教授，有种选法； 最后剩下的1个专业中选出1名男教授和1名女教授，有种选法， 对于选出2名男教授的专业，有种选法； 对于选出2名女教授的专业，有种选法； 对于选出1男教授1女教授的专业，有种选法， 此时选法有：种， 所以组成这个委员会的所有可能的不同方法共有种. 8．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 【答案】10 【详解】设停车位有个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将个停车位排好， 再将这3辆共享汽车插入到所成的个间隔中，故有种． 恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素， 再和另一辆插入到将个停车位排好所成的个间隔中，故有种． 因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等， 所以，解得． 故答案为：. 9．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为______． 【答案】 【详解】因为每次爬行有3种选择，故5次爬行共有种情况， 考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况： ①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况； ②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走， 以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个， 蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种， 故三个三角形共有种， 所以蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为． 故答案为：. 二、多选题 10．以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【详解】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人数分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为， 若丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法， 如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 11．将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 四、解答题 12．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)1440 (2)240 【分析】 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 13．元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）六天时间参观这六个景区的不同的参观顺序的方案数为； （2）第一天和第二天不同的参观顺序的方案数为种； 后四天安排剩下的四个景区，共有种， 所以共有：种方案； （3）先排列除秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的另外四个景区， 有种方案，产生个空， 利用插空法：再安排秦始皇帝陵博物院和陕西历史博物馆， 所以共有种方案. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $