6.1 乘法原理与加法原理（2种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册)

6.1 乘法原理与加法原理（2种题型基础练+能力提升练） 1． 乘法计数原理（共5题） 1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 3．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 4．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 5．高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 二 加法计数原理原理 （共6小题） 1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 4．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 5．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 6．一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同的走法？（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 一、单选题 1．甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．8种 B．15种 C．20种 D．24种 2．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 3．某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 4．编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 5．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 6．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有90个 B．四位回文数有45个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　) A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法 B．某学生从中选5门，共有6种选法 C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 9．有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 三、填空题 10．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 11．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    12．如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 乘法原理与加法原理（2种题型基础练+能力提升练） 1． 乘法计数原理（共5题） 1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 丙丁两人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：A 2．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【分析】应用分步乘法原理计算即可. 【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C 3．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种.故选：A. 4．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理，结合间接法，即可求解. 【详解】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有（种）， 其中，3个项目被分配到同一体育馆进行的有4种方法， 故满足条件的分配方案有（种）．故选：D 5．高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【答案】B 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 二 加法计数原理原理 （共6小题） 一．选择题（共6小题） 1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.故选 C. 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【答案】B 【分析】直接由加法计数原理即可求解. 【详解】依题意，不同的选法共有种． 故选：B． 4．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 【答案】B 【分析】利用分类分步计数原理，分4步分别计算即可求得结果. 【详解】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示： 根据题意，将问题分成4步进行， 第一步：涂方格A，共有5种颜色选择， 第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择， 第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择；第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择， 因此可得不同的涂色方法共有种.故选：B 5．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【答案】C 【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解. 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 6．一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同的走法？（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 【答案】C 【分析】根据迈步的级数进行分类求解，然后利用分类计数原理的计算公式即可求解. 【详解】从10级台阶至6级台阶分别用至表示，表示甲走到第级台阶时，所有可能不同的走法，则①从第11级台阶迈步到第10级台阶需要1步，即当时，；②从第11级台阶迈步到第9级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨2级台阶，即当时，；③从第11级台阶迈步到第8级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨3级台阶，还可以第一步跨1级台阶，第二步跨2级或第一步跨2级，第二步跨1级，即当时，；当时，分三种情况讨论，如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有（种）跨法.如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有（种）跨法.如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有（种）跨法.根据加法原理，有，类推，当时，甲只能从2，3，4跨到5，则， 故选：C. 一、单选题 1．甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．8种 B．15种 C．20种 D．24种 【答案】B 【分析】应用乘法原理计算即可. 【详解】不同的选择方案共有种．故选：B. 2．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 3．某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】从A类语言4个中任选一个，从E类语言5个中任选一个，由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 4．编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 【答案】C 【分析】根据题意因不能走与自己编号相同的门，所以每人都可从其它3个门进入，再由分步乘法计数原理从而可求解. 【详解】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法； 同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法， 由分步乘法计数原理，共有种方法．故C正确. 故选：C. 5．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 6．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解. 【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种， 科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为. 故选：D. 二、多选题 7．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有90个 B．四位回文数有45个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 【答案】AC 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】根据题意，对于四位回文数， 有1001、1111、1221、……、1991、 2002、2112、2222、……、2992、 ……、 9009、9119、9229、……、9999， 其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误； 对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……， 第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法， 即（）位回文数有个，故C正确，D错误.故选：AC. 8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　) A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法 B．某学生从中选5门，共有6种选法 C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BCD 【分析】根据特殊元素优先法，判断ACD；利用组合的应用判段； 【详解】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误； 6门中选5门共有种，故B正确； 课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确. 故选：BCD. 9．有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【答案】ACD 【分析】根据已知，结合分步乘法计数原理，求解即可得出答案. 【详解】对于A、B项， 按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故A正确、B错误； 对于C项，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故C正确； 对于D项，根据3个智力竞赛项目，分为3步. 第1步，6种选择；第2步，5种选择；第3步，4种选择. 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 【答案】50 【分析】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法， 第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 11．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    【答案】24 【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解. 【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，    若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个）， 若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个）， 所以梯形的个数是（个）． 故答案为：24 12．如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 【答案】120 【分析】利用分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法， 综上可知有种方法. 故答案为：120 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$