7.4.2 课时1 超几何分布 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2 课时1 超几何分布 【基础巩固】 1．一袋中有个大小相同的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为，现从中任取个球.则下列结论中不正确的是（ ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出个白球的概率为 D．若取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则总得分最大的概率为 【答案】C 【解析】对于AB，超几何分布是反映在个对象（包含个特定对象）中随机不放回取出个对象，含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的个号码，最大号码都只有个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确；对于C，取出个白球的概率为，C错误；对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 2．在个村庄中有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄，用表示这个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，服从超几何分布，则. 故选：A. 3．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【解析】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为. 故选B. 4．袋中有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，现从中任取个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为取出个球的总得分，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得，所以， 因为,, , 所以, 故选：B 5．（多选）一个口袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中随机取出个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ） A．的可能取值为 B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 6．设随机变量，则______． 【答案】 【解析】由，得. 故答案为: 7．一箱苹果共有个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取个．恰有个烂果的概率为，则___． 【答案】 【解析】依题意可得，即，整理得， 解得或，因为，所以． 故答案为：. 8．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有个项目进入最终角逐，其中科技类项目个，文创类项目个.从上述个项目中随机抽取个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】见解析 【解析】(1)记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， (2)由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 【能力拓展】 9．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，抽取男生和女生各名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 10．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有个白球，乙盒中有（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 11．某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有人每周的体育锻炼时长超过小时，若从班级学生中随机抽取的人中有人每周的体育锻炼时长超过小时，估计班级学生的总人数为______．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【答案】 【解析】设班级学生的总人数为，且，则， 记，则， 易得，由可得， 所以当时，，当时，， 所以的最大值在时取到，所以估计班级学生的总人数为人． 故答案为：. 【素养提升】 12．某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了道单选题和道多选题，其中单选题每道答对得分，不答或答错得分，多选题每道答对得分，不答或答错得分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为和.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取道请内部员工试做，求抽到道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的道试题全部答对，求在道试题的得分不低于分的条件下，他选到道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】(1)由题设，抽到道单选题的概率； (2)由题意，道试题的情况有{道多选道单选}、{道多选}， 所以它们的概率依次为、， 得分不低于分，即上述两种情况的道题均答对， 所以、， 综上，在道试题的得分不低于分，选到道多选题的概率； (3)设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，， 当时，小张总分不可能达到分， 当时，，总分刚好分，且，， 当时，，总分大于等于分，且， ， 当时，，总分大于等于分，且， 而 ， 当时，，总分大于等于分，， 而 ， 所以，小张所得总分，则，. 所以从概率论的角度小张今年能通过笔试. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2 课时1 超几何分布 【基础巩固】 1．一袋中有个大小相同的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为，现从中任取个球.则下列结论中不正确的是（ ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出个白球的概率为 D．若取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则总得分最大的概率为 2．在个村庄中有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄，用表示这个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ） A． B． C． D． 3．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 4．袋中有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，现从中任取个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为取出个球的总得分，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）一个口袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中随机取出个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ） A．的可能取值为 B． C． D． 6．设随机变量，则______． 7．一箱苹果共有个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取个．恰有个烂果的概率为，则___． 8．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有个项目进入最终角逐，其中科技类项目个，文创类项目个.从上述个项目中随机抽取个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【能力拓展】 9．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A． B． C． D． 10．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有个白球，乙盒中有（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 11．某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有人每周的体育锻炼时长超过小时，若从班级学生中随机抽取的人中有人每周的体育锻炼时长超过小时，估计班级学生的总人数为______．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【素养提升】 12．某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了道单选题和道多选题，其中单选题每道答对得分，不答或答错得分，多选题每道答对得分，不答或答错得分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为和.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取道请内部员工试做，求抽到道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的道试题全部答对，求在道试题的得分不低于分的条件下，他选到道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $