第24章 平面直角坐标系（复习讲义，3知识&7题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第24章 平面直角坐标系（复习讲义） 1.理解平面直角坐标系的定义、构成要素（横轴、纵轴、原点、象限），牢牢掌握点与有序实数对一一对应的核心数学关系，明确坐标有序性、不可颠倒的规则。 2.熟练掌握坐标与点的位置互化方法，精准判断点所在象限、坐标轴上点的坐标特征，区分各类特殊位置点的坐标规律。 3.熟记并灵活运用两点间距离公式，解决平面内两点距离计算、特殊线段长度求解问题，掌握平行于坐标轴的两点距离简化算法。 4.掌握平面内图形平移、轴对称的坐标变化规律，能快速写出变换后点的坐标，完成简单几何图形的坐标变换作图。 5.学会结合实际情境建立合适的平面直角坐标系，用坐标描述几何图形顶点、地理位置，解决定位、 图形面积计算等实际问题。 知识点01：平面直角坐标系的基本概念 1. 核心定义 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系：水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点记作原点O(0,0)。 点的坐标表示：过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应的实数分别为横坐标a、纵坐标b，记作P(a,b)，先横后纵，顺序不可调换。 2. 象限划分与坐标特征 两坐标轴将平面划分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限，各象限符号规律如下： 点位位置 横纵坐标符号 典型示例 第一象限 (+, +) (3, 2) 第二象限 (-, +) (-2, 4) 第三象限 (-, -) (-1, -5) 第四象限 (+, -) (5, -3) x轴上 (x, 0)，纵坐标恒为0 (-6, 0) y轴上 (0, y)，横坐标恒为0 (0, 7) 3. 特殊位置点坐标规律 · 一、三象限角平分线上的点：横坐标 = 纵坐标（x=y） · 二、四象限角平分线上的点：横坐标 = -纵坐标（x=-y） · 平行于x轴的直线：纵坐标相同，横坐标不同 · 平行于y轴的直线：横坐标相同，纵坐标不同 4. 点到坐标轴的距离 · 点P(a,b)到x轴的距离 =|b|（纵坐标的绝对值） · 点P(a,b)到y轴的距离 = |a|（横坐标的绝对值） · 易错提示：距离为非负数，计算时务必保留绝对值 知识02：两点间的距离公式 1. 通用公式 平面内任意两点、，两点间距离： 2. 特殊简化情况 · 平行于x轴（y₁=y₂）：距离 = |x₂ - x₁| · 平行于y轴（x₁=x₂）：距离 = |y₂ - y₁| · 点P(x,y)到原点的距离： 知识点03：坐标变换（平移与轴对称） 1. 平移变换（口诀：左减右加x，上加下减y） · 向右平移a个单位：(x, y) → (x+a, y) · 向左平移a个单位：(x, y) → (x-a, y) · 向上平移b个单位：(x, y) → (x, y+b) · 向下平移b个单位：(x, y) → (x, y-b) · 图形平移：所有顶点遵循同一规律变换，形状、大小、方向均不变 2. 轴对称变换（口诀：关于谁，谁不变，另一坐标变号） · 关于x轴对称：(a, b) → (a, -b)（横坐标不变，纵坐标反号） · 关于y轴对称：(a, b) → (-a, b)（纵坐标不变，横坐标反号） · 关于原点对称：(a, b) → (-a, -b)（横、纵坐标均反号） 题型一 判断点的象限/求参数范围 【例1】已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【变式3】在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 题型二 坐标轴上点的坐标求解 【例2】点在轴上，则________． 【变式1】若点在y轴上，则点在第________象限． 【变式2】已知点在轴上，且点到轴的距离为3，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 点到坐标轴的距离（多解问题） 【例3-1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例3-2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【例3-3】已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【变式3-1】已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【变式3-3】在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为，求的值． 【变式3-4】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 题型四 两点间距离公式应用 【例4-1】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【例4-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为，则点的坐标为_____________． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，，为平面内一点，将线段绕点旋转后，恰好与线段重合，且点的对应点是点，则点的坐标为______． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【变式4-3】（1）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，与相交于点．试说明垂直平分． （2）阅读与应用： 阅读：在平面直角坐标系中，点，，如何求，两点之间的距离呢？ 如图，作，在中，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为． 应用： (1)已知平面上两点，，求，两点之间的距离； (2)若平面上有三个点，，，试判断的形状，并说明理由． 题型五 坐标平移与对称变换 【例5-1】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 【变式5-1】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限. 【变式5-3】如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【变式5-5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 题型六 坐标系中图形面积计算 【例6】在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式2】已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【变式3】如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 题型七 坐标系实际应用（定位问题） 【例7】台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【变式1】中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系． (1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【变式2】如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 【变式3】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 基础巩固通关测 1．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 2．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 3．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 4．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 6．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 7．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 8．如图，网格中每个小正方形的边长都为1米． (1)请用两种不同的方法表示点的位置； (2)请用相对于点的方位表示点的位置． 9．在平面直角坐标系中，已知，点在轴上． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 10．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)求的周长． 能力提升进阶练 1．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    5．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，点的坐标为． (1)求的值及三角形的面积； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为． (1)求第四个顶点的坐标． (2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积． 8．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 平面直角坐标系（复习讲义） 1.理解平面直角坐标系的定义、构成要素（横轴、纵轴、原点、象限），牢牢掌握点与有序实数对一一对应的核心数学关系，明确坐标有序性、不可颠倒的规则。 2.熟练掌握坐标与点的位置互化方法，精准判断点所在象限、坐标轴上点的坐标特征，区分各类特殊位置点的坐标规律。 3.熟记并灵活运用两点间距离公式，解决平面内两点距离计算、特殊线段长度求解问题，掌握平行于坐标轴的两点距离简化算法。 4.掌握平面内图形平移、轴对称的坐标变化规律，能快速写出变换后点的坐标，完成简单几何图形的坐标变换作图。 5.学会结合实际情境建立合适的平面直角坐标系，用坐标描述几何图形顶点、地理位置，解决定位、 图形面积计算等实际问题。 知识点01：平面直角坐标系的基本概念 1. 核心定义 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系：水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点记作原点O(0,0)。 点的坐标表示：过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应的实数分别为横坐标a、纵坐标b，记作P(a,b)，先横后纵，顺序不可调换。 2. 象限划分与坐标特征 两坐标轴将平面划分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限，各象限符号规律如下： 点位位置 横纵坐标符号 典型示例 第一象限 (+, +) (3, 2) 第二象限 (-, +) (-2, 4) 第三象限 (-, -) (-1, -5) 第四象限 (+, -) (5, -3) x轴上 (x, 0)，纵坐标恒为0 (-6, 0) y轴上 (0, y)，横坐标恒为0 (0, 7) 3. 特殊位置点坐标规律 · 一、三象限角平分线上的点：横坐标 = 纵坐标（x=y） · 二、四象限角平分线上的点：横坐标 = -纵坐标（x=-y） · 平行于x轴的直线：纵坐标相同，横坐标不同 · 平行于y轴的直线：横坐标相同，纵坐标不同 4. 点到坐标轴的距离 · 点P(a,b)到x轴的距离 =|b|（纵坐标的绝对值） · 点P(a,b)到y轴的距离 = |a|（横坐标的绝对值） · 易错提示：距离为非负数，计算时务必保留绝对值 知识02：两点间的距离公式 1. 通用公式 平面内任意两点、，两点间距离： 2. 特殊简化情况 · 平行于x轴（y₁=y₂）：距离 = |x₂ - x₁| · 平行于y轴（x₁=x₂）：距离 = |y₂ - y₁| · 点P(x,y)到原点的距离： 知识点03：坐标变换（平移与轴对称） 1. 平移变换（口诀：左减右加x，上加下减y） · 向右平移a个单位：(x, y) → (x+a, y) · 向左平移a个单位：(x, y) → (x-a, y) · 向上平移b个单位：(x, y) → (x, y+b) · 向下平移b个单位：(x, y) → (x, y-b) · 图形平移：所有顶点遵循同一规律变换，形状、大小、方向均不变 2. 轴对称变换（口诀：关于谁，谁不变，另一坐标变号） · 关于x轴对称：(a, b) → (a, -b)（横坐标不变，纵坐标反号） · 关于y轴对称：(a, b) → (-a, b)（纵坐标不变，横坐标反号） · 关于原点对称：(a, b) → (-a, -b)（横、纵坐标均反号） 题型一 判断点的象限/求参数范围 【例1】已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 即， 解得． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 【变式3】在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】(1)， (2)，或 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； （2）解：轴，且， ，，解得，或； （3）解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 题型二 坐标轴上点的坐标求解 【例2】点在轴上，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 根据y轴上的点横坐标为0，可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得 ． 故答案为：3 【变式1】若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 【变式2】已知点在轴上，且点到轴的距离为3，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特征及相关知识，熟练掌握该特征是解题的关键． 点在轴上，故纵坐标为，点到轴的距离是横坐标的绝对值，由此可求横坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在轴上， ∴纵坐标为0， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故选：C． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标特征，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 过点作轴，根据点的坐标得出，的长度，然后再证，得，再根据点在轴的负半轴上，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 由图可知， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵顶点在轴负半轴上， ∴． 故选：D ． 题型三 点到坐标轴的距离（多解问题） 【例3-1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 【例3-2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 【例3-3】已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，以及点到坐标轴距离的含义． （1）关键是掌握平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解后代入点的纵坐标表达式，即可得到点的坐标； （2）理解“点到两坐标轴的距离相等”等价于“横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值”，即，分两种情况去掉绝对值符号，解一元一次方程得到的值，再代入计算点的坐标． 【详解】（1）解：轴， 点与点的横坐标相等， 即，解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：点到两坐标轴的距离相等， ， 分两种情况讨论： ①当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； ②当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； 综上，点的坐标为或． 【变式3-1】已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形性质．根据点A、B的横坐标相等可得轴，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为点的坐标为， ∴A，B两点的横坐标相等，均为2， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得：或4． 故选：B 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 【变式3-3】在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离等知识点，解题的关键是熟练掌握平行于轴的直线上点横坐标相同和点到轴的距离是纵坐标的绝对值． （）根据平行于轴的直线上点横坐标相同列方程求解，即可求出坐标； （）点到轴的距离是纵坐标的绝对值列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且轴，点的坐标是， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵点到轴的距离为， ∴，即， ∴或． 【变式3-4】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 题型四 两点间距离公式应用 【例4-1】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【例4-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴A点的坐标为． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，，为平面内一点，将线段绕点旋转后，恰好与线段重合，且点的对应点是点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，两点间距离公式，线段垂直平分线的性质以及坐标与图形，解题的关键是确定点为线段的垂直平分线的交点． 根据旋转的性质可确定点为线段的垂直平分线的交点，设，再由两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】解：由旋转可得，， ∴点为线段的垂直平分线的交点， ∵为原点，，， ∴点横坐标为1， 设， 由得，， 解得， ∴ ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】（1）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，与相交于点．试说明垂直平分． （2）阅读与应用： 阅读：在平面直角坐标系中，点，，如何求，两点之间的距离呢？ 如图，作，在中，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为． 应用： (1)已知平面上两点，，求，两点之间的距离； (2)若平面上有三个点，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①10 ②等腰直角三角形 【分析】（1）根据角平分线性质，三角形全等的判定和性质证明即可． （2）①根据公式，得解答即可； ②根据距离公式，勾股定理逆定理，解答即可． 本题考查了两点间距离公式，线段的垂直平分线判定，三角形全等的判定和性质，角平分线性质，勾股定理逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：由是的角平分线，，， 故， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． （2）①解：根据题意，得两点，的距离为： ． ②解：根据题意，三个点，，， 故，， ， 故， 故， 故是等腰直角三角形． 题型五 坐标平移与对称变换 【例5-1】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 【例5-2】点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称变换，解题的关键是准确记忆并应用不同对称变换下点的坐标变化规律；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，根据已知点分别求解即可． 【详解】①点关于轴对称时，横坐标不变为，纵坐标取相反数； 故点关于轴对称点坐标为． ②关于原点对称时，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为； 故点关于原点对称点坐标为． 故答案为：，． 【变式5-1】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限. 【答案】三 【分析】首先求得点P坐标为（-2，-1），即可求得，由此即可确定点M所在象限． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点P坐标为（-2，-1）， ∴， 解得：， ∴点M坐标为（-2，-1）， 即：点M在第三象限， 故答案为：三． 【变式5-3】如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 【变式5-5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；作图见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称， 故答案为：； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 题型六 坐标系中图形面积计算 【例6】在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据坐标系描点、连线，即可求解． （2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【变式2】已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式3】如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，勾股定理与折叠问题； （1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，即可求解． 【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， 点坐标为， 同理可得， ， ， ， 四边形为长方形， ， ， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）得，点坐标为，点坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 作轴交轴于点，轴交轴于点， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， 则， ， 的面积为． 题型七 坐标系实际应用（定位问题） 【例7】台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3)南偏东 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． 【变式1】中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系． (1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)路线见解析，走路线为 【分析】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置． （1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置； （2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线． 【详解】（1）解：∵“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”所在的点的坐标为， 点C的坐标为， 点D的坐标为． 故答案为，，． （2）解：以 “帅”为， 则“马”走的路线为， 如图： 【变式2】如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系． （1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可； （3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示，点． 【变式3】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 基础巩固通关测 1．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a，b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 3．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 4．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 5．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 【答案】4 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴点A与点B的横坐标相等，即，解得：． 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意． 6．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴． 又∵点M在第二象限内， ∴， ∴点M的坐标为． 7．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 8．如图，网格中每个小正方形的边长都为1米． (1)请用两种不同的方法表示点的位置； (2)请用相对于点的方位表示点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)点位于点的西南方向，距离点的距离为 【分析】本题考查了确定物体的位置、勾股定理，运用不同的方法正确表示点的位置是解题的关键． （1）方法一：用有序数对表示；方法二：用方向和距离表示； （2）用方向和距离表示即可． 【详解】（1）解：方法一：以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为； 方法二：， 点位于点的东北方向，距离点的距离为； （2）解：点位于点的西南方向，距离点的距离为． 9．在平面直角坐标系中，已知，点在轴上． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)是三边不相等三角形，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形，涉及两点之间距离公式，数形结合是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形面积列方程求解即可得到答案； （2）由两点之间距离公式代值求解，根据三角形三边长度即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 设， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：是三边不相等三角形， 理由如下： 当时： ， 由于三边不相等，则是不等边三角形； 当时： ， 即是三边不相等三角形． 10．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了作图-轴对称变换及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接可得即可； （2）根据勾股定理求出三边长，进而求出周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，，， ∴， ， ， ∴的周长． 能力提升进阶练 1．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 【答案】D 【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可. 【详解】解：A选项：若点A在y轴上， ∵y轴上点的横坐标为0， ∴，选项给出，故A错误. B选项：若点A在一三象限角平分线上， ∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等， ∴，解得，选项给出，故B错误. C选项：若点A到x轴的距离是3， ∵点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值， ∴，解得或，选项给出，不符合题意，故C错误. D选项：若点A在第四象限， ∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴，解得， ， 的值可以为，故D正确. 2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 3．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 【答案】或或 【分析】设点C的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：设点C的坐标为：， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    【答案】或 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据沿轴平移到，点与点对应，点是直线上一点，可分类讨论，设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：点，沿轴平移到，点与点对应， ∴设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点， ∴，解得，， ∴沿轴向右平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点， ∴， 即， ∴沿轴向下平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，点的坐标为． (1)求的值及三角形的面积； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)或． 【分析】（）先根据非负数的性质求出的值，求出，的长，然后根据即可求解； （）设点的坐标为，则，由题意可得，然后求出的值即可； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， ∴， ∵点的坐标为 ∴， ∴； （2）解：设点的坐标为，则， 由题意可得：， ∴，即， 解得：或， ∴或． 6．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 7．在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为． (1)求第四个顶点的坐标． (2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积． 【答案】(1)或或 (2)24 【分析】（1）分三种情况，画出相应的图形，再结合平行四边形的性质及平移知识即可得出答案； （2）先根据长方形的面积减去三个三角形的面积得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点， 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点C到点B的平移可知横坐标减2，纵坐标加1， ∵点， ∴，则点； 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点B到点C的平移可知横坐标加2，纵坐标减1， ∵点， ∴，则点； 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点A到点C的平移可知横坐标加6，纵坐标加1， ∵点， ∴，则点． 所以第四个顶点的坐标为或或； （2）解：如图所示，过点B作x轴的平行线，过点A，点C作y轴的平行线，交于点E，F，过点C的平行线交x轴于点G， ∴，， ∴ ， 则， ， 所以在直角坐标系中覆盖的总面积为24． 8．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 9．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $