2026年山东省泰安市岱岳区开元中学中考数学模拟练习

山东省泰安市岱岳区开元中学 中考模拟练习（满分150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．2026的相反数的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 2．七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 3．如图所示是一个物体的三视图，则这个物体是（    ） A． B． C． D． 4．据2025年2月25日《天津日报》报道，今年春节假日期间，我市公路通行量大幅攀升，高速公路通行量达8208400辆次．将数据8208400用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 7．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 8．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题4分，共20分） 11．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 12．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 13．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 14．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为______．    15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 三、解答题 16．（10分）（1）计算：． （2）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 17．（9分）张明、王成两名同学对自己八年级10次数学测试成绩（成绩均为整数，且个位数为0）进行统计，统计结果如图所示． （1）根据图中提供的数据填写下表： 姓名 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 方差 张明 80 王成 85 260 （2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是__________； （3）结合以上数据，请你分析，张明和王成两名同学的成绩谁更稳定． 18（12分）．如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 19．（12分）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 20．（10分）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． Sin70.8°=0.94 tan70.8°=2.87 cos68.5°=0.37 tan68.5°=2.54 tan33.3°=0.66 tan27.7°=0.53 21．（11分）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 22．（12分）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 23．（14分）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】按相反数与倒数的定义先求2026的相反数，再求该相反数的倒数即可得到结果. 【详解】∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 2026的相反数是. ∵ 乘积为1的两个数互为倒数， ∴的倒数是. ∴ 2026的相反数的倒数是， 故选：D. 2．A 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 3．D 【详解】解：这个物体是： ． 4．B 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，只需按要求确定和的值即可得到答案． 【详解】解：∵的整数位数为， ∴，， ∴． 5．C 【分析】根据幂的运算性质与二次根式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解∶A．，故A错误； B．，当时，结果为，不等于，故B错误； C．，原计算正确，故C正确； D．，故D错误． 6．C 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率． 【详解】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： ∵一共有20种等可能的情况， 其中、、、、、、、共有8种可能的情况的两张图片的人物恰好属于同一部名著， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 7．A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据所列方程得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，即可求解． 【详解】解∶设买甜果个，则买苦果个， 方程中， 表示买甜果花费的钱数， ∴甜果的单价是文/个； 表示买苦果花费的钱数， ∴苦果的单价是文/个． ∴题中用“…，…”表示缺失的条件为甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论. 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 9．D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．A 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 11． 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 14．/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共圆，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共圆， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 15．72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 16．（1）；（2），数轴见解析；正整数解为:1、2、3、4 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数的运算及解一元一次不等式组： （1）利用实数的混合运算、特殊角的三角函数的运算的运算法则即可求解； （2）先分别解出一元一次不等式的解集，再根据找一元一次不等组的解集的规律得出解集，再利用在数轴上表示解集的方法表示出来即可； 熟练掌握相关运算法则及在数轴上表示解集的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 把和在数轴上表示为： 原不等式组的解集为：， 原不等式组的正整数解1、2、3、4． 17．（1）见解析；（2）王成；（3）张明 【分析】（1）由平均数、方差的公式计算平均成绩即可；将甲的成绩按大小顺序排列，中间两个数的平均数，即为中位数；一组数据中出现次数最多的一个数即为众数； （2）比较哪位同学的成绩在90分以上（含90分）的成绩多，即优秀率高； （3）比较这两位同学的方差，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解： (1)(1)=(80+70+90+80+70+90+70+80+90+80)÷10=80, =(80+60+100+70+90+50+90+70+90+100)÷10=80, = [(80−80)2+(70−80)2+...+(80−80)2]=60[(80−80)2+(70−80)2+...+(80−80)2]=60, 按大小顺序排列甲的成绩,中间两个数为80,80,则甲的成绩的中位数为80, 乙的成绩中90分出现的次数最多,则乙的成绩的众数为90; 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差(S2)(S2) 甲 80 80 80 60 乙 80 85 90 260 (2)乙成绩的优秀率==×100%=50%×100%=50%,甲成绩的优秀率==×100%=30%×100%=30%, ∴优秀率高的同学是乙; (3)根据方差<,所以甲同学更稳定． 【点睛】此题主要考查了方差，极差，平均分等知识，题目综合性较强，概括了统计部分大部分内容，同学们应熟练掌握并区分知识之间的联系． 18．（1）见解析，（2）见解析，（3）6． 【分析】（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可； （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可； （3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解． 【详解】（1）作图如图所示： （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴是的切线； （3）由（2）可知，OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、切线的证明和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算． 19．(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 20． 【分析】考查解直角三角形的应用，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N，根据在和中利用三角形的正切得到，求出的值，同理求出的值，然后根据计算解答即可． 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 同理：，即， 解得：， ∴． 21．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22．(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 23．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1） ，， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $