精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题

山西大学附中2025–2026学年第二学期高一开学测试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 03284 则下列说法正确的是（ ） A. 1.25是满足精确度为0.1的近似值 B. 1.5是满足精确度为0.1的近似值 C. 1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D. 1.375是满足精确度为0.05的近似值 3. 当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个实数，则“”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 8. 是定义在R上偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ） A. 若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B. 若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若在上是减函数,则的取值范围是_________________ 13. 已知，则__________. 14. 已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数表达式； （2）若，求函数的最大值． 16. （1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 17. 已知函数的图像经过点和，幂函数的图像过点. （1）求和的值及的解析式； （2）解关于的方程. 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：; （3）令，若，，使得，求实数取值范围. 19. 已知函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得成立，则称为的“可归零函数”.已知函数， （1）若函数，判断能否为的“可归零函数”？并说明理由； （2）若函数，，且是的“可归零函数”，证明：； （3）当时，若函数，，且是的“可归零函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中2025–2026学年第二学期高一开学测试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式即可. 【详解】. 故选：B. 2. 某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（ ） A. 1.25是满足精确度为0.1的近似值 B. 1.5是满足精确度为0.1的近似值 C. 1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D. 1.375是满足精确度为0.05的近似值 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法基本原理判断即可. 【详解】因为， 且，故AB错误； 因为，，且，故D正确； 因为，且故C错误； 故选:D 3. 当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】若当时，函数的值恒小于1，则即， 所以当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是. 故选：A 4. 设是两个实数，则“”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数，的单调性判定两个条件的互推关系，即得解. 【详解】由幂函数的性质，函数在R上单调递增，因此若，则；函数在R上单调递增，因此若，则，因此“”是 “”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6. 已知是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，解得，即可容易求得结果. 【详解】因为 ∴，周期， 又存实数，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为， 的最小值为， 故选：D 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，最小值为. 故选：D. 8. 是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 详解】由，可得：. 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称. 所以，即的周期为4. 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象. 令 若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点. 所以，即，解得. 故答案为：C 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别在同一坐标系中画出三个函数图像，利用其函数值相等画出所有可能的自变量大小的情况，即可作出判断. 【详解】由题意可知，分别画出三个函数图像，如图所示： 当满足时，如图中细虚线所示，，即可能是A； 对于B选项，当时如上图所示，需满足，即不可能是B； 如图所示，可能是C； 如上图所示，可能是，即可能是D. 故选：ACD 11. 给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ） A. 若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B. 若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD. 【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若在上是减函数,则的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的对称轴与区间的位置关系可直接求解. 【详解】由,所以对称轴为, 又在上是减函数,有,所以. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，则，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围. 【详解】函数，若存在实数， 使得对于任意的实数都有成立， 即函数有最大值， 令，解得， 分别作出、的图象中下图所示， 当时，函数有最大值， 当时，函数无有最大值， 当时，函数有最大值， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或． 【点睛】思路点睛：将问题转化为函数有最大值，结合图象分段研究. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； 【小问2详解】 由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 16. （1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用正弦余弦齐次式求解即可； （2）利用平方关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意，解得. 所以 ； （2）因为，，则. 因为，故，则， 所以 . 17. 已知函数的图像经过点和，幂函数的图像过点. （1）求和的值及的解析式； （2）解关于的方程. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点和代入计算求出的值；由是幂函数得到，将代入计算得到，将代入得解； （2）由得到，由得到，整理得到，设，则转化为，计算得到或，由得到，即，计算求出. 【小问1详解】 的图像经过点和， ，， 是幂函数，， 的图像过点，，，， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则转化为， 即，解得或， ，，，， 关于的方程的解为. 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：; （3）令，若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，根据函数解析式化简计算推得，即得函数的对称性； （2）先判断函数在上的单调性，利用单调性即可证明； （3）根据题设条件易得，利用（2）求出，运用奇偶性与单调性定义判断函数在上的奇偶性与单调性，即得，故得，计算即得的取值范围. 【小问1详解】 由解得，即的定义域为， 因， 则由 ， 即，所以的图象关于点中心对称， 即函数的图象是中心对称图形. 【小问2详解】 因为函数在上为增函数，函数在定义域上为增函数， 因，则与在上都为减函数， 故在上为减函数， 所以. 【小问3详解】 依题意得，（*）， 由（2）可得在上为减函数， 则， 对于，函数的定义域为，关于原点对称， 因，故函数为偶函数. 下面证明在上为增函数， 设，由 . 因，则，则得， 即，故在上单调递减，在上单调递增. 故， 由（*）可得，，所以， 又因为，所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得成立，则称为的“可归零函数”.已知函数， （1）若函数，判断能否为的“可归零函数”？并说明理由； （2）若函数，，且是的“可归零函数”，证明：； （3）当时，若函数，，且是的“可归零函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不能 （2）证明如下 （3） 【解析】 【分析】（1）由和的值域得出不能是的“可归零函数”； （2）由的值域得出的取值范围，再由值域包含得出的取值范围，最后得出结论； （3）由是的“可归零函数”可得在上恒成立，然后分和两种情况讨论可得到的取值范围. 【小问1详解】 不能，理由如下， 因为， 所以， 当时，，，故； 因为，定义域为，值域为， 对于任意的，， 要使，即成立，则， 这与已知矛盾， 所以不存在，使得成立， 故不能称为的“可归零函数”. 【小问2详解】 ， 因为二次项系数，所以二次函数开口向上， 对称轴为，所以在上单调递增， ，； 因为是的“可归零函数”， 所以对任意的，总存在，使得，即成立， 所以， 所以，解得， 因为，所以； 因为，所以， 要使值域包含，则，解得； 因为，，所以； 因此得证. 【小问3详解】 当时，， 则， 所以的值域为，则的值域为， ， 因为是，“可归零函数”， 所以对任意，都有， 即恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不成立， 当时，令，则，此时恒成立， 等价于恒成立 ①， 且恒成立 ②， 由①得，解得，所以， 由②得恒成立， 因为，所以恒成立，所以， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $