第四单元 比例 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学六年级下册

第四单元 比例 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 比例的本质深化 课本核心：表示两个比相等的式子叫做比例，如（）；组成比例的四个数叫项，两端是外项，中间是内项。 奥数拓展： ① 比例与比的区别：比是两个数的关系，比例是两个比的等式； ② 连比转化：已知、，统一**中间项**的最小公倍数，转化为（奥数核心考点）； ③ 比例的变形：更比、反比、合比，用于复杂比例计算。 2. 比例基本性质的奥数应用（重点） 课本核心：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即。 奥数拓展： ① 解比例：利用“外项积=内项积”转化为方程，求未知项； ② 比例式构造：已知三个数，补第四个数组成比例，分“外项/内项”三种情况； ③ 比例的等量代换：多个比例式联立，通过公共项传递比例关系。 3. 正反比例的奥数判定 课本核心：两种相关联的量，比值一定成正比例，乘积一定成反比例。 奥数拓展： ① 复合比例：三个及以上变量关联（如路程=速度×时间，速度与时间成反，路程与速度成正）； ② 隐含定量：解题先找不变量（总量、单量、速度等），再判定正反比例； ③ 比例传递：若与成正，与成正，则与成正。 二、奥数易错点提醒 1.混淆比和比例：比是，比例是，比例必须是等式； 2.比例基本性质用错：误将“内项和=外项和”，牢记内项积=外项积； 3.连比转化错误：统一中间项时未找最小公倍数，导致比例失真； 4.正反比例判定失误：忽略“一定的量”，盲目判断正反比例； 5.比例尺单位不统一：图上距离与实际距离单位未换算，计算出错。 三、奥数解题口诀 比例相等是核心，内积等于外项真； 连比统一中间项，最小公倍数来帮； 正反比例看定量，比值乘积分清朗； 比例尺要单位换，图实对应不能乱； 按比分配先求总，一份量是突破口。 考点讲解 考点1：比例的基本性质与解比例（基础必考） 核心思路：利用“外项积=内项积”将比例转化为简易方程，求解未知项；已知三个数构造比例，分三种情况讨论。 典型例题：解比例 解题步骤： → → 奥数变式：用再配一个数组成比例，这个数是多少？ 答案：（分三种外项/内项组合） 考点2：连比与按比分配（最常考） 核心思路：先统一连比的中间项，再求总份数，用总量÷总份数=一份量，再按份数分配；奥数常考多量连比、隐含总量的分配。 典型例题：甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙；若三个数和为140，求丙。 解题步骤：统一乙为12，甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，甲:乙:丙=8:12:15；总份数35，一份量4，丙=15×4=60。 奥数变式：把一批图书按3:4:5分给四、五、六年级，五年级比四年级多30本，求图书总数。 答案：360本 考点3：正反比例的实际应用（奥数重点） 核心思路：先找不变量判定正反比例，再列比例式求解；常考行程、工程、价格、浓度问题。 典型例题：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60km，4小时到达；若每小时行80km，几小时到达？ 解题步骤：路程一定，速度与时间成反比； → 小时。 奥数变式：铺地面积一定，方砖边长与块数成比例吗？方砖面积与块数呢？ 答案：边长不成比例，面积成反比例。 考点4：比例尺与图形缩放（奥数难点） 核心思路：比例尺=图上距离:实际距离，单位必须统一（cm为主）；图形缩放按比例放大/缩小，边长比=比例尺，面积比=比例尺的平方。 典型例题：一幅地图比例尺1:500000，图上距离4cm，实际距离多少km？ 解题步骤：。 奥数变式：一个长方形按2:1放大，原面积12cm²，放大后面积多少？ 答案： 真题训练 1．甲、乙、丙三人进行100m赛跑（假设他们的速度保持不变），甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m，那么乙到达终点时，丙距离终点还有（    ）。 A．5m B．6m C．6.25m D．6.75m 【答案】C 【分析】“甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m”，这一过程三人所用时间相同，所以乙、丙的速度比等于路程比。此时，乙跑的路程＝（100－20）m，丙跑的路程＝（100－25）m； “乙到达终点时，丙距离终点还有多远”，这一过程，两人所用时间相同，跑的路程比等于速度比。此时，乙跑的路程为20m，丙跑的路程为（25－x）m；根据他们的速度保持不变，可知速度比不变。综上，列出比例即可。 【详解】解：设丙距终点还有xm。 16×（25－x）＝20×15 16×（25－x）＝300 16×25－16x＝300 400－16x＝300 16x＝400－300 16x＝100 x＝6.25 答：乙到达终点时，丙距离终点还有6.25m。 2．下列各选项中的两种量，成正比例关系的是（    ）。 A．周长一定，长方形的长与宽 B．总字数一定，每分钟打字的个数与所用时间 C．圆柱的侧面积一定，底面积与高 D．圆柱的高一定，它的体积和底面积 【答案】D 【分析】根据“两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量的比值一定，这两个量成正比例关系”来判断是否成为正比例关系。 【详解】A．长＋宽＝周长÷2，和一定，不成正比例。 B．每分钟打字个数×时间＝总字数，积一定，不成正比例。 C．圆柱侧面积一定，底面积与高无固定比值，不成正比例。 D．（一定），比值一定，成正比例。 成正比例关系的是圆柱的高一定，它的体积和底面积。 3．2023年第三艘航空母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在A4纸上，选择用（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶40 B．1∶400 C．1∶4000 D．1∶40000 【答案】C 【分析】先把航母的长度320米换算成厘米，由“图上距离÷实际距离＝比例尺”可得“图上距离＝实际距离×比例尺”，再将图上距离和A4纸的长30厘米比较，看是否适合在A4纸上画出。 【详解】320米＝32000厘米 A．（厘米），图上距离800厘米远大于30厘米，A4纸装不下 B．（厘米），图上距离80厘米远大于30厘米，A4纸装不下 C．（厘米），图上距离8厘米能在A4纸上画出，比例尺“1∶4000”比较合适。 D．（厘米），图上距离0.8厘米太小，不适合。 4．平果市的文化公园长约600米，宽约320米，现要绘制文化公园的平面图，选用（    ）比例尺画出的平面图最小。 A．1∶500 B．1∶1000 C．1∶1500 D．1∶3000 【答案】D 【详解】图上距离∶实际距离＝比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，比例尺的后项越大图上距离越小，因此选用1∶3000比例尺画出的平面图最小。 5．要绘制“校园平面图”，实际长120米的教学楼在图上用6厘米表示，比例尺应选（    ）。 A．1∶20 B．1∶200 C．1∶2000 D．1∶20000 【答案】C 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，把题中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】图上距离∶实际距离 ＝6厘米∶120米 ＝6厘米∶（120×100）厘米 ＝6厘米∶12000厘米 ＝6∶12000 ＝（6÷6）∶（12000÷6） ＝1∶2000 所以，比例尺应选1∶2000。 故答案为：C 6．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】B 【分析】由题意知：配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，要配制400克这样的糖水，则糖有（克），水有400－20＝380（克）。设加入了克的水，使“糖与水的比变为1∶24”，则现在的水有克，现在的糖还是20克，再列比例求解即可。 【详解】400克的糖水，糖与水的质量比是1∶19，此时糖有：（克）；水有：400－20＝380（克） 解：设需要再加入克水，则现在的水有克。 20：＝1∶24 所以需要再加入100克水才能使糖与水的比变为1∶24。 故答案为：B 7．两个长方形的周长相等，甲的长与宽之比是2∶1，乙的长与宽之比是3∶1，则甲与乙面积之比是（    ）。 A．32∶27 B．21∶25 C．27∶32 D．25∶21 【答案】A 【分析】长方形的周长和面积公式：周长C＝2×（长＋宽），面积S＝长×宽；比例则要根据长与宽的比例关系，结合周长求出长和宽的具体值。 【详解】设两个长方形的周长都为24，根据周长公式，长与宽的和为：24÷2＝12，甲的长与宽之比是2∶1，总份数为2＋1＝3（份）；则甲的长为：12×＝8，甲的宽为：12×＝4，那么甲的面积为：8×4＝32。 我们再用同样的思路求解乙的长和宽：乙的长与宽之比是3：1，总份数为3＋1＝4（份），则乙的长为12×＝9，乙的宽为：12×＝3，所以乙的面积为：9×3＝27。 所以，甲与乙的面积之比为32∶27. 故答案为：A。 【点睛】当题目中涉及比例且有相等的量（如本题的周长相等）时，设这个相等的量为一个能被各比例份数和整除的数（如本题设周长为24），可以简化计算，避免分数运算；另外要根据长与宽的比例关系，结合长与宽的和，利用“部分量＝总量×部分占比”的方法求出长和宽。 8．故宫南北长961米，东西宽753米，如果要把它的平面图画在一张和数学书一样大的纸上，选用比例尺（    ）比较合适。 A．1∶50 B．1∶500 C．1∶5000 D．5000∶1 【答案】C 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”将961米、753米换算成96100厘米、75300厘米；然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出四个选项中长、宽的图上距离，再结合数学书的尺寸，得出哪个比例尺适合画在和数学书一样大的图纸上。 【详解】961米＝96100厘米，753米＝75300厘米 A．96100×＝1922（厘米） 75300×＝1506（厘米） 尺寸太大，无法画在和数学书一样大的图纸上，所以选用比例尺1∶50不合适； B．96100×＝192.2（厘米） 75300××＝150.6（厘米） 尺寸太大，无法画在和数学书一样大的图纸上，所以选用比例尺1∶500不合适； C．96100×＝19.22（厘米） 75300×＝15.06（厘米） 可以画在和数学书一样大的图纸上，尺寸合适，所以选用比例尺1∶5000比较合适； D．96100×5000＝480500000（厘米） 75300×5000＝376500000（厘米） 尺寸太大，无法画在和数学书一样大的图纸上，所以选用比例尺1∶500不合适； 故答案为：C 9．已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 【答案】 1.6 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。设另一个内项为x，根据内项积等于外项积，可列出方程求解。同时，需验证比值条件是否满足。 【详解】 设另一个内项为x，则： 验证：若内项为8和1.6，根据比值是则比例为 计算比值：4÷8＝0.5，1.6÷3.2＝0.5，比值均为，符合题意。 因此，另一个内项是1.6。 10．下边的比例尺表示图上1厘米相当于地面实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是_____∶_____。 【答案】 20 1 2000000 【分析】从图中比例尺可知，1厘米等于20千米，根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，把千米为单位的数量变换成厘米为单位的数量，1与该数的比即为比例尺。 【详解】由分析可得： 20千米＝20000米＝2000000厘米 图中比例尺为：1∶2000000 下边的比例尺表示图上1厘米相当于地面实际距离20千米，把它改写成数值比例尺是1∶2000000。 11．在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是( )；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，如果两个内项互为倒数，则两个内项之积等于1，用1÷3.5即可求出另一个外项。最小的质数是2，即一个内项是2，用1÷2求出另一个内项，然后写出比例即可。 【详解】另一个外项：1÷3.5 ＝1÷ ＝1× ＝ 1÷2＝ 比例可能为：（答案不唯一） 12．中央处理器（CPU）是一台计算机的运算核心和控制核心，相当于计算机的心脏。现将一个长30毫米的CPU零件画在图纸上，长为18厘米，这张图纸的比例尺是( )。 【答案】6∶1 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。先要将单位换算成统一的单位，1厘米＝10毫米，用30除以进率10即可换算为厘米，再将两个数的比化简成为最简整数比即可填空。 【详解】1厘米＝10毫米 30÷10＝3（厘米） 18厘米∶3厘米 ＝（18÷3）∶（3÷3） ＝6∶1 即这张图纸的比例尺是6∶1。 13．一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是( )，在图上量得校园操场长5厘米，那么操场的实际长度是( )米。 【答案】 250 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际50米，即5000厘米（1米＝100厘米），根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”写出比例尺即可。 图上1厘米表示实际50米，在图上量得校园操场长5厘米，所以实际距离为5个50米，即50×5＝250米。 【详解】50米＝5000厘米 50×5＝250（米） 因此，改写成数值比例尺是，在图上量得校园操场长5厘米，那么操场的实际长度是250米。 14．浩浩过生日，他把2千克重的蛋糕平均切成6块，每块占这个蛋糕的( )，每块重( )千克。若此蛋糕在比例尺为1∶10的图纸上长是1.5厘米，则该蛋糕实际长为( )厘米。 【答案】 15 【分析】把这个蛋糕看成单位“1”，平均分成6份，每份就是这个蛋糕的（1÷6），用总质量除以平均分的份数，就是每份的质量；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出该蛋糕实际长即可解答。 【详解】1÷6＝ 2÷6＝（千克） 1.5÷＝1.5×10＝15（厘米） 每块占这个蛋糕的，每块重千克。若此蛋糕在比例尺为1∶10的图纸上长是1.5厘米，则该蛋糕实际长为15厘米。 15．苕溪水流经多个乡镇，在一幅比例尺为的地图上，量得苕溪在地图上的长度约为20厘米，那么苕溪的实际长度约是( )千米。 【答案】100 【分析】比例尺1∶500000表示图上1厘米代表实际距离500000厘米。图上长度为20厘米，实际距离为图上距离乘比例尺分母。再将厘米转换为千米，因为1千米＝100000厘米，所以实际距离（千米）＝图上距离（厘米）×比例尺分母÷100000。 【详解】20×500000＝10000000厘米＝100千米 所以苕溪的实际长度约是100千米。 16．我国海军的055型驱逐舰长约，是目前亚洲吨位最大的导弹驱逐舰，是名副其实的“亚洲第一舰”，小明平时喜欢研究各种军舰，爸爸给他买了一个长度是的055型驱逐舰模型，这个模型是按照( )的比例缩小的。 【答案】1∶900/ 【分析】先将换算成；再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”用20∶18000；最后根据比的基本性质将比化成最简整数比即可。 【详解】 20∶18000 ＝（20÷20）∶（18000÷20） ＝1∶900 我国海军的055型驱逐舰长约，是目前亚洲吨位最大的导弹驱逐舰，是名副其实的“亚洲第一舰”，小明平时喜欢研究各种军舰，爸爸给他买了一个长度是的055型驱逐舰模型，这个模型是按照1∶900的比例缩小的。 17．解比例或方程。                  【答案】x＝54；x＝4；x＝2400 【分析】（1）先根据比例的基本性质把方程写成x＝27×，再根据等式的性质2给方程两边同时除以即可； （2）先根据乘法分配律把方程左边化简成0.55x，再根据等式的性质2给方程两边同时除以0.55即可； （3）先根据比例的基本性质把方程写成0.03x＝48×1.5，再根据等式的性质2给方程两边同时除以0.03即可。 【详解】27∶x＝∶ 解：x＝27× x＝9 x÷＝9÷ x＝9×6 x＝54 x＋15%x＝2.2 解：0.55x＝2.2 0.55x÷0.55＝2.2÷0.55 x＝4 ＝ 解：0.03x＝48×1.5 0.03x＝72 0.03x÷0.03＝72÷0.03 x＝2400 18．解比例或方程。           x＋160%x＝39        （1－87.5%）x＝8 【答案】x＝0.6；x＝20； x＝15；x＝64 【分析】根据比例的基本性质，将比例转化为方程6x＝12×0.3，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以6求解x； 根据比例的基本性质，将比例转化为方程0.9x＝3×6，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.9求解x； 把160%化为小数是1.6，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以2.6求解x； 把87.5%化为小数0.875，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.125求解x。 【详解】x∶12＝0.3∶6 解：6x＝12×0.3 6x＝3.6 6x÷6＝3.6÷6 x＝0.6 解：0.9x＝3×6 0.9x＝18 0.9x÷0.9＝18÷0.9 x＝20 x＋160%x＝39 解：x＋1.6x＝39 2.6x＝39 2.6x÷2.6＝39÷2.6 x＝15 （1－87.5%）x＝8 解：（1－0.875）x＝8 0.125x＝8 0.125x÷0.125＝8÷0.125 x＝64 19．解比例。          【答案】；； 【分析】比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质，把比例改写成方程。再求出未知数的值。 第1题，把比例改写成方程，方程两边再同时除以。 第2题，把比例改写成方程，方程两边再同时除以9。 第3题，把比例改写成方程，把0.75改写成，方程两边再同时除以。 【详解】   解：      解：   解： 20．广西的铜鼓是极具特色的传统文化艺术珍品。已知某大型铜鼓的高度为56厘米，现在要制作按3∶8比例缩小的铜鼓摆件，那么这个铜鼓摆件的高度是多少厘米？ 【答案】21厘米 【分析】按“3∶8比例缩小”，指的是铜鼓摆件的高度与铜鼓实际高度的比是3∶8。即：摆件高度∶实际高度＝3∶8。 已知铜鼓的实际高度，设摆件高度为x厘米，根据这一关系，列出比例，根据比例的基本性质（内项积＝外项积）解答。 【详解】解：设这个铜鼓摆件的高度是厘米。 答：这个铜鼓摆件的高度是21厘米。 21．音乐兴趣班有男生24人，女生18人，转入几名女生后，男、女生人数之比为。那么转入的女生有多少人？ 【答案】 2人 【分析】假设转入女生x人，则男生24：现在的女生，那么利用比例的性质“两内项之积等于两外项之积”，解比例，即可得解。 【详解】解：假设转入女生人.                                                                                     答：转入的女生有2人。 22．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【答案】58.3厘米 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”将58.3米换算成5830厘米，根据题意可得出等量关系：模型的高度∶实际的高度＝1∶100，据此列出比例方程，并求解。 【详解】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是厘米。 ∶5830＝1∶100 100＝5830×1 ＝5830÷100 ＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 23．小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两只牛各自吃了多少块肥肉？ 【答案】小牛：10块，大牛：25块 【分析】把小牛和大牛吃的肉块数之比看作份数，假设一份的价格是x块，那么小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块，小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块后，小牛吃的肉块数变成（2x＋5）块，大牛吃的肉块数变成（5x＋2）块，这时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。 【详解】解：设一份量为x，小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块 （2x＋5）∶（5x＋2）＝5∶9 （5x＋2）×5＝（2x＋5）×9 25x＋2×5＝18x＋5×9 25x－18x＝45－10 7x＝35 x＝5 小牛吃的肉块数：2×5＝10（块） 大牛吃的肉块数：5×5＝25（块） 答：原来小牛吃了10块肥肉，大牛吃了25块肥肉。 【点睛】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把小牛和大牛原来吃的肉块数设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。 24．小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3∶4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4∶7，求小胖吃了多少个草莓？ 【答案】24个 【分析】原来小胖和大胖吃草莓的个数比为3∶4，则原来小胖吃草莓个数是大胖吃草莓个数的，把原来大胖吃草莓个数设为未知数，根据原来小胖吃草莓个数∶（原来大胖吃草莓个数＋10个）＝4∶7列出比例，并利用比例的基本性质求出未知数的值，最后求出小胖吃草莓的个数。 【详解】解：设原来大胖吃了x个草莓，则小胖吃了x个草莓。 x∶（x＋10）＝4∶7 4（x＋10）＝7×x 4x＋40＝x x－4x＝40 x＝40 x＝40÷ x＝32 小胖：32×＝24（个） 答：小胖吃了24个草莓。 【点睛】本题主要考查应用比例解决问题，分析题意设出未知数并根据现在两人吃草莓的个数比写出比例是解答题目的关键。 25．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是0.8，且第一个比的前项比后项小3，第二个比的前项是第一个比的前项的2倍，写出这个比例。 【答案】12∶15＝24∶30 【分析】以第二项为单位“1”，第一项就是0.8，第一项比第二项少（1－0.8），根据分数除法的意义，用第一项比第二项少的3除以少的分率即可求出第二项；用第二项减去3即可求出第一项；用第一项乘2求出第三项；用第三项除以0.8求出第四项。 【详解】第二项：3÷（1－0.8） ＝3÷0.2 ＝15 第一项：15－3＝12 第三项：12×2＝24 第四项：24÷0.8＝30 这个比例是12∶15＝24∶30。 【点睛】将分数除法的意义与比和比例相结合，体现了单位“1”知用除法计算；以及对于比的前项和后项及比值之间关系的理解、对比例的意义的理解。 26．林红、李强和刘明三人集邮，林红和李强邮票数的比是4：5，李强和刘明邮票数的比是10：13，林红和刘明邮票数的比是多少？林红的邮票数是刘明的几分之几？ 【答案】林红和刘明邮票数的比是8：13，林红的邮票数是刘明的． 【详解】试题分析：因为林红和李强邮票数的比是4：5=8：10，李强和刘明邮票数的比是10：13，所以能求出林红、李强和刘明三人邮票张数的比，进而得出林红和刘明邮票数的比；求林红的邮票数是刘明的几分之几，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答即可． 解：林红和李强邮票数的比是4：5=8：10，李强和刘明邮票数的比是10：13， 所以能求出林红邮票数：李强邮票数：刘明邮票数=8：10：13， 即林红和刘明邮票数的比是8：13； 林红的邮票数是刘明的：8：13=8÷13=； 答：林红和刘明邮票数的比是8：13，林红的邮票数是刘明的． 点评：此题考查了比的意义，求出林红、李强和刘明三人邮票张数的比，是解答此题的关键；用到的知识点：求一个数是另一个数的几分之几，用除法． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比例 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 比例的本质深化 课本核心：表示两个比相等的式子叫做比例，如（）；组成比例的四个数叫项，两端是外项，中间是内项。 奥数拓展： ① 比例与比的区别：比是两个数的关系，比例是两个比的等式； ② 连比转化：已知、，统一**中间项**的最小公倍数，转化为（奥数核心考点）； ③ 比例的变形：更比、反比、合比，用于复杂比例计算。 2. 比例基本性质的奥数应用（重点） 课本核心：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即。 奥数拓展： ① 解比例：利用“外项积=内项积”转化为方程，求未知项； ② 比例式构造：已知三个数，补第四个数组成比例，分“外项/内项”三种情况； ③ 比例的等量代换：多个比例式联立，通过公共项传递比例关系。 3. 正反比例的奥数判定 课本核心：两种相关联的量，比值一定成正比例，乘积一定成反比例。 奥数拓展： ① 复合比例：三个及以上变量关联（如路程=速度×时间，速度与时间成反，路程与速度成正）； ② 隐含定量：解题先找不变量（总量、单量、速度等），再判定正反比例； ③ 比例传递：若与成正，与成正，则与成正。 二、奥数易错点提醒 1.混淆比和比例：比是，比例是，比例必须是等式； 2.比例基本性质用错：误将“内项和=外项和”，牢记内项积=外项积； 3.连比转化错误：统一中间项时未找最小公倍数，导致比例失真； 4.正反比例判定失误：忽略“一定的量”，盲目判断正反比例； 5.比例尺单位不统一：图上距离与实际距离单位未换算，计算出错。 三、奥数解题口诀 比例相等是核心，内积等于外项真； 连比统一中间项，最小公倍数来帮； 正反比例看定量，比值乘积分清朗； 比例尺要单位换，图实对应不能乱； 按比分配先求总，一份量是突破口。 考点讲解 考点1：比例的基本性质与解比例（基础必考） 核心思路：利用“外项积=内项积”将比例转化为简易方程，求解未知项；已知三个数构造比例，分三种情况讨论。 典型例题：解比例 解题步骤： → → 奥数变式：用再配一个数组成比例，这个数是多少？ 答案：（分三种外项/内项组合） 考点2：连比与按比分配（最常考） 核心思路：先统一连比的中间项，再求总份数，用总量÷总份数=一份量，再按份数分配；奥数常考多量连比、隐含总量的分配。 典型例题：甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙；若三个数和为140，求丙。 解题步骤：统一乙为12，甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，甲:乙:丙=8:12:15；总份数35，一份量4，丙=15×4=60。 奥数变式：把一批图书按3:4:5分给四、五、六年级，五年级比四年级多30本，求图书总数。 答案：360本 考点3：正反比例的实际应用（奥数重点） 核心思路：先找不变量判定正反比例，再列比例式求解；常考行程、工程、价格、浓度问题。 典型例题：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60km，4小时到达；若每小时行80km，几小时到达？ 解题步骤：路程一定，速度与时间成反比； → 小时。 奥数变式：铺地面积一定，方砖边长与块数成比例吗？方砖面积与块数呢？ 答案：边长不成比例，面积成反比例。 考点4：比例尺与图形缩放（奥数难点） 核心思路：比例尺=图上距离:实际距离，单位必须统一（cm为主）；图形缩放按比例放大/缩小，边长比=比例尺，面积比=比例尺的平方。 典型例题：一幅地图比例尺1:500000，图上距离4cm，实际距离多少km？ 解题步骤：。 奥数变式：一个长方形按2:1放大，原面积12cm²，放大后面积多少？ 答案： 真题训练 1．甲、乙、丙三人进行100m赛跑（假设他们的速度保持不变），甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m，那么乙到达终点时，丙距离终点还有（    ）。 A．5m B．6m C．6.25m D．6.75m 2．下列各选项中的两种量，成正比例关系的是（    ）。 A．周长一定，长方形的长与宽 B．总字数一定，每分钟打字的个数与所用时间 C．圆柱的侧面积一定，底面积与高 D．圆柱的高一定，它的体积和底面积 3．2023年第三艘航空母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在A4纸上，选择用（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶40 B．1∶400 C．1∶4000 D．1∶40000 4．平果市的文化公园长约600米，宽约320米，现要绘制文化公园的平面图，选用（    ）比例尺画出的平面图最小。 A．1∶500 B．1∶1000 C．1∶1500 D．1∶3000 5．要绘制“校园平面图”，实际长120米的教学楼在图上用6厘米表示，比例尺应选（    ）。 A．1∶20 B．1∶200 C．1∶2000 D．1∶20000 6．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 7．两个长方形的周长相等，甲的长与宽之比是2∶1，乙的长与宽之比是3∶1，则甲与乙面积之比是（    ）。 A．32∶27 B．21∶25 C．27∶32 D．25∶21 8．故宫南北长961米，东西宽753米，如果要把它的平面图画在一张和数学书一样大的纸上，选用比例尺（    ）比较合适。 A．1∶50 B．1∶500 C．1∶5000 D．5000∶1 9．已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 10．下边的比例尺表示图上1厘米相当于地面实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是_____∶_____。 11．在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是( )；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是( )。 12．中央处理器（CPU）是一台计算机的运算核心和控制核心，相当于计算机的心脏。现将一个长30毫米的CPU零件画在图纸上，长为18厘米，这张图纸的比例尺是( )。 13．一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是( )，在图上量得校园操场长5厘米，那么操场的实际长度是( )米。 14．浩浩过生日，他把2千克重的蛋糕平均切成6块，每块占这个蛋糕的( )，每块重( )千克。若此蛋糕在比例尺为1∶10的图纸上长是1.5厘米，则该蛋糕实际长为( )厘米。 15．苕溪水流经多个乡镇，在一幅比例尺为的地图上，量得苕溪在地图上的长度约为20厘米，那么苕溪的实际长度约是( )千米。 16．我国海军的055型驱逐舰长约，是目前亚洲吨位最大的导弹驱逐舰，是名副其实的“亚洲第一舰”，小明平时喜欢研究各种军舰，爸爸给他买了一个长度是的055型驱逐舰模型，这个模型是按照( )的比例缩小的。 17．解比例或方程。                  18．解比例或方程。           x＋160%x＝39        （1－87.5%）x＝8 19．解比例。          20．广西的铜鼓是极具特色的传统文化艺术珍品。已知某大型铜鼓的高度为56厘米，现在要制作按3∶8比例缩小的铜鼓摆件，那么这个铜鼓摆件的高度是多少厘米？ 21．音乐兴趣班有男生24人，女生18人，转入几名女生后，男、女生人数之比为。那么转入的女生有多少人？ 22．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 23．小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两只牛各自吃了多少块肥肉？ 24．小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3∶4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4∶7，求小胖吃了多少个草莓？ 25．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是0.8，且第一个比的前项比后项小3，第二个比的前项是第一个比的前项的2倍，写出这个比例。 26．林红、李强和刘明三人集邮，林红和李强邮票数的比是4：5，李强和刘明邮票数的比是10：13，林红和刘明邮票数的比是多少？林红的邮票数是刘明的几分之几？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $