第一单元 负数 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学六年级下册

第一单元 负数 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 正负数的本质深化 课本核心：负数是表示与正数相反意义的量（如收入与支出、上升与下降），0既不是正数也不是负数。 奥数拓展：① 负数可以表示“不足”“亏损”“低于标准”，正数表示“超出”“盈利”“高于标准”，解题时先明确“标准量”（基准点），再用正负数表示相关量。② 正负数的读写易错点：负数前面的“-”不能省略，如“-5”读作“负五”，不能读作“减五”；写的时候要注意与减法符号区分（如“5-3”是减法，“-3”是负数）。 2. 数轴的奥数应用（重点） 课本核心：数轴是规定了原点（0）、正方向（通常向右）和单位长度的直线，所有正数在0的右边，负数在0的左边。 奥数拓展： 数轴上的点与正负数的对应关系：越往右的数越大，越往左的数越小；任意两个负数比较，绝对值大的反而小（奥数常考比较大小的变式题）。 数轴上的距离问题：两点之间的距离 = 较大数 - 较小数（无论正负），如点A（-3）和点B（2）之间的距离是2 - (-3) = 5；若两点在原点两侧，距离也可表示为两点绝对值之和（| -3 | + | 2 | = 5）。 数轴上的规律探究：如按“+1、-2、+3、-4、+5、-6……”的顺序在数轴上排列，探究第n个数的位置和符号（奥数常考规律题）。 二、奥数易错点提醒 混淆“负数”与“减法”：如“-5”是负数，不是“减5”，解题时注意符号的含义（表示相反意义的量）。 比较两个负数大小时，误将“绝对值大的数就大”，记住：负数的绝对值越大，本身越小。 数轴上的方向问题：正方向通常向右，但部分奥数题会调整正方向（如向左为正），需先看清题目规定，再判断数的位置。 实际应用中，基准量的确定错误：如“以平均成绩为基准，高于平均记为正”，需先计算平均成绩，再表示各成绩的正负，避免直接以0为基准。 三、奥数解题口诀 负数意义要记牢，相反关系是核心；基准确定找0点，正负区分看方向。 数轴之上定位置，右大左小要牢记；负数比较看绝对，绝对大的反而小。 巧算凑整又抵消，符号化简要细心；规律探究看奇偶，符号数值分清楚。 考点讲解 考点1：正负数的实际应用（最常考） 核心思路：先确定“基准量”（把某一个标准状态记为0），再用正数表示超出基准的量，负数表示不足基准的量，最后通过正负数的运算解决问题（如盈亏、升降、收支、温差等）。 典型例题：某商店一周内的盈亏情况如下（盈利记为正，亏损记为负）：+200元、-150元、+300元、-100元、-50元、+250元、+180元。求这一周商店的总盈亏情况。 解题步骤：将所有盈亏数相加，结果为正表示盈利，为负表示亏损。计算：200 - 150 + 300 - 100 - 50 + 250 + 180 = 630（元），答：这一周商店盈利630元。 奥数变式：在海拔高度中，以海平面为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。某山峰海拔+1520米，某海沟海拔-800米，求山峰与海沟的高度差。（答案：1520 - (-800) = 2320米） 考点2：正负数的大小比较（变式题） 核心思路：① 正数>0>负数；② 两个负数比较，绝对值大的反而小；③ 多个正负数比较，可先分类（正数、0、负数），再分别比较，最后排序。 奥数变式题：把-3、2、-5、0、4、-1.5按从大到小的顺序排列。（答案：4 > 2 > 0 > -1.5 > -3 > -5） 进阶题型：已知a、b是两个负数，且|a| > |b|，比较a和b的大小（答案：a < b）；已知a是负数，b是正数，比较|a|和b的大小（需结合具体数值，如a=-3，b=2，则|a|>b；a=-2，b=3，则|a|<b）。 考点3：正负数的巧算（奥数提升） 核心思路：利用正负数的运算性质（加法交换律、结合律），将正数与正数相加、负数与负数相加，再进行整体计算，简化运算过程。 常用技巧：① 凑整法：将能凑成整十、整百的数结合（如25 + (-15) + 30 + (-20) = (25 + 30) + [(-15) + (-20)] = 55 - 35 = 20）；② 抵消法：互为相反数的两个数相加得0（如-8 + 8 + (-5) = 0 - 5 = -5）；③ 符号化简：多个负号叠加，“负负得正”（如-(-3) = 3，-(-(-2)) = -2）。 典型例题：计算：12 - 13 + 14 - 15 + 16 - 17 + 18 - 19 + 20 解题步骤：分组结合，(12 - 13) + (14 - 15) + (16 - 17) + (18 - 19) + 20 = (-1)×4 + 20 = 16。 考点4：正负数与规律探究（奥数难点） 核心思路：根据题目给出的正负数排列规律，找出符号变化规律、数值变化规律，进而求解第n个数、某一位置的数，或判断某数是否在序列中。 典型例题：有一列数：+1、-2、+3、-4、+5、-6、……，请问：（1）第10个数是多少？（2）第2023个数是多少？（3）这列数中，第n个数是多少？ 解题步骤：观察规律：奇数位置为正数，偶数位置为负数，数值等于位置序号。因此：（1）第10个数是偶数位置，为-10；（2）第2023个数是奇数位置，为+2023；（3）第n个数：当n为奇数时，是+n；当n为偶数时，是-n。 真题训练 1．一艘潜水艇所处的位置是海拔米，一条小鱼在这艘潜水艇上方40米处，记作海拔（    ）米。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以海平面为标准，低于海平面记为负，低于海平面的高度－小鱼距离潜水艇的高度＝小鱼距离海平面的高度。 【详解】200－40＝160（米） 记作海拔米。 2．在跳远比赛中，合格标准是3.00m，小明跳了3.12m，记作﹢0.12m；小亮跳了（    ）m，记作﹣0.05m。 A．0.05 B．﹣0.05 C．3.05 D．2.95 【答案】D 【分析】合格标准为基准（0点），正数表示超过标准，负数表示低于标准。根据小亮的记录数值，利用标准成绩减去不足的数值即可求出实际成绩。 【详解】（米） 小亮跳了2.95米。 故答案为：D 3．下面说法正确的是（    ）。 A．在﹣1和﹣4之间只有﹣2个负数 B．自然数中除0外都是正数 C．比5小的数只有0、1、2、3、4 D．早晨气温是﹣2℃，升高1℃后，是﹣3℃ 【答案】B 【分析】A．两个负数之间不仅有负整数也有负小数； B．根据自然数的定义，自然数包括0和正整数； C．比5小的数不仅有整数，还有小数； D．温度升高时数值应向正数方向变化，计算时需用加法，而非减法。 【详解】A．在﹣1和﹣4之间有无数个负数，原题说法错误； B．根据自然数的定义，自然数包括0和正整数，因此除0以外的自然数都是正数，原题说法正确； C．比5小的数有无数个，原题说法错误； D．在温度计中﹣1℃在﹣2℃的上面一格，所以早晨气温是﹣2℃，升高1℃后是﹣1℃，而不是﹣3℃，原题说法错误。 说法正确的是自然数中除0外都是正数。 4．平果市某家奶茶店，四月份的纯利润比三月份增长了﹣5%，“﹣5%”表示（    ）。 A．增长了5% B．下降了5% C．不增不降 D．无法确定 【答案】B 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，把三月份的纯利润看作分界线，则四月份比三月份增长记为正，下降记为负，据此解答。 【详解】“﹣5%”表示下降了5%。 5．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数。若气温为零上记作，则﹣5℃表示气温为（    ）。 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，规定其中一个为正，则和它意义相反的就为负。规定零上为正，则零下就为负。负数的写法是：先写“﹣”号，然后再写后面的数字，数字要用阿拉伯数字进行书写。正数的写法是：在写正数时，数字前写﹢”号或省略“﹢”号两种形式都可以，据此解答。 【详解】根据分析可得：若气温为零上8℃记作﹢8℃，则﹣5℃表示气温为零下5℃。 6．一种大米的包装袋上标有“20千克±50克”的标记，这种大米每袋最轻是（    ）千克。 A．20.5 B．20.05 C．19.95 D．19.5 【答案】C 【分析】首先要明确“20千克±50克”的含义，“＋”表示比20千克多，“－”表示比20千克少，所以最轻的重量就是20千克减去50克。这里需要注意单位换算，将50克换算成以千克为单位，再进行减法运算，据此解答。 【详解】因为1千克＝1000克，所以50克＝50÷1000＝0.05千克。 最轻重量：20－0.05＝19.95（千克） 故答案为：C 7．一种食盐的包装袋上标着“净重500克±5克”，表示这种食盐每袋的质量不低于（    ）克。 A．510 B．505 C．500 D．495 【答案】D 【分析】“净重500克±5克”表示这种食盐的质量在500－5克到500＋5克之间，要找质量不低于的克数，就是求下限，用500－5计算，据此解答。 【详解】500－5＝495（克），所以这种食盐每袋的质量不低于495克。 故答案为：D 8．人体正常体温平均为36℃～37℃，如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可记作﹢0.5℃，那么35.8℃可以记作（    ）。 A．﹣0.7℃ B．﹣0.2℃ C．﹢0.7℃ D．﹢35.8℃ 【答案】A 【分析】负数表示和正数意义相反的量。37℃比36.5℃高，记为正数，那么35.8℃比36.5℃低，应记为负数。用36.5℃减去35.8℃，求出35.8℃应记为负几℃。 【详解】36.5－35.8＝0.7（℃） 如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可记作﹢0.5℃，那么35.8℃可以记作﹣0.7℃。 故答案为：A 9．2025年4月11日，伊旗的天气预报显示当地的气温是−7~13摄氏度，这一天的最低气温是( )摄氏度，温差是( )摄氏度。 【答案】 −7 20 【分析】在温度计上，负数代表零度以下，正数代表零度以上，数字越大，离0℃越远。 【详解】在−7~13摄氏度这个温度范围内，−7摄氏度是最低温度。 −7摄氏度到0摄氏度相差7摄氏度，0摄氏度到13摄氏度相差13摄氏度 7＋13＝20（摄氏度） 因此−7摄氏度到13摄氏度共相差20摄氏度。 10．如果向东走200米记作﹢200米，那么向西走50米记作( )米。 【答案】 ﹣50 【分析】正数和负数表示相反意义的量。在本题中，向东走200米记作﹢200米，说明向东为正方向，那么向西则为负方向。因此，向西走50米应记作负数，即﹣50米。 【详解】如果向东走200米记作﹢200米，那么向西走50米记作﹣50米。 11．邹城市1月16日的气温是﹣5℃～8℃，这一天的温差是( )℃。 【答案】13 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。以0℃为标准，比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）；比0℃高的温度叫零上温度，通常在数字前面加“﹢”（正号），也可以省略不写。 气温先由﹣5℃上升到0℃，上升了5℃；再由0℃上升到8℃，上升了8℃；一共上升了（5＋8）℃。 【详解】5＋8＝13℃ 这一天的温差是13℃。 12．体育老师对六（1）班进行了“仰卧起坐”的体能测试，以一分钟做20个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。体育老师记录了其中一组同学的成绩如表： 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/个 ﹣1 0 ﹣3 6 3 ﹣1 3号同学一分钟做了( )个仰卧起坐，该组同学的达标率是( )%。 【答案】 17 50 【分析】已知一分钟做20个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。3号同学成绩为﹣3个，表示比20个少3个；达标率＝，一分钟个数大于等于20个的为达标，根据表格可知6个人中有3个人达标，可求出达标率。 【详解】20－3＝17（个） 3÷6×100% ＝0.5×100% ＝50% 13．电子账单上显示“﹢1350元”表示收入1350元，则“﹣1000元”表示( )。 【答案】支出1000元 【分析】根据正负数的意义“正数与负数表示意义相反的两种量，规定其中一个为正，则和它意义相反的就为负”，正数表示收入，则负数表示支出，据此解答。 【详解】根据分析得：电子账单上显示“﹢1350元”表示收入1350元，则“﹣1000元”表示支出1000元。 14．某区“美好教师”网上投票活动中，某教师第一天获得100票，第二天为80票，比第一天减少( )%，即比第一天负增长了( )%，可记作( )%。第三天比第一天获得的投票数多10票，比第一天增长( )%。第四天与第一天相比是零增长，第四天获得( )票。 【答案】 20 20 ﹣20 10 100 【分析】根据题意可知：第二天比第一天减少的票数＝第一天的票数第二天的票数，用第二天比第一天减少的票数÷第一天的票数，即为第二天比第一天减少的百分率；第三天比第一天增长的票数÷第一天的票数，即第三天比第一天增长的百分率；第四天与第一天相比是零增长，即第四天与第一天获得票数相同；据此解答。 【详解】（票） 即某教师第一天获得100票，第二天为80票，比第一天减少，即比第一天负增长了，可记作%。 则第三天比第一天获得的投票数多10票，比第一天增长10%。 第四天与第一天相比是零增长，即第四天与第一天票数相同； 则第四天获得100票。 15．在这些数中，( )是正数，( )是负数。 【答案】 【分析】根据正数的意义，以前学过的2.5、这样的数叫做正数，正数前面也可以加“＋”号，因此，＋1、＋是正数；根据负数的意义，为了表示两种相反意义的量，像、、叫做负数；0既不是正数也不是负数。 【详解】在这些数中，2.5、、＋1、＋是正数，、、是负数。 16．6月份红星小学每名学生在图书室平均借了6本书。卓玛借了8本，记作﹢2本；东东借了4本，记作﹣2本；如果小玲借了5本，应记作( )本。 【答案】﹣1 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量，6本是标准量，超过6本几本用正几表示，低于6本几本用负几表示。 【详解】（本） 由分析可得：6月份红星小学每名学生在图书室平均借了6本书。卓玛借了8本，记作﹢2本；东东借了4本，记作﹣2本；如果小玲借了5本，应记作﹣1本。 17．在跳远中，乐乐把2米作为标准，并用正、负数记录了二组4名同学的成绩。（单位：米） ﹢1      ﹣0.5       0       ﹢0.9 （1）写出这个组每名同学实际跳远成绩分别是多少米？ （2）跳的最近的与最远的相差多少米？ 【答案】（1）3米；1.5米；2米；2.9米 （2）1.5米 【分析】（1）2米作为标准，正数和负数是表示相反意义的量，所以高于2米记为正，低于2米记为负，据此可得每个数的表示方法。 （2）根据上一问，可知跳的最远的具体米数，和跳的最近的具体米数，用跳的最远的具体米数减去跳的最近的具体米数即可。 【详解】由分析可得： （1）﹢1表示比2米多1米，即：2＋1＝3（米） ﹣0.5表示比2米少0.5米，即：2－0.5＝1.5（米） 0表示就是为标准的2米 ﹢0.9表示比2米多0.9米，即：2＋0.9＝2.9（米） 答：这个组每名同学实际跳远成绩分别是3米、1.5米、2米、2.9米。 （2）3－1.5＝1.5（米） 答：跳的最近的与最远的相差1.5米。 18．冬奥会的冰面制作，过程复杂、标准严苛。制作一个1800平方米的标准冰场，任意3平方米内的最大高度差不超过2毫米。如果冰球赛场的冰层标准厚度是4厘米，某3平方米内的最大厚度为4.1厘米，记作﹢1毫米，那么该区域最小厚度为3.9厘米，记作多少毫米？符合要求吗？ 【答案】﹣1毫米；符合要求 【分析】正数和负数是一对表示相反意义的两个量，高于标准厚度记作＋1毫米，那么低于标准厚度应记作－1毫米；标准冰场是任意3平方米内的最大高度差不超过2毫米，那么只要计算出该区域最大厚度和最小厚度差，与标准厚度差相比，不超过2毫米则符合要求，超过2毫米则不符合要求，据此解答。 【详解】把3平方米内的最大厚度记为﹢1毫米，则该区域最小厚度应记作﹣1毫米。 4.1－3.9＝0.2（厘米） 0.2厘米＝2毫米 任意3平方米内的最大高度差不超过2毫米，符合要求。 答：该区域最小厚度为3.9厘米，记作﹣1毫米，符合要求。 19．六（1）班5名同学一分钟跳绳成绩如下： 姓名 刘恒 王宇 张朋 李丽 王琦 成绩/下 108 105 99 116 112 （1）这5名同学一分钟跳绳的平均成绩是多少下？ （2）用正数、负数和0表示每个人的成绩与平均成绩相比的结果。 姓名 刘恒 王宇 张朋 李丽 王琦 与平均成绩相比/下 【答案】（1）108下 （2）0；﹣3；﹣9；﹢8；﹢4 【分析】（1）根据平均数的意义，先把5名同学的一分钟跳绳成绩相加，求出总成绩，再除以5，即是这5名同学一分钟跳绳的平均成绩。 （2）正数、负数表示两种相反意义的量。以平均成绩为标准，那么超过平均成绩的部分记作正，低于平均成绩的部分就记作负，据此解答。 【详解】（1）（108＋105＋99＋116＋112）÷5 ＝540÷5 ＝108（下） 答：这5名同学一分钟跳绳的平均成绩是108下。 （2）108－108＝0（下） 108－105＝3（下） 108－99＝9（下） 116－108＝8（下） 112－108＝4（下） 如下表： 姓名 刘恒 王宇 张朋 李丽 王琦 与平均成绩相比/下 0 ﹣3 ﹣9 ﹢8 ﹢4 20．有10袋小麦，以每袋150千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：﹣6、﹣3、﹣1、﹣2、﹢7、﹢3、﹢4、﹣3、﹣2、﹣1。 （1）10袋小麦中最重的一袋比最轻的一袋重______千克。 （2）与标准质量相比较，这10袋小麦总计超过或不足多少千克？ （3）10袋小麦总质量是多少千克？若每千克小麦2元，则出售10袋小麦可卖多少元？ 【答案】（1）13；（2）不足4千克；（3）1496千克；2992元 【分析】（1）此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：把150千克记为0，超过150千克的千克数记为正，则不足150千克的千克数就记为负，据此求出每袋的重量，再比较，然后求出最重的一袋和最轻的一袋的质量差即可； （2）已知标准是每袋150千克，用10×150即可求出10袋标准的总质量，再求出10袋的实际总质量，最后求出标准和实际的差即可； （3）根据单价×数量＝总价，用实际总质量×小麦的单价即可求出小麦的总价。 【详解】（1）150－6＝144（千克） 150－3＝147（千克） 150－1＝149（千克） 150－2＝148（千克） 150＋7＝157（千克） 150＋3＝153（千克） 150＋4＝154（千克） 150－3＝147（千克） 150－2＝148（千克） 150－1＝149（千克） 144＜147＜148＜149＜153＜154＜157 157－144＝13（千克） 10袋小麦中最重的一袋比最轻的一袋重13千克。 （2）标准：10×150＝1500（千克） 实际：144＋147＋149＋148＋157＋153＋154＋147＋148＋149＝1496（千克） 1500＞1496 1506－1496＝4（千克） 答：这10袋小麦总计不足4千克。 （3）1496×2＝2992（元） 答：10袋小麦总质量是1496千克；若每千克小麦2元，则出售10袋小麦可卖2992元。 【点睛】此题主要考查正负数的意义和应用，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 21．某商场原来有60台微波炉，其中四天进出货记录的数据如下（进货为正，出货为负）。 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 台数 ﹢38 ﹣30 ﹢46 ﹣40 （1）第（    ）天出货量最多，这四天共进货（    ）台。 （2）请你算出最后该商场共有多少台微波炉？ 【答案】（1）四；84 （2）74台 【分析】（1）正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，进货用“﹢”表示，出货用“﹣”表示，去掉负号后的数越大，出货量越大，最后求出所有正数的和就是这四天进货的数量； （2）商场最后共有微波炉的数量＝商场原来微波炉的数量＋第一天进货的数量－第二天出货的数量＋第三天进货的数量－第四天出货的数量，据此解答。 【详解】（1）第二天出货30台，第四天出货40台，因为40＞30，所以第四天出货量最多。 38＋46＝84（台） 所以，这四天共进货84台。 （2）60＋38－30＋46－40 ＝98－30＋46－40 ＝68＋46－40 ＝114－40 ＝74（台） 答：最后该商场共有74台微波炉。 【点睛】本题主要考查正负数的意义及应用，理解表格中正数与负数表示的含义是解答题目的关键。 22．学校体操队选拔了6位队员，将156厘米记作0厘米，高于156厘米记作正，低于156厘米记为负，请你计算下面六位队员的平均身高。（结果保留一位小数） 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 身高 ﹢1 ﹣2 0 ﹢1 ﹣3 ﹣1 【答案】155.3厘米 【分析】由题意可知，将156厘米记作0厘米，高于156厘米记作正，低于156厘米记为负，则这六位队员的身高分别是156＋1厘米、156－2厘米、156厘米、156＋1厘米、156－3厘米、156－1厘米，然后根据平均身高＝六位队员的身高总和÷人数，据此计算即可。 【详解】[（156＋1）＋（156－2）＋156＋（156＋1）＋（156－3）＋（156－1）]÷6 ＝[157＋154＋156＋157＋153＋155]÷6 ＝932÷6 ≈155.3（厘米） 答：六位队员的平均身高是155.3厘米。 【点睛】掌握正负数的意义，知道以哪个数为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负。 23．期末测试，老师以80分为标准，高出80分的部分记为正数，低于80分的部分记为负数，将6名学生的成绩记录如表：这六名学生的平均成绩是多少分？ 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 ﹢4 ﹢10 ﹣5 0 ﹢7 ﹣4 【答案】82分 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。以80分为标准，超出标准部分记作正，低于标准部分就记作负。 先用标准分加上正数的数字或减去负数的数字，求出每名学生的实际成绩，再相加，即是这6名学生的总成绩。 根据平均数的意义，用总成绩除以6，即可求出他们的平均成绩。 【详解】学生1：80＋4＝84（分） 学生2：80＋10＝90（分） 学生3：80－5＝75（分） 学生4：80＋0＝80（分） 学生5：80＋7＝87（分） 学生6：80－4＝76（分） （84＋90＋75＋80＋87＋76）÷6 ＝492÷6 ＝82（分） 答：这六名学生的平均成绩是82分。 【点睛】本题考查正负数的意义、平均数的意义及应用，知道以哪个数为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此求出每名学生的实际成绩是解题的关键。 24．五（1）和五（2）班进行围棋对抗赛，每班选出8人参赛。记分规则：胜一场，记1分；输一场，记﹣1分。哪个班得分多哪个班获胜。已经进行的比赛成绩记录如下： 第一场 第二场 第三场 第四场 五（1）班 1 ﹣1 1 1 五（2）班 ﹣1 1 ﹣1 ﹣1 (1)现在五（1）班胜了( )场，输了( )场。 (2)现在五（2）班胜了( )场，输了( )场。 (3)如果五（1）班要赢五（2）班，最少还需要胜( )场。 【答案】(1) 3 1 (2) 1 3 (3)2 【分析】用正负数表示意义相反的两种量，胜一场，记1分；输一场，记﹣1分。根据统计表，直接可以得出结论；一共是8场，要想获胜，8÷2＝4，所以至少需获胜5场。 【详解】（1）通过观察统计表，现在五（1）班胜了3场，输了1场。 （2）通过观察统计表，现在五（2）班胜了1场，输了3场。 （3）因为已经获胜3场，至少需获胜5场，所以5－3＝2（场），至少还需要胜2场。 【点睛】本题主要考查的是正负数的意义及应用。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 负数 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 正负数的本质深化 课本核心：负数是表示与正数相反意义的量（如收入与支出、上升与下降），0既不是正数也不是负数。 奥数拓展：① 负数可以表示“不足”“亏损”“低于标准”，正数表示“超出”“盈利”“高于标准”，解题时先明确“标准量”（基准点），再用正负数表示相关量。② 正负数的读写易错点：负数前面的“-”不能省略，如“-5”读作“负五”，不能读作“减五”；写的时候要注意与减法符号区分（如“5-3”是减法，“-3”是负数）。 2. 数轴的奥数应用（重点） 课本核心：数轴是规定了原点（0）、正方向（通常向右）和单位长度的直线，所有正数在0的右边，负数在0的左边。 奥数拓展： 数轴上的点与正负数的对应关系：越往右的数越大，越往左的数越小；任意两个负数比较，绝对值大的反而小（奥数常考比较大小的变式题）。 数轴上的距离问题：两点之间的距离 = 较大数 - 较小数（无论正负），如点A（-3）和点B（2）之间的距离是2 - (-3) = 5；若两点在原点两侧，距离也可表示为两点绝对值之和（| -3 | + | 2 | = 5）。 数轴上的规律探究：如按“+1、-2、+3、-4、+5、-6……”的顺序在数轴上排列，探究第n个数的位置和符号（奥数常考规律题）。 二、奥数易错点提醒 混淆“负数”与“减法”：如“-5”是负数，不是“减5”，解题时注意符号的含义（表示相反意义的量）。 比较两个负数大小时，误将“绝对值大的数就大”，记住：负数的绝对值越大，本身越小。 数轴上的方向问题：正方向通常向右，但部分奥数题会调整正方向（如向左为正），需先看清题目规定，再判断数的位置。 实际应用中，基准量的确定错误：如“以平均成绩为基准，高于平均记为正”，需先计算平均成绩，再表示各成绩的正负，避免直接以0为基准。 三、奥数解题口诀 负数意义要记牢，相反关系是核心；基准确定找0点，正负区分看方向。 数轴之上定位置，右大左小要牢记；负数比较看绝对，绝对大的反而小。 巧算凑整又抵消，符号化简要细心；规律探究看奇偶，符号数值分清楚。 考点讲解 考点1：正负数的实际应用（最常考） 核心思路：先确定“基准量”（把某一个标准状态记为0），再用正数表示超出基准的量，负数表示不足基准的量，最后通过正负数的运算解决问题（如盈亏、升降、收支、温差等）。 典型例题：某商店一周内的盈亏情况如下（盈利记为正，亏损记为负）：+200元、-150元、+300元、-100元、-50元、+250元、+180元。求这一周商店的总盈亏情况。 解题步骤：将所有盈亏数相加，结果为正表示盈利，为负表示亏损。计算：200 - 150 + 300 - 100 - 50 + 250 + 180 = 630（元），答：这一周商店盈利630元。 奥数变式：在海拔高度中，以海平面为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。某山峰海拔+1520米，某海沟海拔-800米，求山峰与海沟的高度差。（答案：1520 - (-800) = 2320米） 考点2：正负数的大小比较（变式题） 核心思路：① 正数>0>负数；② 两个负数比较，绝对值大的反而小；③ 多个正负数比较，可先分类（正数、0、负数），再分别比较，最后排序。 奥数变式题：把-3、2、-5、0、4、-1.5按从大到小的顺序排列。（答案：4 > 2 > 0 > -1.5 > -3 > -5） 进阶题型：已知a、b是两个负数，且|a| > |b|，比较a和b的大小（答案：a < b）；已知a是负数，b是正数，比较|a|和b的大小（需结合具体数值，如a=-3，b=2，则|a|>b；a=-2，b=3，则|a|<b）。 考点3：正负数的巧算（奥数提升） 核心思路：利用正负数的运算性质（加法交换律、结合律），将正数与正数相加、负数与负数相加，再进行整体计算，简化运算过程。 常用技巧：① 凑整法：将能凑成整十、整百的数结合（如25 + (-15) + 30 + (-20) = (25 + 30) + [(-15) + (-20)] = 55 - 35 = 20）；② 抵消法：互为相反数的两个数相加得0（如-8 + 8 + (-5) = 0 - 5 = -5）；③ 符号化简：多个负号叠加，“负负得正”（如-(-3) = 3，-(-(-2)) = -2）。 典型例题：计算：12 - 13 + 14 - 15 + 16 - 17 + 18 - 19 + 20 解题步骤：分组结合，(12 - 13) + (14 - 15) + (16 - 17) + (18 - 19) + 20 = (-1)×4 + 20 = 16。 考点4：正负数与规律探究（奥数难点） 核心思路：根据题目给出的正负数排列规律，找出符号变化规律、数值变化规律，进而求解第n个数、某一位置的数，或判断某数是否在序列中。 典型例题：有一列数：+1、-2、+3、-4、+5、-6、……，请问：（1）第10个数是多少？（2）第2023个数是多少？（3）这列数中，第n个数是多少？ 解题步骤：观察规律：奇数位置为正数，偶数位置为负数，数值等于位置序号。因此：（1）第10个数是偶数位置，为-10；（2）第2023个数是奇数位置，为+2023；（3）第n个数：当n为奇数时，是+n；当n为偶数时，是-n。 真题训练 1．一艘潜水艇所处的位置是海拔米，一条小鱼在这艘潜水艇上方40米处，记作海拔（    ）米。 A． B． C． D． 2．在跳远比赛中，合格标准是3.00m，小明跳了3.12m，记作﹢0.12m；小亮跳了（    ）m，记作﹣0.05m。 A．0.05 B．﹣0.05 C．3.05 D．2.95 3．下面说法正确的是（    ）。 A．在﹣1和﹣4之间只有﹣2个负数 B．自然数中除0外都是正数 C．比5小的数只有0、1、2、3、4 D．早晨气温是﹣2℃，升高1℃后，是﹣3℃ 4．平果市某家奶茶店，四月份的纯利润比三月份增长了﹣5%，“﹣5%”表示（    ）。 A．增长了5% B．下降了5% C．不增不降 D．无法确定 5．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数。若气温为零上记作，则﹣5℃表示气温为（    ）。 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 6．一种大米的包装袋上标有“20千克±50克”的标记，这种大米每袋最轻是（    ）千克。 A．20.5 B．20.05 C．19.95 D．19.5 7．一种食盐的包装袋上标着“净重500克±5克”，表示这种食盐每袋的质量不低于（    ）克。 A．510 B．505 C．500 D．495 8．人体正常体温平均为36℃～37℃，如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可记作﹢0.5℃，那么35.8℃可以记作（    ）。 A．﹣0.7℃ B．﹣0.2℃ C．﹢0.7℃ D．﹢35.8℃ 9．2025年4月11日，伊旗的天气预报显示当地的气温是−7~13摄氏度，这一天的最低气温是( )摄氏度，温差是( )摄氏度。 10．如果向东走200米记作﹢200米，那么向西走50米记作( )米。 11．邹城市1月16日的气温是﹣5℃～8℃，这一天的温差是( )℃。 12．体育老师对六（1）班进行了“仰卧起坐”的体能测试，以一分钟做20个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。体育老师记录了其中一组同学的成绩如表： 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/个 ﹣1 0 ﹣3 6 3 ﹣1 3号同学一分钟做了( )个仰卧起坐，该组同学的达标率是( )%。 13．电子账单上显示“﹢1350元”表示收入1350元，则“﹣1000元”表示( )。 14．某区“美好教师”网上投票活动中，某教师第一天获得100票，第二天为80票，比第一天减少( )%，即比第一天负增长了( )%，可记作( )%。第三天比第一天获得的投票数多10票，比第一天增长( )%。第四天与第一天相比是零增长，第四天获得( )票。 15．在这些数中，( )是正数，( )是负数。 16．6月份红星小学每名学生在图书室平均借了6本书。卓玛借了8本，记作﹢2本；东东借了4本，记作﹣2本；如果小玲借了5本，应记作( )本。 17．在跳远中，乐乐把2米作为标准，并用正、负数记录了二组4名同学的成绩。（单位：米） ﹢1      ﹣0.5       0       ﹢0.9 （1）写出这个组每名同学实际跳远成绩分别是多少米？ （2）跳的最近的与最远的相差多少米？ 18．冬奥会的冰面制作，过程复杂、标准严苛。制作一个1800平方米的标准冰场，任意3平方米内的最大高度差不超过2毫米。如果冰球赛场的冰层标准厚度是4厘米，某3平方米内的最大厚度为4.1厘米，记作﹢1毫米，那么该区域最小厚度为3.9厘米，记作多少毫米？符合要求吗？ 19．六（1）班5名同学一分钟跳绳成绩如下： 姓名 刘恒 王宇 张朋 李丽 王琦 成绩/下 108 105 99 116 112 （1）这5名同学一分钟跳绳的平均成绩是多少下？ （2）用正数、负数和0表示每个人的成绩与平均成绩相比的结果。 姓名 刘恒 王宇 张朋 李丽 王琦 与平均成绩相比/下 20．有10袋小麦，以每袋150千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：﹣6、﹣3、﹣1、﹣2、﹢7、﹢3、﹢4、﹣3、﹣2、﹣1。 （1）10袋小麦中最重的一袋比最轻的一袋重______千克。 （2）与标准质量相比较，这10袋小麦总计超过或不足多少千克？ （3）10袋小麦总质量是多少千克？若每千克小麦2元，则出售10袋小麦可卖多少元？ 21．某商场原来有60台微波炉，其中四天进出货记录的数据如下（进货为正，出货为负）。 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 台数 ﹢38 ﹣30 ﹢46 ﹣40 （1）第（    ）天出货量最多，这四天共进货（    ）台。 （2）请你算出最后该商场共有多少台微波炉？ 22．学校体操队选拔了6位队员，将156厘米记作0厘米，高于156厘米记作正，低于156厘米记为负，请你计算下面六位队员的平均身高。（结果保留一位小数） 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 身高 ﹢1 ﹣2 0 ﹢1 ﹣3 ﹣1 23．期末测试，老师以80分为标准，高出80分的部分记为正数，低于80分的部分记为负数，将6名学生的成绩记录如表：这六名学生的平均成绩是多少分？ 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 ﹢4 ﹢10 ﹣5 0 ﹢7 ﹣4 24．五（1）和五（2）班进行围棋对抗赛，每班选出8人参赛。记分规则：胜一场，记1分；输一场，记﹣1分。哪个班得分多哪个班获胜。已经进行的比赛成绩记录如下： 第一场 第二场 第三场 第四场 五（1）班 1 ﹣1 1 1 五（2）班 ﹣1 1 ﹣1 ﹣1 (1)现在五（1）班胜了( )场，输了( )场。 (2)现在五（2）班胜了( )场，输了( )场。 (3)如果五（1）班要赢五（2）班，最少还需要胜( )场。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $