第十九章　二次根式 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第十九章　二次根式 第3课时　最简二次根式 19.2　二次根式的乘法与除法 初中数学  　最简二次根式 1.(2025湖北孝感期中)下列二次根式中,是最简二次根式的是  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     初中数学 解析     = , = = , =2 ,故A、B、D选项中 的二次根式都不是最简二次根式. 是最简二次根式.故选C. 初中数学 2.(2025山东临沂模拟)若最简二次根式 与最简二次根 式 相等,则a+b=_________.     8     解析　∵最简二次根式 与最简二次根式 相等, ∴a-1=2,2a+1=4a-b,解得a=3,b=5, ∴a+b=3+5=8.故答案为8. 初中数学 3.(2025广东梅州月考)把下列各式化成最简二次根式: (1) .(2) .(3) .(4) (x>0). 解析    (1) = = × =2 . (2) = = = . (3) = = = = . (4) = × × = × ×x× =4x . 初中数学  　二次根式的乘除混合运算 4.(2025河北廊坊期中)计算6 ×  ÷2 =( ) A.-4　    B.-2 　    C.40　    D.7     D     解析    6 ×  ÷2 =6× ×  =7.故选D. 初中数学 5.计算8 ÷2 × (a>0,b>0)的结果是__________.     4      解析　当a>0,b>0时,8 ÷2 × =4 =4 . 初中数学 6.(2025江苏盐城期中)计算: (1)3 × ÷  . (2)4 ÷3 ×2a . 初中数学 解析    (1)3 × ÷  = × =-   =-  . (2)4 ÷3 ×2a =4a ÷ a×  =4 × = . 初中数学   7.【学科特色·教材变式】(2025福建泉州月考,★★☆)现有一 个体积为120  cm3的长方体,它的高为2  cm,长为3  cm,则这个长方体的宽为 ( ) A.3  cm　    B.3  cm　    C.2  cm　    D.2  cm     C     解析　由题意得,这个长方体的宽为120 ÷(2 ×3 )= 2 (cm),故选C. 初中数学 8.(2025江西吉安期中,★★☆)已知xy=5,求式子9x2 ×2 ÷ 6 的值. 解析    9x2 ×2 ÷6  =9x2×2×   =3x2×  =3xy , ∵xy=5,∴原式=3×5× =15 . 初中数学   9.【新课标·创新意识】观察下列各式及其验证过程. 等式:①2 = ;②3 = . 验证: ①2 = × = = = =  = . ②3 = × = = = = 初中数学 (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路,猜想:4 = _______;5 =_______. (2)通过上述探究猜测:n =_______(n>1且n为整数),并 验证你的结论.  = . 初中数学 解析    (1) ; . 详解:4 = × = =  = =  = . 5 = × = =  = =  初中数学 = . (2) .验证如下: n = × =  = = = = . 初中数学 $第十九章　二次根式 第2课时　二次根式的除法 19.2　二次根式的乘法与除法 初中数学  　二次根式的除法法则 1.(2025新疆喀什期中)计算 ÷ 的结果是( ) A.4　    B.3　    C.2　    D.      C     解析     ÷ = =2.故选C. 初中数学 2.(2025山东济宁期中)墨迹覆盖了等式 ÷■= 中的除 数,则被墨水覆盖住的数是 ( ) A.-3 　    B.3 　    C.-6 　    D.6      B     解析　∵ ÷ = = =3 , ∴“■”处的数为3 ,故选B. 初中数学 3.(2025河北廊坊期中)计算6 ÷  ÷2 的结果是      ( ) A.18 　    B.9 　    C.18　    D.9 B     解析　原式=6×3×  =9 .故选B. 初中数学 4.【学科特色·教材变式】设长方形的面积为S,相邻的两边长 分别为a,b,若S=4 ,a= ,则b=__________.     4      解析　因为S=ab,所以b=S÷a=4 ÷ =4 . 初中数学 5.计算: (1) .(2) ÷ .(3) ÷ . (4) ÷ (a>0,b>0). 初中数学 解析    (1) = × = × = ×4=2. (2) ÷ = = = . (3) ÷ =- =- =- =- =-3 . (4) ÷ = = = =3a. 初中数学  　二次根式除法法则的逆用 6.下列计算错误的是 ( ) A. = 　     B. =  C. = 　    D. =      C     解析　当被开方数是带分数时,要先化成假分数,再化简.  = = ,故选项C中的计算错误. 初中数学 7.(2025云南保山模拟)等式 = 成立的条件是      ( ) A.x<3　    B.x≤3　    C.0≤x<3　    D.x≥0     C     解析　由题意,可得x≥0且3-x>0, 解得0≤x<3.故选C. 初中数学 8.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛二中月考)化简: (1) =_______.(2) =_______. (3) =_______.(4) =_______. 初中数学 解析    (1) = = . (2) = = . (3) = = = . (4) = = = . 初中数学   9.(2025浙江杭州月考,★★☆)在解决问题“已知 =a,  =b,用含a,b的代数式表示 ”时,甲的结果是 ,乙的结果 是 ,丙的结果是 ,则下列说法正确的是 ( ) A.只有甲对　     B.只有乙、丙对 C.只有甲、乙对　    D.甲、乙、丙都对     D     初中数学 解析　∵ =a, =b, ∴ = = = = = ,故甲的结果正 确;  = =7 =7 =7× = ,故乙的结果正确;  = = = = × = × = ,故丙的结 果正确.故选D. 初中数学 10.(2025四川眉山月考改编,★★☆)已知xy<0,化简x 的正 确结果为_______. 　-      解析　∵xy<0,∴x>0,y<0或x<0,y>0, 又∵x 有意义,∴x<0,y>0, ∴x =x· =x· =x· =- . 初中数学 11.(2025广西贵港月考,★★☆)先将 ÷ 化简,然 后选择一个你喜欢的x的值代入求值. 解析　原式= · = · = ·  = . ∵x-2>0,且x>0,∴x>2,当x=4时,原式= = =2.(答案不唯一, 但x的取值要大于2) 初中数学 $第十九章自主检测 时间：40分钟 满分：100分 初中数学 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2025江苏连云港中考)若 在实数范围内有意义,则x的 取值范围是 ( ) A.x≤1　    B.x≥1　    C.x≤-1　    D.x≥-1     D     解析　根据题意得,x+1≥0,解得x≥-1.故选D. 初中数学 2.(2025安徽合肥期末)下列式子中,为最简二次根式的是  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  D     解析　∵ = , = = = , =3,∴选项A、B、 C中的式子都不是最简二次根式. 是最简二次根式.故选D. 初中数学 3.(2025河南三门峡期中)下列二次根式中,化成最简二次根式 后,与 可以合并的是 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     解析     =4 , = = = ,  = =2 , =6, ∴只有 与 化简后可以合并.故选A. 初中数学 4.(2025山西吕梁三模)下列运算正确的是 ( ) A. + = 　     B. - =-  C.( +2)( -2)=5　     D.( + )÷ =      B     解析     与 不能合并,故A不符合题意; - = -2 = - ,故B符合题意;( +2)( -2)=7-4=3,故C不符合题意;( +  )÷ = +1,故D不符合题意.故选B. 初中数学 5.如图,点A,B,C,D在数轴上,则可以近似表示 × - ÷2  的运算结果的点是 ( )   A.点A　    B.点B　    C.点C　    D.点D     C     解析     × - ÷2 = -  =6- ,∵12<3<22, ∴1< <2,∴4<6- <5,∴可以近似表示 × - ÷2 的 运算结果的点是C,故选C. 初中数学 6.(2025江苏南通月考)若2,5,n为三角形的三边长,则化简  + 的结果为 ( ) A.5　    B.2n-11　    C.11-2n　    D.-5     A     解析　由三角形的三边关系可知3<n<7, ∴3-n<0,8-n>0, ∴ + =|3-n|+|8-n| =-(3-n)+(8-n)=-3+n+8-n=5.故选A. 初中数学 7.【学科特色·易错题】下列各式成立的是 ( ) A. = ·  B. = ·  C. = ·  D. = ×      D     解析    A项,当a<-4时, 与 无意义,故A不成立;B项, 当a<0,b<0时, 与 无意义,故B不成立;C项,当m+n<0时,  无意义,故C不成立;易知D项成立.故选D. 初中数学 8.(2025四川内江期末)按如图所示的程序计算,若开始输入的 n值为 ,则输出的结果是 ( )   A.22　    B.15+7 　    C.36　    D.22+      B     初中数学 解析　∵n= 时,n(n+1)= ×( +1)=3+ , 且3+ <15,∴将n=3+ 再次输入, 此时n(n+1)=(3+ )(3+ +1) =(3+ )(4+ ) =12+7 +3 =15+7 >15, ∴输出的结果是15+7 .故选B. 初中数学 二、填空题(每小题5分,共20分) 9.(2025四川凉山州中考)若式子 在实数范围内有意义, 则m的取值范围是___________.     m≥1     解析　根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得  解得m≥1, ∴m的取值范围是m≥1,故答案为m≥1. 初中数学 10.(2025山东淄博期中)已知m= +2,n= -2,则  =_________.     3     解析　∵m= +2,n= -2, ∴m+n=2 ,mn=3-4=-1, ∴原式= =  = =3. 故答案为3. 初中数学 11.(2025广东汕头期末)如图,某小区内有一块长方形广场,广 场长为2 米,宽为2 米,广场中间有两块大小相同的长 方形绿地(阴影部分),每块长方形绿地的长为(2 +2)米,宽为 (2 -2)米.除绿地部分,广场其他部分都要铺上地砖,则这个 广场铺地砖的面积为_________________平方米.       (168 -96)     初中数学 解析　由题意可得,这个广场铺地砖的面积为2 ×2 -2× [(2 +2)(2 -2)] =12 ×14 -2×[ -22] =168 -2×48 =(168 -96)平方米. 初中数学 12.【新考向·数学文化】我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇 算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.如图所示的是一 个简单的二阶幻圆模型,若内、外两个圆周上四个数之和以 及外圆两直径上的四个数之和都相等,则a-b=________.   　-6      初中数学 解析　设题图中外圆空白处的数为x,内圆空白处的数为y,根 据题意得a+x+3 +(- )= +b+y+(- ),a+ +y+3 =x +b+(- )+(- ), 整理得  ①+②,得2(a-b)=-12 ,则a-b=-6 . 初中数学 三、解答题(共40分) 13.(2025浙江温州质检)(8分)计算: (1)  × ÷ . (2)  ÷ · . 初中数学 解析    (1)原式=- ×2 × ×4 ÷  =- ×2× ×4× =-4  =-4× =-3 . (2)原式=  · ·  = ·  =  =  · = x2y . 初中数学 14.(10分) (1)已知a= ,求 - 的值. (2)已知x= ( + ),y= ( - ),求x2+6xy+y2的值. 初中数学 解析    (1)∵a= =2- <1,∴a-1<0, ∴原式= - =a-3+ =2- -3+2+ =1. (2)∵x= ( + ),y= ( - ), ∴x+y= ,xy= ,∴x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy=( )2 +4× =7. 初中数学 15.【跨物理·自由落体】(2025山东济宁期中)(10分)高空抛物 是一种不文明的危险行为,据研究,从高处坠落的物品,其下落 的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t= (不考虑阻力的影 响). (1)求物体从60 m的高空落到地面的时间. (2)小明说物体从120 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时 间的2倍,他的说法正确吗?请说明理由. (3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)=10×物体质量 初中数学 (kg)×高度(m),某质量为0.06 kg的鸡蛋经过5 s落在地上,这个 鸡蛋在下落过程中所带能量有多大?你能得到什么启示?(注: 杀伤无防护人体只需要65 J的能量) 初中数学 解析    (1)把h=60 m代入公式t= 可得t= = =2 (s). (2)不正确. 理由:当h=120 m时,t= = =2 (s). ∵2 ≠2×2 ,∴小明的说法不正确. (3)当t=5 s时,5= ,∴h=125 m. ∴鸡蛋在下落过程中所带能量为10×0.06×125=75(J). 启示:严禁高空抛物,一个鸡蛋都能砸伤人.(答案不唯一,言之 有理即可) 初中数学 16.【新考向·代数推理】(12分)阅读下面材料: 将边长分别为a,a+ ,a+2 ,a+3 的正方形面积分别记为 S1,S2,S3,S4, 则S2-S1=(a+ )2-a2 =[(a+ )+a]·[(a+ )-a] =(2a+ )·  =2a +b. 例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2 . 根据以上材料,解答下列问题: 初中数学 (1)当a=1,b=3时,S3-S2=_______,S4-S3=_______. (2)当a=1,b=3时,把边长为a+n 的正方形面积记作Sn+1,其中n 是正整数,根据(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗? 并证明你的猜想. (3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,……,tn=Sn+1-Sn,且T=t1 +t2+t3+…+t50,求T的值. 初中数学 解析    (1)S3-S2=(a+2 )2-(a+ )2=(a+2 +a+ )·[a+2 -(a+  )]=(2a+3 )· =2a +3b,当a=1,b=3时,S3-S2=9+2 . S4-S3=(a+3 )2-(a+2 )2=(a+3 +a+2 )·[a+3 -(a+2 )]= (2a+5 )· =2a +5b, 当a=1,b=3时,S4-S3=15+2 . 故答案为9+2 ;15+2 . (2)Sn+1-Sn=6n-3+2 . 证明:Sn+1-Sn=(1+ n)2-[1+ (n-1)]2 =[2+ (2n-1)]× =3(2n-1)+2 =6n-3+2 . 初中数学 (3)当a=1,b=3时,T=t1+t2+t3+…+t50=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50= S51-S1=(1+50 )2-1=7 500+100 . 初中数学 $第十九章　二次根式 第1课时　二次根式的概念 19.1　二次根式及其性质 初中数学 1  　二次根式的定义 1.(2025湖北黄冈期中)下列式子中,是二次根式的是 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     解析　∵-1<0,∴ 不是二次根式; 符合二次根式的定义;  的根指数为3,是三次根式,不是二次根式;当a<0时, 不是 二次根式.故选B. 初中数学 2.(2025福建泉州期中)若 是二次根式,则x的值为_______.     4     解析　∵ 是二次根式, ∴|x-2|=2且x-1≥0,∴x=4. 初中数学 3.(2025广东肇庆模拟)一个正方体包装箱的表面积为5 400 cm2,则这个正方体包装箱的棱长为_____________.     30 cm     解析　设这个正方体包装箱的棱长为x cm(x>0), 根据题意得6x2=5 400, ∴x= = =30, ∴这个正方体包装箱的棱长为30 cm. 初中数学  　二次根式有(无)意义的条件 4.(2025福建中考)若 在实数范围内有意义,则实数x的值 可以是 ( ) A.-2　    B.-1　    C.0　    D.2     D     解析　由题意得x-1≥0,解得x≥1,∴实数x的值可以是2. 故选D. 初中数学 5.(2025安徽宣城期中)当x=5时,下列二次根式没有意义的是  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      D     解析　在 中,当x=5时,x-6=5-6=-1<0,故此时 无意 义,符合题意.故选D. 初中数学 6.(2025北京海淀期中)若 是有理数,则满足条件的最大 正整数a的值是__________.     10     解析　由题意可知10-a≥0,解得a≤10, ∵ 是有理数,∴正整数a=10或9或6或1, ∴满足条件的最大正整数a的值是10.故答案为10. 初中数学 7.【学科特色·教材变式】当x是怎样的实数时,下列各式在实 数范围内有意义? (1) .　    (2) . (3) .　    (4) +x-2. 初中数学 解析    (1)由2-3x≥0得x≤ ,所以当x≤ 时, 在实数范 围内有意义. (2)因为2x2≥0,所以2x2+3≥3>0,所以当x取全体实数时,  在实数范围内有意义. (3)由题意可知 解得x≥-5且x≠2,所以当x≥-5且x≠2 时, 在实数范围内有意义. (4)由x+3≥0且x≠0得,x≥-3且x≠0,所以当x≥-3且x≠0时,  +x-2在实数范围内有意义. 初中数学   8.(2025河北廊坊月考,★★☆)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )  　     　     　          D     解析　根据题意知,x+2≥0且x+3≠0,∴x≥-2. ∴x的取值范围在数轴上表示为 .故选D. 初中数学 9.(2025浙江杭州模拟,★★☆)如果代数式 + 有意义, 那么在平面直角坐标系中,点P(m,n)在( ) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限     C     解析　∵代数式 + 有意义, ∴-m≥0且mn>0,∴m<0,n<0, ∴点P(m,n)在第三象限.故选C. 初中数学 10.(2025贵州遵义月考,★★☆)【问题情境】若实数x,y满足y = + -6,求x+y的值.下面是小明的部分解题过程: 解:若要使该式子有意义,则需要同时满足x-2≥0,2-x≥0,… … 初中数学 (1)请你将解题过程补充完整. 【解决问题】 (2)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=5+  + ,求该三角形的周长. 初中数学 解析    (1)补全过程如下:则x≥2且x≤2,∴x=2, ∴y= + -6=-6,∴x+y=2+(-6)=-4. (2)若要使该式子有意义,则需要同时满足a-3≥0,6-2a≥0,则a ≥3且a≤3,∴a=3, ∴b=5+ + =5, ∵a,b分别为等腰三角形的两条边长, ∴当腰长为3时,3+3>5,∴该三角形的周长为3+3+5=11; 当腰长为5时,3+5>5,∴该三角形的周长为3+5+5=13. 综上所述,该三角形的周长为11或13. 初中数学 $第十九章　二次根式 第2课时　二次根式的性质 19.1　二次根式及其性质 初中数学 1  　二次根式  (a≥0)的性质 1.(2025山西大同模拟)已知 +|y-2x|=0,则xy的值是  ( ) A.4　    B.6　    C.8　    D.10          C 解析　∵ +|y-2x|=0,∴x-2=0,y-2x=0, 解得x=2,y=4,∴xy=2×4=8.故选C. 初中数学 2.实数x,y满足 +4x2+4xy+y2=0,则yx的值为     ( ) A.16　    B. 　    C.-16　    D.-      B     解析　因为 +4x2+4xy+y2=0,所以 +(2x+y)2=0,所以  解得 所以yx=4-2= ,故选B. 初中数学 3.(2025江苏淮安月考)当x=_______时, -5取最小值,其最 小值为_______. 　-      　-5     解析　由题意得2x+3≥0,所以x≥- ,即当x=- 时, -5取 最小值,其最小值为-5. 初中数学 4.(2024四川成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+ =0,则(m+ n)2的值为_________.     1     解析　∵(m+4)2+ =0,(m+4)2≥0, ≥0,∴m+4=0,n-5= 0,∴m=-4,n=5,∴(m+n)2=(-4+5)2=1. 初中数学      ( )2=a(a≥0) 5.(2025湖北宜昌模拟)下列计算结果正确的是 ( ) A.( )2=5　    B.( )2=0.2 C.(3 )2=6　    D. =2     B     解析     =25, =0.2, =9×2=18, = .故选B. 初中数学 6.( )2的算术平方根是 ( ) A.36　    B.6　    C.362　    D.±6     B     解析　根据 =a(a≥0)得 =36,∴( )2的算术平方根 是 =6.故选B. 初中数学 7.【学科特色·教材变式】计算: (1)( )2.(2)[ ]2.(3)-( )2. (4)(2 )2.(5) .(6) . 初中数学 解析    (1)( )2=1.4. (2)[ ]2=( )2=11. (3)-( )2=-0.01. (4)(2 )2=22×( )2=4×3=12. (5) = = = . (6) =22× =4× =6. 初中数学  　二次根式  的性质 8.(2025湖北咸宁期中)下列式子中,正确的是( ) A. =0.3　    B. =±  C. =-4　    D.± =±7     D     解析　∵ ≠0.3, = , =4≠-4,± =±7,∴选项D 正确,故选D. 初中数学 9.【学科特色·易错题】已知|a|=5, =7,且 =b-a,则a+ b的值为 ( ) A.-12　     B.12　    C.-2或-12　    D.12或2     D     解析　因为|a|=5, =7,所以a=±5,b=±7,因为 =b-a,所 以b-a≥0,即b≥a,所以a=5,b=7或a=-5,b=7.所以a+b=12或a+b= 2.故选D. 初中数学 10.(2025浙江杭州月考)如图,数轴上点A表示的数为a,化简  + 的值是_________.       5     解析　由题中数轴可知0<a<5,∴a-5<0, ∴原式=a-(a-5)=a-a+5=5. 故答案为5. 初中数学 11.计算: + +6 +( -1)0. 解析     + +6 +( -1)0 =3+4+6× +1=3+4+9+1=17. 初中数学 12.(2025江西南昌期中)若x<3,化简 +|4-x|.小杰的解 答过程如下: 解:原式= +(4-x) 第一步 =x-3+4-x 第二步 =1. 第三步 (1)小杰的解答从第_______步出现了错误. (2)请你写出正确的解答过程. 解析    (1)二. (2)原式= +(4-x)=3-x+4-x=7-2x. 初中数学 13.(2025山西大同期中)如图,摆钟的钟摆自由摆动,摆动一个 来回所用的时间t(单位:s)与钟摆的长度l(单位:m)之间满足t=2 π ,假如钟摆的长度为0.2 m.求摆动一个来回所用的时间.(π ≈3,g=9.8 m/s2)   初中数学 解析    t=2π ≈2×3× =6× = (s). 答:摆动一个来回所用的时间约为  s. 初中数学   14.(2025山东淄博期中,★★☆)已知-1<a<0,1<b<2,则化简  - 的结果正确的是 ( ) A.-a-b+1　    B.-a+b+1 C.a-b-1　     D.a+b-1     D     解析     - = - =|a+1|-|b-2|, ∵-1<a<0,1<b<2,∴a+1>0,b-2<0, ∴原式=a+1-(2-b)=a+1-2+b=a+b-1.故选D. 初中数学 15.【学科特色·易错题】(2025湖南湘潭月考,★★★)已知  =-1,则化简 + 的结果为  ( ) A.-2a　     B.2a C.2a+ 　    D.-      A 初中数学 解析　∵ =-1,∴a+1<0,∴a<-1, ∴a- <0,a+ <0,∴ + = +  =-a+ -a- =-2a.故选A. 初中数学 16.【学科特色·数形结合思想】(2025北京朝阳期中,★★☆) 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,化简 - +  =________.   　-2a     初中数学 解析　由题图可知,a<0,b>0, ∴a-b<0, =-a, =b,∴ =b-a, ∴ - + =-a-b+(b-a) =-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a. 初中数学 17.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京秦淮月考,★★☆) 已知n是正整数, 是整数,则n的最小值为_________.     7     解析　∵ = ,且 是整数, ∴正整数n的最小值为7.故答案为7. 初中数学 18.(2025山东德州月考,★★☆)已知a满足|2 025-a|+  =a. (1)使 有意义的a的取值范围是_______.在这个条 件下将|2 025-a|去掉绝对值符号可得|2 025-a|=_______. (2)根据(1)的分析,求a-2 0252的值. 初中数学 解析    (1)∵ 有意义, ∴a-2 026≥0,解得a≥2 026, ∴|2 025-a|=a-2 025, 故答案为a≥2 026;a-2 025. (2)由(1)得a-2 025+ =a, ∴ =2 025, ∴a-2 026=2 0252,即a-2 0252=2 026. 初中数学   19.【新课标·应用意识】(2025湖北黄石大冶期末)阅读下列 解题过程. 例:若代数式 + 的值是2,求a的取值范围. 解:原式=|a-1|+|a-3|,当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a= 1(舍去);当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件;当a>3时, 原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).综上,a的取值范围是 1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法. 初中数学 请你根据上述材料,解答下列问题: (1)当2≤a≤3时,化简 + =_______. (2)若等式 + =4成立,则a的取值范围是______ ____. (3)若 + =8,求a的值.      　　     　　　     初中数学 解析    (1)∵2≤a≤3,∴a-2≥0,a-5<0, ∴原式=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3, 故答案为3. (2)由题意可知|3-a|+|a-7|=4, 当a≤3时,3-a≥0,a-7<0,∴原等式可化为3-a-(a-7)=4,∴a=3,符 合题意; 当3<a<7时,3-a<0,a-7<0,∴原等式可化为-(3-a)-(a-7)=4,故3<a <7符合题意; 当a≥7时,3-a<0,a-7≥0,∴原等式可化为-(3-a)+(a-7)=4,∴a=7, 初中数学 符合题意. 综上所述,3≤a≤7.故答案为3≤a≤7. (3)原方程可化为|a+1|+|a-5|=8, 当a≤-1时,a+1≤0,a-5<0, ∴原方程可化为-a-1-(a-5)=8, ∴a=-2,符合题意; 当-1<a<5时,a+1>0,a-5<0, ∴原方程可化为(a+1)-(a-5)=8, 此方程无解,故-1<a<5不符合题意; 初中数学 当a≥5时,a+1>0,a-5≥0, ∴原方程可化为a+1+a-5=8, ∴a=6,符合题意. 综上所述,a=-2或a=6. 初中数学 $第十九章　二次根式 第1课时　二次根式的加减 19.3　二次根式的加法与减法 初中数学  　可以合并的二次根式 1.(2025山西朔州期中)下列式子中,能与 合并的是( ) A. 　    B.2 　    C.3 　    D.      B     解析     =3,不能与 合并;2 能与 合并;3 不能与  合并; 不能与 合并.故选B. 初中数学 2.(2025河南许昌期中)已知二次根式 与 是可以合并 的二次根式,则x的值可以是________________.(只需写出一 个)     0(答案不唯一)     解析　∵ =2 ,二次根式 与 是可以合并的二次 根式, ∴x+3可以为3,即x可以取0. 故答案为0.(答案不唯一) 初中数学  　二次根式的加减 3.(2025山东德州五中期中)下列计算正确的是 ( ) A. - = 　    B. - =  C.3+2 =5 　    D. + =      B     解析　∵ - =2 - = ,∴B选项的计算正确.故选B. 初中数学 4.计算: (1) -   -   =__________. (2) -( - )=____________.     3 -          3      初中数学 解析    (1) - = -  ×2 - ×2  = -  +3 =3 . (2)原式= + - +2 =3 - . 初中数学 5.(2025湖北随州模拟)若a,b为有理数且 - + =a+b , 则a+b=_______. 　-      解析　∵ - + =2-3 + =2- =a+b , ∴a=2,b=- ,∴a+b=- . 初中数学 6.【新考向·新定义题】对于任意两个不相等的实数x,y,定义 运算“Ω”为若x<y,则xΩy=x+y;若x>y,则xΩy=x-y,其他运算符 号的意义不变,按照上述定义,计算( Ω )-( Ω )的值 为__________.     2      解析　∵ < ,∴ Ω = + =2 +3 =5 ,∵  > ,∴ Ω = - =4 - =3 ,∴( Ω )- ( Ω )=5 -3 =2 . 初中数学 7.如图,中国结内包含两个全等的正方形,若两个大正方形的 面积均为98 cm2,重叠部分的小正方形面积为72 cm2,则BE的 长为_________cm.  　      初中数学 解析　∵两个大正方形的面积均为98 cm2, ∴AB=BC=  cm. ∵小正方形的面积为72 cm2,∴A'E=CE=  cm. ∴BE=BC-CE= - =7 -6 = (cm). 初中数学   8.(2025陕西西安月考,★★☆)若两个最简二次根式3  与2 可以合并,则合并后的结果是 ( ) A.3 　    B.5 　    C.5 　    D.5      D     解析　由题意,得2m+5=4m-4,解得m=4.5, ∴3 +2 =3 +2 =3 +2 = 5 . 故选D. 初中数学 9.(2025湖北孝感期中,★★☆)已知a,b,c满足(a- )2+ +|c -3 |=0.以a,b,c为边长的三角形的周长为____________.     5 +5     解析　由题意得a- =0,b-5=0,c-3 =0, ∴a= =2 ,b=5,c=3 , ∴以a,b,c为边长的三角形的周长为2 +3 +5=5 +5. 初中数学 10.【新考向·开放性试题】(2025山西晋中模拟,★★☆)化简:  m +8m -2m2 ,并任取一个m的值使其结果为正整 数. 初中数学 解析     m +8m -2m2  = m·3 +8m· -2m2·  = m +4m -2m  = m , 当m=4时,原式= × =28.(答案不唯一) 初中数学 11.(2025广东深圳模拟,★★☆)嘉琪准备完成题目“计算:  -■ - ”时,发现“■”处的数字印刷不清 楚. (1)他把“■”处的数字猜成4,请你计算 -4 -  的结果. (2)他妈妈说:“你猜错了,我看到这个题的正确答案是3 .” 通过计算说明题目中的“■”处的数字是几. 初中数学 解析    (1) -4 -  =4 -4× -3× +4×  =3 + . (2)设“■”处的数字为a,则  -a -  =4 -a× -3× +4×  初中数学 =4 - - +2  =3 +  , ∵这个题的正确答案是3 . ∴2- =0,解得a=8,即“■”处的数字是8. 初中数学 $第十九章　二次根式 第2课时　二次根式的混合运算 19.3　二次根式的加法与减法 初中数学  　二次根式的混合运算 1.【学科特色·多解法】计算 ÷(- )的结果是  ( ) A.5　    B.-5　    C.7　    D.-75     A     初中数学 解析　【解法一】 ÷(- )=( -6 )÷(- )= -5 ÷(- )=5. 【解法二】 ÷(- )= × =5 ×  -2 × =-1+6=5. 初中数学 2.(2025云南师大实验中学模拟)已知实数m= × ,则 实数m的值应在 ( ) A.1与2之间　    B.2与3之间 C.3与4之间　    D.4与5之间     B     解析　由题意得m= -1, ∵9<10<16,∴3< <4,∴2< -1<3, ∴实数m的值应在2与3之间.故选B. 初中数学 3.计算  ÷ -  +2 × 的结果为 ( ) A.-2 　    B.6-2 　    C.6 -2　    D.6     B     解析      ÷ -  +2 ×  = × - ×3 +4 × =3-2 +3=6-2 , 故选B. 初中数学 4.(2025山东济宁期中)计算 ÷ - ×2 - 的结果为 __________. 　-4 -3     解析　原式=2 -6 -3=-4 -3. 初中数学 5.(2025河北邯郸模拟)现将一个面积为300 cm2的正方形的一 组对边缩短8  cm,就成为一个长方形,这个长方形的面积为 __________cm2.     60     解析　∵正方形的面积为300 cm2, ∴正方形的边长为 =10 (cm), ∵将其一组对边缩短8  cm, ∴这组对边的长度变为10 -8 =2 (cm), ∴这个长方形的面积为2 ×10 =60(cm2). 初中数学 6.(2025河南信阳期中)计算: (1)( - )× -3 . (2) ÷ - × + . (3) × - . 初中数学 解析    (1)原式=( - )×3 -  =6-6 - =6-7 . (2)原式= - + =4-3+2 =1+2 . (3)原式=2 × - × -  =12 - -5=11 -5. 初中数学  　乘法公式在二次根式的混合运算中的应用 7.(2025河北中考)计算( + )( - )= ( ) A.2　    B.4　    C.6　    D.8     B     解析    ( + )( - )=( )2-( )2=10-6=4.故选B. 初中数学 8.(2025河北衡水模拟)若(2+ )2=a+b (a,b为整数),则a+b等 于 ( ) A.7　    B.9　    C.11　    D.12     C     解析　∵(2+ )2=4+4 +3=7+4 =a+b ,∴a=7,b=4,∴a+b =11.故选C. 初中数学 9.(2025山西忻州期中)计算: (1)(3+ )(3- )- ÷ . (2) ÷ +(2- )× . (3)( + )2 026× . 初中数学 解析    (1)原式=9-2- =7- =7-2=5. (2)原式= ÷ +(2+ ) = - +2+ = . (3)原式=[( + )×( - )]2 026=(11-10)2 026=1. 初中数学 10.下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程,请认真阅 读并完成相应任务. ( + )2-( - )2 =( )2+( )2-( )2+( )2 第一步 =6+5-6+5 第二步 =10. 第三步 任务一:以上步骤中,从第_______步开始出现错误,这一步错 误的原因是_______. 任务二:请写出正确的计算过程. 初中数学 解析　任务一:从第一步开始出现错误,这一步错误的原因是 完全平方公式运用错误. 任务二:( + )2-( - )2 =( )2+2 +( )2-[( )2-2 +( )2] =6+2 +5-(6-2 +5) =6+2 +5-6+2 -5=4 . 初中数学   11.(2025湖南长沙外国语学校月考,★★☆)计算( +4)2 025× ( -4)2 026的结果是 ( ) A. +4　    B.4　    C.-4　    D. -4     D     初中数学 解析    ( +4)2 025×( -4)2 026 =( +4)2 025×( -4)2 025×( -4) =[( +4)×( -4)]2 025×( -4) =1×( -4) = -4. 初中数学 12.(2025安徽安庆潜山期中,★★☆)已知x+y=-9,xy=9,则x + y 的值是 ( ) A.6　    B.-6　    C.3　    D.-3     B     解析　∵x+y=-9,xy=9,∴x<0,y<0, ∴ =-x, =-y, ∴原式=- · - ·  =- - =-2 =-2 =-6.故选B. 初中数学 13.【学科特色·作差估值法】(2025广东佛山一模,★★☆)若3 - 的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+ a)·b的值为  ( ) A.2　    B.0　    C.1　    D.-2     A     初中数学 解析　∵1< <2,∴-1>- >-2, ∴2>3- >1, ∴3- 的整数部分a=1, 小数部分b=3- -1=2- , ∴(2+ a)·b=(2+ ×1)×(2- ) =(2+ )×(2- )=4-2=2.故选A. 初中数学 14.(2025陕西西安月考,★★☆)老师设计了一个“接力游 戏”,用合作的方式完成二次根式的混合运算,如图所示,老师 把题目交给第一位同学,他完成第一步解答后交给第二位同 学,依次进行,最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过 来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是__________. 　小丽和小红 初中数学 解析　∵ ÷ = + , ∴小明没有出现错误. ∵ + = + = + , ∴小丽出现错误. ∵ + =2+ =2+ ,∴小红出现错误. ∵2+ =2+ =2 , ∴小亮没有出现错误.故答案为小丽和小红. 初中数学 15.(2025福建宁德期中,★★☆)已知A=x2-2 x. (1)把多项式A分解因式为_______________. (2)当x= + 时,多项式A的值为_________.     x(x-2 )         4     解析    (1)A=x2-2 x=x(x-2 ), 故答案为x(x-2 ). (2)当x= + 时, A=( + )( + -2 ) =( + )( - ) =6-2=4.故答案为4. 初中数学 16.(2025湖南衡阳月考,★★☆)已知x= ,y= ,求 +  和(x-1)(y-1)的值. 解析　∵x+y= = ,xy= =1, ∴ + = = = =3, (x-1)(y-1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1=1- +1=2- . 初中数学 17.(2025北京人大附中月考,★★★) (1)先化简,再求值: +x -4y -  ,其中x= ,y=4. (2)已知x= ,y= ,求代数式x2+3xy+y2的值. 初中数学 解析    (1) +x -4y -   =5 + -4 - ·y  =5 + -4 - = , 当x= ,y=4时,原式= = . (2)∵x= = = - , y= = =- - , 初中数学 ∴x+y= - +(- - )=-2 , xy=( - )(- - )=2-3=-1, ∴x2+3xy+y2=x2+2xy+y2+xy=(x+y)2+xy =(-2 )2-1=8-1=7. 初中数学   18.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】阅读下面这 道例题的解法,并回答问题. 例如:化简 . 解: = = =|1+ |=1+ . (1)依据上述计算,填空: =_______, =_____ _____. (2)根据上述方法求值: + + +…+  . 初中数学 解析    (1) = = =2+ ,  = = =4 -3. (2) + + +…+ = -1+( -  )+(2- )+…+(10- )=10-1=9. 初中数学 $第十九章　二次根式 第1课时　二次根式的乘法 19.2　二次根式的乘法与除法 初中数学  　二次根式的乘法法则 1.(2024江苏南通中考)计算 × 的结果是 ( ) A.9　    B.3　    C.3 　    D.      B     解析     × = = =3. 初中数学 2.(2025河南驻马店确山期中)如图,一只电子蚂蚁在数轴上爬 行,爬到表示 ×(-2 )的点处,则该点可能是下列点中的  ( )   A.点E　    B.点F　    C.点P　    D.点Q     A     解析     ×(-2 )=- ,-4<- <-3,由题中数轴可知点E所 表示的数大于-4且小于-3,故选A. 初中数学 3.(2025广西中考)计算 × =_________. 解析     × = . 初中数学 4.为了加强学生暑期防溺水意识,某中学给同学们发放了如图 所示的“防溺水告家长书”,已知该信纸的长为10  cm,回 执单的宽度(a cm)为整张信纸长度的 ,则a的值为_______.        2  初中数学 解析    a=10 × =10× × × =2× =2 . 初中数学 5.【学科特色·教材变式】小威在信息技术课上设计了一幅长 方形图片,已知长方形的长是  cm,宽是  cm,他又设 计了一个面积与其相等的圆,则该圆的半径为____________.       cm     解析　设该圆的半径为R cm,根据题意得π·R2= · =π· 70,所以R= (负值舍去).故该圆的半径为  cm. 初中数学 6.计算: (1) × .　　    (2) × . (3) × × .　    (4)  ×3 . 初中数学 解析    (1) × = = =12. (2) × = = =6 000. (3) × × = = =10. (4)  ×3 = ×3× = × = . 初中数学  　二次根式乘法法则的逆用 7.(2025河北石家庄期中)下列选项中,与 计算结果相同 的是 ( ) A.5+3　    B.5-3　    C.5×3　    D.5÷3     C     解析　∵ = × =5×3, ∴选项C符合题意.故选C. 初中数学 8.(2025广西河池期中)使 = · 成立的条 件是 ( ) A.x≤3　    B.x≥-2 C.-2≤x≤3　    D.-2<x<3     C     解析　∵二次根式中的被开方数是非负数, ∴ 解得-2≤x≤3.故选C. 初中数学 9.如果一个无理数m与 的积是一个有理数,写出m的一个 值是________________.      (答案不唯一)     解析     = =3 ,若无理数m与 的积是一个有理数, 则m的值可以为 (答案不唯一). 初中数学 10.(2025江苏徐州模拟)若一个直角三角形的两条直角边长分 别为  cm和  cm,则这个三角形的面积为__________cm2.     3      解析　根据题意得,这个三角形的面积为 × × = ×  = × = × × = ×6× =3 (m2). 初中数学 11.(2025山西运城月考)已知a= ,b= ,用含a,b的代数式表 示 ,则这个代数式是___________.     ab2     解析     × × = , ∵a= ,b= , ∴这个代数式是ab2. 初中数学 12.【学科特色·教材变式】计算: (1) . (2)- × . (3) (m>0,n>0). 解析    (1)原式= = × =12×10=120. (2)原式=- × × =- ×4×6=-24 . (3)原式= = · =3m . 初中数学   13.(2025安徽安庆期中,★★☆)下列变形正确的是 ( ) A. = ×  B. = × =4×  C. =  D. =25-24=1     C     初中数学 解析　∵ = = × ,∴选项A的变形错误; ∵ = ≠ × ,∴选项B的变形错误; ∵ = ,∴选项C的变形正确; ∵ = = =7,∴选项D的变形错 误.故选C. 初中数学 14.(2025重庆育才中学月考,★★☆)当a<0时,化简a ·  的结果是_________. 　-4a2     解析　∵a<0, ∴a · =a =a|4a|=-4a2. 初中数学 15.(2025江苏南京模拟,★★☆)小王利用计算机设计了一个 程序,输入和输出的数据如下表: 输入 1 2 3 4 … 输出     3 2  … 那么当输入数据为8时,输出的数据是__________.     2      初中数学 解析     × = , × = ,  × =3, × =2 ,…… ∴当输入数据为8时,输出的数据是 × = =2 .故答案 为2 . 初中数学 16.(2025重庆渝北实验中学校期中,★★☆)如果ab>0,a+b<0, 那么下面各式:① = · ;② · =1;③ · =-b;④  · =a.其中正确的是_______(填序号). 　②③     初中数学 解析　∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0. ∴ 与 无意义,∴①错误; ∵ · = =1,∴②正确; ∵ · = = =|b|=-b, ∴③正确; ∵ · = = =|a|=-a, ∴④错误.故答案为②③. 初中数学 17.(2025河南漯河期中,★★★)观察计算: (1)4+3_______2 ;1+ _______2 ; 5+5_______2 .(填“>”“<”或“=”) 归纳发现: (2)由(1)中的各式比较m+n与2 (m≥0,n≥0)的大小,并说明 理由. 实践应用: (3)设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成一 初中数学 个长方形花圃,如图,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成 一个面积为200平方米的花圃,则所用的篱笆至少需要______ ____米.   初中数学 解析    (1)∵4+3=7= ,2 = , ∴4+3>2 . ∵1+ = = ,2 = = , ∴1+ >2 . ∵5+5=10,2 =2×5=10,∴5+5=2 . 故答案为>;>;=. (2)m+n≥2 . 理由:∵m≥0,n≥0,∴m= ,n= , 初中数学 ∴m+n-2 = + -2 = ≥0, ∴m+n≥2 . (3)40. 详解:设长方形花圃与墙平行的一边长为x(x>0)米,垂直于墙 的一边长为y(y>0)米, 由题意得所用的篱笆长为(x+2y)米,xy=200, 由(2)可得x+2y≥2 , ∵2 =2 =2 =40, ∴x+2y≥40,∴所用的篱笆至少需要40米. 初中数学   18.【新课标·应用意识】【新考向·数学文化】(2025山东淄 博期末)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了 “三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积,用现代 式子表示为S= (其中a,b,c为三角形的 三边长,S为面积)①,而另一个文明古国古希腊也有求三角形 面积的海伦公式:S=  其中p=  ②. 请根据以上材料完成下面的任务: 初中数学 m的三角形空地种植花卉,请你用秦九韶公式帮助王师傅计算 一下开垦的空地的面积. 任务二:如图所示的是小明制作的一个风筝模型,其中AB=BC =50 cm,AD=CD=40 cm,BD=60 cm,请你用海伦公式帮助小明 求风筝模型ABCD的面积.   任务一:王师傅准备开垦一块边长分别为2  m,2  m,2  初中数学 解析　任务一:令a2=(2 )2=20,b2=(2 )2=24,c2=(2 )2=28, 由公式①,得S=  =  = = =2 (m2). 答:王师傅开垦的空地的面积为2  m2. 任务二:∵AB=BC,AD=CD,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD, 初中数学 在△ABD中,p= = =75, ∴S△ABD= =375 (cm2), ∴S△BCD=S△ABD=375  cm2, ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=375 +375 =750 (cm2). 答:风筝模型ABCD的面积为750  cm2. 初中数学 $