第二十四章　数据的分析课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十四章　数据的分析 第2课时　平均数、中位数和众数的应用 24.1　数据的集中趋势 24.1.2　中位数和众数 初中数学  　平均数、中位数和众数的区别与联系 1.(2024山东滨州中考)在一次中学生田径运动会上,参加男子 跳高的15名运动员的成绩如下表所示: 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 初中数学 某同学分析上表后得出如下结论: ①这些运动员成绩的平均数是1.65 m; ②这些运动员成绩的中位数是1.70 m; ③这些运动员成绩的众数是1.75 m. 上述结论正确的是 ( ) A.②③　    B.①③　    C.①②　    D.①②③     A     初中数学 解析　这些运动员成绩的平均数是 ×(1.50×2+1.60×3+1.65 ×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1)≈1.67 m, 将15名运动员的成绩按从小到大的顺序排列后,第8位运动员 的成绩是1.70 m,故中位数是1.70 m, 数据1.75出现的次数最多,故众数是1.75 m. ∴正确的结论是②③,故选A. 初中数学 2.(2025浙江杭州模拟改编)某校九年级有13个班进行大合唱 比赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛,小林已经知道 了自己班的成绩,她想知道自己班能否进入决赛,还需要知道 这13个班合唱成绩的 ( ) A.众数　    B.中位数 C.平均数　    D.最高分     B     初中数学 解析　∵共有13个班级参加比赛,取前6名,∴小林需要知道自 己班的成绩能否进入前6名,我们把所有班级的成绩按大小顺 序排列,第7名班级的成绩是这组数据的中位数,∴小林还需要 知道这组数据的中位数,才能知道自己班能否进入决赛.故选 B. 初中数学 3.某车间为了改善管理松散的现况,准备采取每天任务定额, 超产有奖的措施来提高工作效率,下面是该车间15名工人过 去一天中各自装备机器的数量(单位:台):6,7,7,7,8,8,8,8,10,10, 10,10,16,16,16,为了促进生产,保证大多数工人的积极性,那么 管理者应确定每人每天装备机器的定额最好为_________台.     8     解析　这组数据的众数为8和10,中位数为8,∵需要保证大多 数工人的积极性,∴管理者应确定每人每天装备机器的定额 最好为8台. 初中数学 4.在一次数学测试中,张老师发现第一小组6位学生的成绩(单 位:分)分别为85,78,90,72,●,75,其中有一位同学的成绩被墨 水污染,但知道该小组成绩的平均分为80分,则该小组成绩的 中位数是__________.     79     解析　根据题意得●=80×6-(85+78+90+72+75)=80,将这组数 据按从小到大的顺序排列为72,75,78,80,85,90,所以中位数为  =79. 初中数学 5.(2025河南中考)为加强对青少年学生的宪法法治教育,普及 宪法法治知识,教育部决定举办第十届全国学生“学宪法,讲 宪法”活动.某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况, 从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对测试得分 (10分为满分,9分或9分以上为优秀)进行整理、描述、分析, 部分信息如下. 初中数学 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 38% c 初中数学 根据以上信息,回答下列问题. (1)表中a=_______,b=_______,c=_______. (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好? 请说明理由. 初中数学 解析    (1)∵七年级测试得分从小到大排列后从左到右的第2 5、26个数据是7和8,∴七年级测试得分的中位数a= =7.5; ∵八年级测试得分中8分出现的次数最多,∴八年级测试得分 的众数b=8;八年级测试得分在9分或9分以上人数所占百分比 为 ×100%=22%,∴c=22%.故答案为7.5;8;22%. (2)七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好. 理由:七年级测试得分的优秀率高于八年级(答案不唯一,言之 有理即可). 初中数学   6.(★★☆)某公司有A,B,C三种型号电动汽车出租,每辆车每 天的费用分别为300元、380元、500元.阳阳打算从该公司租 一辆汽车外出旅游一天,往返行程为210 km,为了选择合适的 型号,通过网络调查,获得三种型号汽车充满电后的里程数据 如图所示. 初中数学 (1)B,C型号汽车数据统计如表,请继续求出A型号汽车的平均 里程、中位数和众数. 型号 平均里程/km 中位数/km 众数/km B 216 215 220 C 227.5 227.5 225 (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间,能经济实惠地用车, 请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析,给 出合理的用车型号建议. 初中数学 解析    (1)A型号汽车的平均里程为  =200(km);将20个数据按 从小到大的顺序排列,第10,11个数据均为200 km,所以中位数 为200 km;205 km出现了6次,出现的次数最多,所以众数为205 km. (2)选择B型号汽车.理由:A型号汽车的平均里程、中位数和 众数均低于210 km,且只有10%的车辆能达到行程要求,故不 建议选择;B,C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过21 0 km,其中B型号汽车有90%符合行程要求,很大程度上可以避 初中数学 免行程中充电耽误时间,且B型号汽车比C型号汽车更经济实 惠,故建议选择B型号汽车. 初中数学   7.(2025河南洛阳一模)某校为了解七年级学生跳绳情况,从七 年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试,两班抽取 的人数相同,测试成绩分为A,B,C,D四个等级,其中各等级的得 分分别记为10分,8分,6分,4分.现将甲、乙两班级的测试成绩 整理并绘制成如下统计图表: 初中数学 班级 平均数 中位数 众数 甲班 7.8 b 10 乙班 a 8 c 初中数学 根据以上信息,回答下列问题: (1)a=_______,b=_______,c=_______. (2)学校要组织一个跳绳展示活动,需要从甲、乙两个班级中 选择一个班级参加,你会推荐哪个班级参加?请说明理由. (3)从甲班抽取的数据中选取n个,与乙班抽取的全部数据组成 一组新数据,若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位 数,则n的最小值为_______. 初中数学 解析    (1)a=10×30%+8×40%+6×20%+4×10%=7.8;c=8;甲班抽取的人数为10+3+2+5=20,∴b= =9.故答案为7.8;9;8. (2)推荐甲班参加.理由:∵甲、乙两班的平均数相同,甲班的中 位数、众数都大于乙班的中位数、众数, ∴推荐甲班参加. (3)8. 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第3课时　用样本平均数估计总体平均数 24.1　数据的集中趋势 24.1.1　平均数 初中数学  　用样本平均数估计总体平均数 1.某市对初中毕业生进行了一项技能测试,有4万名学生的成 绩都是不小于70的两位数,从中随机抽取4 000名学生的成绩, 统计如表,请根据表格中的信息,估计这4万名学生成绩的平均 数为 ( )     B     成绩x/分 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 人数 800 2 000 1 200 平均数/分 74 84 94 A.92.1分　    B.85分　    C.86.3分　    D.78.8分 初中数学 解析　由题表可得抽取的4 000名学生成绩的平均数为  =85(分),故估计这4万名学生成绩 的平均数为85分.故选B. 初中数学 2.(2025浙江温州期末)每年的4月23日是“世界读书日”,某 校为了解4月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级50 名学生读书的册数,数据整理如下: 册数 0 1 2 3 4 人数 9 3 20 15 3 由此估计该校八年级学生4月份人均读书_________册.     2     初中数学 解析　估计该校八年级学生4月份人均读书  =2(册). 初中数学 3.(2025吉林长春三模节选)某市为推进“绿色社区”建设,对 全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核.根据要求, “雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格.环保部门随 机抽查了10个社区,其利用率数据如下(单位:%): 68,77,72,85,80,65,78,88,70,82. 请根据以上信息,回答下列问题: (1)这10个社区的平均利用率为_______. (2)估计全市150个社区中,利用率合格的有多少个. 初中数学 解析    (1) =76.5,∴这10 个社区的平均利用率为76.5%. (2)150× =90(个). 答:估计全市150个社区中,利用率合格的有90个. 初中数学   4.(2025甘肃白银月考,★★☆)某食品厂生产了一批糕点,标准 质量为每盒360 g,现抽取10盒样品进行检测,超过标准质量的 部分记作正数,不足标准质量的部分记作负数,结果如下表: 与标准质量的差/g -10 -5 0 +5 +10 盒数 1 1 4 3 1 若小明一天打包100盒糕点,则这100盒糕点的总质量估计为 ______________克.     36 100     初中数学 解析　∵抽取的10盒糕点的平均质量为360+  =361(g), ∴小明一天打包100盒糕点的总质量估计为361×100=36 100 (g). 初中数学 5.(2025江苏徐州月考,★★☆)某校志愿者协会组织“爱心敬 老”活动,同学们捐出自己的“爱心金额”为敬老院的老人 购买营养品. (1)八年级某班学生的“爱心金额”及人数如图①所示,已知 图①中各条形从左到右高度之比为2∶4∶10∶5∶3,求该班 学生的人均“爱心金额”. (2)志愿者协会从该校八年级学生中随机调查了部分学生的 “爱心金额”及人数比例如图②所示,估计八年级学生的人 均“爱心金额”. 初中数学 (3)若八年级学生中有位学生得到家长的支持,在原基础上又 捐赠了500元,此时八年级学生的人均“爱心金额”还能体现 平均水平吗?请说明理由.    初中数学 解析    (1) =62.5(元). 答:该班学生的人均“爱心金额”为62.5元. (2)20×15%+40×24%+60×30%+80×11%+100×20%=59.4(元). 答:估计八年级学生的人均“爱心金额”为59.4元. (3)不能.理由:八年级学生中有位学生得到家长的支持,在原基 础上又捐赠了500元,样本数据发生了极大的变化,平均数受到 了极端值的影响.(言之有理即可) 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第2课时　分布式计算平均数或百分数 24.1　数据的集中趋势 24.1.1　平均数 初中数学  　分布式计算平均数或百分数 1.(2025浙江杭州余杭期末)设甲种糖果的售价为每千克m元, 乙种糖果的售价为每千克18元,则3千克甲种糖果和n千克乙 种糖果混合而成的什锦糖果的售价为每千克 ( ) A. 元　     B. 元 C. 元　    D. 元     D     初中数学 解析    3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果 的总价为(3m+18n)元,总质量为(3+n)千克,∴所求售价为每千 克 元.故选D. 初中数学 2.【学科特色·教材变式】某连锁早餐店有4家分店,某天早餐 店的营业情况统计结果如下表所示. 分店 结账人次 每人次平均 消费金额/元 微信结账 百分比/% A 550 14 70 B 380 20 90 C 540 16 85 D 530 12 80 初中数学 这天4家早餐店所有人的每人次平均消费金额和微信结账百 分比分别是多少? 解析　根据平均数和总数的关系,可以计算这天4家早餐店所 有人的每人次平均消费金额为  =15.15(元). 这天4家早餐店所有人的微信结账百分比为  =80.5%. 初中数学  　用组中值求平均数 3.(2024河北邯郸三模)某校八年级学生参加每分钟跳绳的测 试,并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图(如 图),若取每组的组中值作为本小组的均值,则抽取的部分学生 每分钟跳绳次数的平均数(结果取整数)为 ( )       B     A.87　     B.110　     C.112　    D.120 初中数学 解析　根据题意得抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均数 为 ≈110. 初中数学   4.(2025山东烟台月考,★★☆)某射击队为了解运动员的年龄 情况,做了一次年龄调查,根据射击运动员的年龄(单位:岁)绘 制出如图所示的统计图.该射击队运动员的平均年龄为 ___________.   15岁     初中数学 解析　根据题意得,m=100-10-30-25-15=20, ∴该射击队运动员的平均年龄为13×10%+14×30%+15×25%+ 16×20%+17×15%=15(岁). 初中数学 5.(2025陕西汉中二模改编,★★☆)2025年我国持续深入推进 蓝天、碧水、净土保卫战.某校为了解八年级学生对环保知 识的掌握情况,组织了一次环保知识竞赛(满分50分).已知该 校八年级有600名学生,随机抽取部分学生的竞赛成绩,相关数 据整理如下: 初中数学 成绩x/分 组中值 人数(频数) 0<x≤10 2 10<x≤20 2 20<x≤30 5 30<x≤40 5 40<x≤50 6 抽取的八年级学生成绩频数分布表 初中数学 (1)填写表中“组中值”一栏的空白(组中值:如0<x≤10的组 中值为5). (2)求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数(每组的平均数用 组中值代替). (3)请估计该校八年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀(40分 以上)的人数. 初中数学 解析    (1)5;15;25;35;45. (2)抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数是  =30.5. (3)600× =180(人). 答:估计该校八年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀(40分以 上)的人数为180. 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第1课时　中位数和众数 24.1　数据的集中趋势 24.1.2　中位数和众数 初中数学  　中位数 1.(2025四川资阳中考改编)某年级7名教师某周使用人工智能 (AI)办公的次数分别为5,2,6,9,5,5,3.这组数据的中位数为  ( ) A.9　    B.6　    C.5　    D.3     C     解析　这组数据从小到大排列为2,3,5,5,5,6,9,处于最中间位 置的数是5,∴中位数为5.故选C. 初中数学 2.(2025广东深圳二模)适量的运动有助于身体健康.经常运动 的人在静息状态下心率的范围是60~80次/分,某班班主任随 机测量了15名学生的心率,统计结果如下表所示: 心率/(次/分) 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 这15名学生的心率的中位数是 ( ) A.65次/分　    B.67.5次/分 C.70次/分　    D.72.5次/分     C     初中数学 解析　∵共有15名学生,∴中位数是数据从小到大排列后从 左到右的第8个数,∴这15名学生的心率的中位数是70次/分. 初中数学 3.(2025河南开封期末)在“全民读书月”活动中,小明调查了 班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况,并将结果绘 制成如下的统计表: 费用/元 20 30 40 50 60 人数 8 12 12 6 2 班级里本学期购买课外书费用情况的中位数是( ) A.40　    B.35　    C.32　    D.30     B     初中数学 解析　∵共有40个数据,∴中位数是数据从小到大排列后从 左到右的第20个数和第21个数的平均数,∵排列后从左到右 的第20个数和第21个数分别为30和40,∴其中位数是 = 35.故选B. 初中数学 4.【学科特色·教材变式】(2025浙江衢州模拟)某中学举办智 力问答比赛,九年级参赛的35名同学的成绩经整理后,如统计 图所示,这些成绩的中位数是__________.       10     初中数学 解析　∵共有35名同学的成绩,∴中位数是数据从小到大排 列后从左到右的第18个数,根据题图可知,排列后从左到右的 第18个数是10,∴这些成绩的中位数是10. 初中数学  　众数 5.(2025广西中考)在第30个全国“爱眼日”之前,某校组织各 班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比,其中九年 级6个班得分为8,9,7,9,10,9,则这组数据的众数为 ( ) A.7　    B.8　    C.9　    D.10     C     解析　这组数据中,数字9出现3次,次数最多, ∴这组数据的众数为9.故选C. 初中数学 6.(2025湖南长沙二模)小明同学将自己前7次数学模拟测试成 绩(单位:分)统计如下表: 次数 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 第6 次 第7 次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试的成绩为a分,若这8次成绩的众数不只有一个,则a 的值为 ( ) A.97　    B.98　    C.99　    D.100     C     初中数学 解析　∵前7次数学模拟测试成绩中,97和100各出现了1次,98 出现了3次,99出现了2次,这8次成绩的众数不只有一个,∴第8 次测试的成绩为99分,∴a=99. 初中数学 7.(2025河南安阳模拟)河南新郑气候温和,四季分明,有利于枣 树生长和果实的发育,是中国枣乡之一.红枣味甘性温,归脾胃 经,有补中益气、养血安神等功效.如图所示的是郑州街头某 品牌红枣专卖店在某一周星期一至星期五的促销活动中连续 五天的销售袋数情况,则这组销售数据(袋数)的众数为_______.     560 初中数学 解析　根据题图中数据可知,在星期一至星期五的促销活动 中,连续五天的销售袋数分别为560,700,750,650,560,∵560出 现的次数最多,∴这组销售数据的众数为560.故答案为560. 初中数学   8.(2025河北唐山三模,★★☆)一组数据-2,4,2,-5,x,8的众数为 8,则这组数据的中位数为 ( ) A.0　    B.2　    C.3　    D.8     C     解析　∵数据-2,4,2,-5,x,8的众数为8,∴x=8,∴数据从小到大 排列为-5,-2,2,4,8,8,∴中位数为 =3.故选C. 初中数学 9.(2024江苏苏州中考,★★☆)某公司拟推出由7个盲盒组成 的套装产品,现有10个盲盒可供选择,统计这10个盲盒的质量 如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定,这5个盲盒质量的中位 数恰好为100克,6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个,7号盲盒从 丁、戊中选择1个,使选定7个盲盒质量的中位数仍为100克,可 以选择( )     C       A.甲、丁　    B.乙、戊　     C.丙、丁　    D.丙、戊 初中数学 解析　∵要推出由7个盲盒组成的套装产品, ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒的质量, ∵序号为1到5的盲盒质量的中位数恰好为100克,∴若7个盲 盒质量的中位数仍为100克,则选定的6号盲盒和7号盲盒的质 量应该一个超过100克,另一个低于100克,结合选项可知选C. 初中数学 10.(2025四川德阳中考,★★☆)德阳市正积极推进城市轨道 交通建设,假设已经规划的5条线路长度分别为28千米、30千 米、30千米、26千米、32千米.若后续又新增一条线路,使得 新增后这6条线路长度的中位数变为29千米,众数保持不变,那 么新增线路长度可能是 ( ) A.25千米　    B.28千米　     C.29千米　    D.30千米     A     初中数学 解析　数据28千米、30千米、30千米、26千米、32千米中的 众数为30千米,若后续又新增一条线路,使得新增后这6条线路 长度的中位数变为29千米,众数保持不变,则新增线路长度不 可能是28千米或30千米,故B、D不合题意;当新增线路长度是 25千米时,则数据25千米、28千米、30千米、30千米、26千 米、32千米的中位数为 =29(千米),故A符合题意;当新 增线路长度是29千米时,29千米、28千米、30千米、30千 米、26千米、32千米的中位数为 =29.5(千米),故C不合 题意.故选A. 初中数学 11.(2025江苏南京一模,★★☆)周老师根据班级学生某次练 习中某道题(满分4分)的答题情况,绘制了如下统计图,这道题 该班学生得分的众数和中位数分别是_________分, ___________分.     3.5         4     初中数学 解析　由题图可知,出现次数最多的得分为4分,∴众数为4分. ∵总人数为1+2+4+13+20=40,∴中位数是从小到大排列后从 左到右的第20个数和第21个数的平均数,为 =3.5(分). 初中数学 12.(2025安徽铜陵期末,★★☆)两组数据:3,x,2y,5与x,6,y的平 均数都是6,若将这两组数据合并为一组新数据:3,x,2y,5,x,6,y, 则这组新数据的众数为_________.     8     解析　∵两组数据:3,x,2y,5与x,6,y的平均数都是6,∴  解得  ∴新数据为3,8,8,5,8,6,4,其中8出现的次数最多,∴众数为8. 初中数学   13.【新课标·数据观念】【新课标·中华优秀传统文化】(202 5浙江嘉兴二模改编)端午节是中国的传统节日,民间有端午 节吃粽子的习俗,在端午节来临之际,某校七、八年级开展了 一次“包粽子”实践活动,对学生的活动情况按10分制进行 评分,成绩(单位:分)均为不低于6的整数,为了解这次活动的效 果,现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样 本进行整理,并绘制成如下统计图表. 初中数学   八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 初中数学 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.请根据以上 信息,完成下列问题: (1)样本中,七年级活动成绩为7分的学生人数是_______,七 年级活动成绩的众数为_______分. (2)a=_______,b=_______. (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”,根据样本数据,判 断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理 由. 初中数学 解析    (1)1;8. 详解:根据扇形统计图可得,样本中,七年级活动成绩的众数为 8分,七年级活动成绩为7分的学生人数的占比为1-50%-20%-2 0%=10%,∴样本中,七年级活动成绩为7分的学生人数是10×1 0%=1. (2)2;3. 详解:将八年级的活动成绩从小到大排列后,它的中位数应是 从左到右的第5个和第6个数据的平均数,∵八年级10名学生 活动成绩的中位数为8.5分,∴第5个和第6个数据分别为8分和 初中数学 9分,∵成绩为6分和7分的人数为1+2=3,∴成绩为8分的人数 为5-3=2,∴成绩为9分的人数为10-5-2=3,∴a=2,b=3. (3)不是.理由如下:结合(1)(2),可得七年级的优秀率为20%+2 0%=40%,七年级的平均成绩为7×10%+8×50%+9×20%+10×2 0%=8.5(分), 八年级的优秀率为 ×100%=50%,八年级的平均成绩为  =8.3(分), ∵50%>40%,8.3<8.5,∴本次活动中优秀率高的年级并不是平 均成绩也高. 初中数学 $时间：40分钟 满分：100分 第二十四章自主检测 初中数学 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.(2025四川南充中考)一次体质健康检测中,某班体育委员对 该班20名男生在一分钟内“引体向上”的次数进行了统计, 并制作如下统计表: 次数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的次数的众数是  ( ) A.6　    B.9　    C.11　    D.15     C     初中数学 解析　由题表可知,这组数据中11出现的次数最多,有8次,∴ 这组数据的众数为11. 初中数学 2.(2025浙江衢州一模)小聪和小明5次数学测验的成绩如表, 若小聪的平均分高于小明,则a的值可以是 ( )     D     小聪 78 82 79 80 81 小明 76 84 80 87 a A.75　    B.74　    C.73　    D.72 初中数学 解析　由题表可得,小聪的平均分为(78+82+79+80+81)÷5=80 (分),∵小聪的平均分高于小明,∴(76+84+80+87+a)÷5<80,解 得a<73, ∴a的值可以是72. 初中数学 3.(2025浙江模拟)在一组数据2,4,4,6中加入一个数4后,下列各 统计量中,发生变化的是( ) A.平均数　    B.中位数　     C.众数　     D.方差     D     初中数学 解析　原来数据的平均数为 ×(2+4+4+6)=4,中位数为 = 4,众数为4,方差为 ×[(2-4)2+2×(4-4)2+(6-4)2]=2;新数据的平均 数为 ×(2+4+4+6+4)=4,中位数为4,众数为4,方差为 ×[(2-4)2+ 3×(4-4)2+(6-4)2]=1.6.∴加入一个数4后,发生变化的是方差. 初中数学 4.(2025广西梧州一模)一组数据23,25,18,21,17,23,20,26,16,22, 24,22.这组数据的第一四分位数和第三四分位数分别是  ( ) A.18,23　     B.18,22 C.19,23.5　    D.19.5,19 C     解析　把这组数据从小到大排列为16,17,18,20,21,22,22,23,2 3,24,25,26,∴第一四分位数是 =19,第三四分位数是  =23.5.故选C. 初中数学 5.某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生 得分的箱线图(如图),根据该图进行判断,下列说法正确的有  ( ) ①三个班级中,甲班分数的方差最小; ②三个班级中,乙班分数的波动最大; ③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数; ④若每班有42个学生,则三个班级的第11名(成绩从高到低排 列)中,丙班的分数最高. A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个     C     初中数学 解析　由题中箱线图可知,甲班数据最稳定,故其方差最小,故 ①说法正确.乙班最大值较另两个班更大,最小值较另两个班 更小,数据波动最大,故②说法正确.丙班的中位数大于80,故丙 班得分低于80的学生人数与得分高于80的学生人数无法比 较,故③说法错误.若每班有42个学生,则三个班级的第11名 (成绩从高到低排列)刚好对应各自的第三四分位数,由题中箱 线图可知,丙班的第三四分位数最大,即丙班的分数最高,故④ 说法正确. 初中数学 6.下表为某班成绩的次数分布表.已知全班共有38人,且众数 为50,中位数为60,则x2-2y的值为( )     B     成绩/ 分 20 30 40 50 60 70 90 100 次数 2 3 5 x 6 y 3 4 A.33　    B.50　    C.69　    D.90 初中数学 解析　∵全班共有38人,∴x+y=38-(2+3+5+6+3+4)=15,又∵众 数为50,∴x≥8,当x=8时,y=7,中位数是按从小到大的顺序排列 后从左到右的第19、20个数的平均数,则中位数为(60+60)÷2 =60,符合题意;当x=9时,y=6,中位数是按从小到大的顺序排列 后从左到右的第19、20个数的平均数,则中位数为(50+60)÷2 =55,不符合题意.同理当x=10,11,12,13,14或15时,中位数都不 等于60,不符合题意,则x=8,y=7.∴x2-2y=64-14=50.故选B. 初中数学 二、填空题(每小题7分,共28分) 7.(2025甘肃兰州中考)射箭运动项目中,新手成绩通常不太稳 定.甲和乙同时进行12次射箭练习后,成绩的统计数据如表,请 根据表中信息估计新手是______(填写“甲”或“乙”). 　甲     甲 乙 平均成绩 (单位:环) 6.58 7.67 方差s2 6.91 0.72 初中数学 解析　由题表知,甲成绩的平均数小于乙,且方差大于乙,∴甲 的平均成绩低于乙,且成绩波动幅度大于乙,∴估计新手是甲. 故答案为甲. 初中数学 8.(2025四川遂宁中考)某公司要招聘一名职员,根据实际需要, 从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘 者进行了测试.测试成绩如下表: 学历 经验 能力 态度 甲 9 8 7 5 乙 8 6 8 7 丙 8 9 8 5 初中数学 公司将学历、经验、能力和态度得分按2∶1∶3∶2的比确定 每人的最终得分,并以此为依据确定录用者,则______将被择 优录取(请选择填写甲、乙或丙). 　乙     初中数学 解析　甲的最终得分为 =7.125,乙的最终 得分为 =7.5,丙的最终得分为  =7.375,∵7.5>7.375>7.125,∴乙将被择优 录取. 初中数学 9.【学科特色·教材变式】某小组8名学生的数学考试成绩(单 位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96.老师决定将这些成绩分 为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方 式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98}.则组内离差平 方和为__________.     24     初中数学 解析　第一组数据的平均数为 = =90, 离差平方和为 =(87-90)2+(88-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2 +(92-90)2=22, 第二组数据的平均数为 = =97, 离差平方和为 =(96-97)2+(98-97)2=2, ∴组内离差平方和为22+2=24. 初中数学 10.(2025浙江湖州期中)小明在计算一组数据的方差时,先计 算了这组数据的平均数 ,然后写出了如下计算公式:s2=  [ + + + ],则这组数据的方差s2=_____.     2     初中数学 解析　∵s2= [ + + + ],∴这组数据为 6,8,8,10,∴这组数据的平均数为 ×(6+8+8+10)=8.∴s2= ×[(6- 8)2+(8-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=2. 初中数学 三、解答题(共30分) 11.(2025青海海东期末)(14分)随着智能手机的普及,微信抢红 包已成为春节假期期间人们最喜欢的活动之一,某校随机抽 取了50名学生在春节假期期间所抢的红包金额进行统计,并 绘制成了如图所示的统计图,请根据所给信息回答下列问题: (1)这50名学生所抢红包金额的众数是_______元,中位数是 _______元. 初中数学 (2)这50名学生所抢红包的平均金额是多少元? (3)若该校共有1 000名学生,请你估计该校学生春节假期期间 所抢红包金额为20元的红包总金额. 初中数学 解析    (1)由题图可知,这50名学生中所抢红包金额为30元的 人数最多,∴众数是30元.中位数为 =30(元). (2)平均金额是 ×(6×10+13×20+20×30+8×40+3×50)=27.8 (元). (3)1 000× ×20=5 200(元). 答:估计该校学生春节假期期间所抢红包金额为20元的红包 总金额是5 200元. 初中数学 12.(16分)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学 校组织的一分钟跳绳比赛,在相同的条件下,分别对两名男生 进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完 整的统计图表. 初中数学 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180,175,170 c 请根据统计图表中的信息,解答下列问题: (1)求a,b的值. (2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛,你认为应选谁?请说 明理由. (3)根据以上的数据分析,请你运用所学统计知识,任选两个角 度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优. 初中数学 解析    (1)甲的成绩按从小到大的顺序排列为160,165,165,17 5,180,185,185,185,∴a= =177.5,∵185出现了3次,出现 的次数最多,∴b=185. (2)应选乙. 理由:乙成绩的方差为 ×[2×(175-175)2+2×(180-175)2+2×(170-175)2+(185-175)2+(165-175)2]=37.5,乙成绩的方差小于甲成绩 的方差,所以乙的成绩比甲的成绩稳定. (3)①从平均数和方差相结合看,乙的成绩更稳定;②从平均数 和中位数相结合看,甲的成绩更好些.(答案不唯一) 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第1课时　离差与方差 24.2　数据的离散程度 初中数学  　离差及离差平方和 1.(2025江苏无锡模拟)某学生六次数学考试的成绩(单位:分) 分别为72,80,77,81,89,81,则这组数据的众数的离差是  ( ) A.0.5　    B.1　    C.2　    D.3     B 初中数学 解析　∵这组数据中81出现的次数最多,∴这组数据的众数 是81,∵这组数据的平均数是 =80,∴这 组数据的众数的离差是81-80=1.故选B. 初中数学 2.已知一组数据:3,4,6,7,那么这组数据的离差平方和为  ( ) A.6　    B.8　    C.10　    D.12     C 解析　这组数据的平均数为 =5,∴这组数据的离差 平方和为(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10. 初中数学  　方差 3.(2025广东东莞模拟)已知一个样本为-1,0,2,x,3,平均数为2, 则这个样本的方差是 ( ) A.5　    B.3　    C.4　    D.6     D     解析　∵(-1+0+2+x+3)÷5=2,∴x=6,∴方差为 ×[(-1-2)2+(0-2)2 +(2-2)2+(6-2)2+(3-2)2]=6. 初中数学 4.(2025河南驻马店一模)一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四 人各进行了10次投篮,每人投篮成绩的平均数都是8,方差分别 为 =0.20, =0.38, =0.24, =0.75,其中成绩最稳定的是 ( ) A.甲　    B.乙　    C.丙　    D.丁 A     解析　∵ =0.20, =0.38, =0.24, =0.75,∴ < < < ,∴ 成绩最稳定的是甲. 初中数学 5.(2025广东广州二模)某地3月1日至7日每天的最高气温(单 位:℃)依次为10,8,9,9,10,10,11,关于这组数据下列说法正确的 是 ( ) A.中位数是9　    B.众数是10 C.平均数是9　    D.方差是1     B     初中数学 解析　将这组数据从小到大排列为8,9,9,10,10,10,11,∴中位 数是10,众数是10,平均数是 ×(8+9+9+10+10+10+11)= ,∴ 方差是 ×  +2× +3× +  =  .故选B. 初中数学 6.某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛, 两位同学的六次模拟成绩如图所示,甲、乙两位同学成绩的 方差分别记为 , ,则 ______ (填“>”“<”或“=”).   　<     初中数学  　用样本方差估计总体方差 7.从总体中抽取一个样本,计算出样本方差为1,可以估计总体 方差 ( ) A.一定大于1　    B.等于1 C.一定小于1　    D.与样本方差无关     B     解析　在总体数目较多的条件下,通常选取一个样本,样本的 情况大体可以反映总体的趋势.∵样本方差为1,∴估计总体方 差等于1.故选B. 初中数学 8.【学科特色·教材变式】(2025云南昆明盘龙三模)云南是我 国普洱茶的核心产区,勐海和临沧的茶园因独特气候存在显 著差异,某茶叶的品质和口感也深受喝茶人喜爱.某茶叶质量 检测鉴定中心在两地各选择了一家茶园,统计了近五年“普 洱茶”的年产量(单位:吨),数据如下: 勐海茶园 102 98 100 101 99 临沧茶园 110 90 105 95 100 根据上述数据,茶叶的产量更稳定的是( ) A.勐海茶园　     B.临沧茶园 C.两者稳定性相同　    D.无法判断     A     初中数学 解析　∵ = ×(102+98+100+101+99)=100, = ×(110+9 0+105+95+100)=100,∴ = ×[(102-100)2+(98-100)2+(100-10 0)2+(101-100)2+(99-100)2]=2, = ×[(110-100)2+(90-100)2+(10 5-100)2+(95-100)2+(100-100)2]=50.∴ < ,∴茶叶的产量 更稳定的是勐海茶园.故选A. 初中数学 9.为了选拔一名同学参加全市中学生射击比赛,某校对甲、乙 两名同学的射击水平进行了测试,老师从两人近一周的所有 射击成绩中随机抽取10次,成绩(单位:环)统计如下: 甲:3,4,6,8,8,6,7,9,10,9; 乙:6,9,8,5,7,8,7,6,7,7. (1)分别求甲、乙两人射击成绩的方差. (2)哪名同学的射击水平更稳定? 初中数学 解析    (1)∵ = ×(3+4+6+8+8+6+7+9+10+9)=7, = ×(6+ 9+8+5+7+8+7+6+7+7)=7,∴ = ×[(3-7)2+(4-7)2+2×(6-7)2+(7- 7)2+2×(8-7)2+2×(9-7)2+(10-7)2]=4.6, = ×[(5-7)2+2×(6-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+(9-7)2]=1.2,∴甲射击成绩的方差是4.6,乙射击 成绩的方差是1.2. (2)乙同学的射击水平更稳定. 初中数学   10.(2025山东淄博期中,★★☆)体育课上老师组织了跳远测 试,小明6次成绩(单位:米)的平均数为7.8,方差为 .如果小明 再跳两次,成绩分别为7.7,7.9,那么小明8次跳远成绩的方差为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      D     初中数学 解析　由题意可知小明8次跳远成绩的平均数是 ×(7.8×6+7. 7+7.9)=7.8(米),∵小明前6次成绩的方差为 ,∴这8次跳远成 绩的方差为 × = .故选D. 初中数学 11.(2025河南安阳期末,★★☆)学校篮球场上九年级(1)班5名 同学正在比赛,将场上五名同学的身高绘制成如图所示的统 计图,中途将1号、5号队员换人,换来的两名队员的身高分别 为172 cm,180 cm,与换人前相比,换人后场上队员的身高  ( ) B     A.平均数不变,方差变小 B.平均数不变,方差变大 C.平均数变大,方差变小 D.平均数变大,方差变大 初中数学 解析　换人前身高的平均数为 ×(173+176+176+178+179)=1 76.4(cm),方差为 ×[(173-176.4)2+2×(176-176.4)2+(178-176.4)2 +(179-176.4)2]=4.24;换人后身高的平均数为 ×(172+176+176 +178+180)=176.4(cm),方差为 ×[(172-176.4)2+2×(176-176.4)2 +(178-176.4)2+(180-176.4)2]=7.04. ∵176.4=176.4,7.04>4.24,∴平均数不变,方差变大. 初中数学 12.(2025安徽合肥一模,★★★)为了适应新的考试评价改革, 需要对学生的原始分进行转换,某班一次数学测试中,全班最 高分是95分,最低分是45分,现将全班学生的成绩进行线性转 换,原始分记为x,转换后的分数记为y,满足y=a+bx,其中b>0.转 换后使得最高分为100分,最低分为30分. (1)某同学原始分是80分,则转换后的分数是_______. (2)若全班原始分数的方差是225,则转换后的班级分数的方差 是_______. 79 441 初中数学 解析    (1)由题意得 解得  ∴y=-33+1.4x,当x=80时,y=-33+1.4×80=79. (2)由(1)得y=-33+1.4x,∴转换后的班级分数的方差为1.42×225 =441. 初中数学   13.【新课标·数据观念】(2025山东临沂期末)2025年5月24日 至31日是第二十五个全国科技活动周.为提高学生对科创的 热情,某校举行了“缤纷科技节”活动,组织全校七、八年级 学生进行了科创知识竞赛.现分别从七、八年级学生中随机 抽取10名学生,并统计这部分学生的竞赛成绩,相关数据统计 整理如下: 【收集数据】七年级10名学生的竞赛成绩:85,78,86,79,72,91, 79,72,69,89. 初中数学 八年级10名学生的竞赛成绩:85,80,76,84,80,72,92,74,75,82. 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如 表: 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 a b 51.8 八年级 80 80 80 s2 初中数学 【问题解决】根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a=_______,b=_______. (2)求所抽取的八年级学生成绩的方差,并估计哪个年级学生 的竞赛成绩更整齐. (3)比赛规定成绩90分及以上为优秀,若该校七年级学生共 1 500人,八年级学生共1 200人,请估计这两个年级的学生中 竞赛成绩达到优秀的学生总人数. 初中数学 解析    (1)将抽取的七年级10名学生的竞赛成绩从小到大排 列为69,72,72,78,79,79,85,86,89,91, ∴a= =79, ∵72和79出现的次数最多,∴b=72,79. 故答案为79;72,79. (2)s2= ×[(85-80)2+2×(80-80)2+(76-80)2+(84-80)2+(72-80)2+(92 -80)2+(74-80)2+(75-80)2+(82-80)2]=33, ∵51.8>33,∴八年级学生的竞赛成绩更整齐. 初中数学 (3)1 500× +1 200× =270(人). 答:估计这两个年级的学生中竞赛成绩达到优秀的学生总人 数为270. 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第1课时　平均数和加权平均数 24.1　数据的集中趋势 24.1.1　平均数 初中数学  　平均数 1.(2025四川泸州期末)某班在开展劳动教育课程调查中发现, 第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3,7,5,6,5,4,则这组 数据的平均数为     ( ) A.4　    B.5　    C.6　    D.7     B     解析     =5,∴这组数据的平均数为5. 初中数学 2.下图是玲玲8月1日~7日在家每天英语早读的时间统计图,则 玲玲这七天平均每天英语早读的时间是 ( ) A.15分钟　    B.20分钟　    C.25分钟　    D.30分钟     C     初中数学 解析　由题图可得,玲玲这七天每天英语早读的时间(分钟)分 别为20,30,15,25,25,30,30,则平均数为  =25(分钟).故选C. 初中数学 3.(2025四川宜宾中考)一组数据:4,5,5,6,a的平均数为6,则a的 值是 ( ) A.7　    B.8　    C.9　    D.10     D     解析　由题意知, =6,解得a=10. 初中数学 4.若数据m,3,5,n的平均数为4,则数据m,n的平均数是  ( ) A.2　    B.4　    C.6　    D.8     B 解析　由题意得 =4,∴m+n=8,∴数据m,n的平均数 是8÷2=4.故选B. 初中数学 5.(2025湖南长沙模拟)在“讲好数学故事”的比赛中,5个评 委老师给小明的打分成绩如下表所示,按照规则:去掉一个最 高分,去掉一个最低分,其余评委的平均分即为选手的最后得 分.则小明的最后得分是____________.     9.0分     评委编号 1 2 3 4 5 成绩 9.2 9.0 9.2 8.5 8.8 解析　小明的最后得分是 =9.0(分). 初中数学 6.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为4,则x1+1,x2+2,x3+3,x4+4, x5+5的平均数为_________.     7     解析　∵数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为4, ∴x1+x2+x3+x4+x5=5×4=20, ∴x1+1,x2+2,x3+3,x4+4,x5+5的平均数为(x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+ x5+5)÷5=(20+1+2+3+4+5)÷5=35÷5=7. 初中数学  　加权平均数 7.(2024四川南充中考)学校举行篮球技能大赛,评委从控球技 能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,再 按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩(百 分制).选手李林控球技能得90分,投球技能得80分.李林的综 合成绩为 ( ) A.170分　    B.86分　    C.85分　    D.84分     B     解析　李林的综合成绩为90×60%+80×40%=86(分). 初中数学 8.(2025河南许昌期末)某校学生期末操行评定奉行五育并举, 德智体美劳五方面按3∶2∶2∶1∶2的比确定最终成绩,王林 同学本学期五方面得分如图所示,则王林的期末操行最终得 分为 ( )       C     A.9.2　    B.9.3　    C.9.1　    D.9.4 初中数学 解析　由题意可得 =9.1. 故选C. 初中数学 9.(2025福建中考)某公司为选拔英语翻译员,举行听、说、 读、写综合测试,其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按 4∶3∶2∶1的比计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工 的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表: 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息,可以判断A,B的大小关系是A______B.(填“>” “=”或“<”) 　>     初中数学 解析　由题意得 =82,解得A=90,  =82,解得B=80, ∵90>80,∴A>B,故答案为>. 初中数学   10.(2025江苏苏州期末,★★☆)已知五个数据:2,2,x,5,8的平均 数是4,现增加了一个数据后的平均数仍不变,则增加的这个数 据是 ( ) A.0　    B.2　    C.4　    D.5     C     初中数学 11.(2025四川广安期末,★★☆)已知五个数据x1,x2,x3,x4,x5的平 均数是a,则3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2这五个数据的平均数是 ____________.     3a-2     解析    ∵数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是a,∴x1+x2+x3+x4+x5=5a,∴ 数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为(5a×3-2×5)÷5=3a- 2.故答案为3a-2. 初中数学 12.【新考向·结论开放题】(2025河北保定模拟,★★☆)检测 游泳池的水质,要求三次检测pH的平均值不小于7.2,且不大于 7.8.已知第一次pH的检测值为7.4,第二次pH的检测值为8.1.若 该游泳池的水质检测合格,则第三次pH的检测值可能为 __________________.(写出一个符合条件的一位小数)     7.0(答案不唯一)     初中数学 解析　设第三次pH的检测值为x, ∵三次检测pH的平均值不小于7.2,且不大于7.8,∴7.2≤  ≤7.8,解得6.1≤x≤7.9, ∴第三次pH的检测值可能为7.0(答案不唯一). 初中数学 13.【学科特色·教材变式】(2025广西中考,★★☆)某班需从 甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔,班委 决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内 容进行考查.全班同学投票确定了各项所占的百分比,结果如 图1,再对甲、乙进行考查并逐项打分,成绩如图2. (1)在所考查的四项内容中,甲比乙更具优势的有哪些? 初中数学    (2)按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩,并确定推荐人 选. 初中数学 解析    (1)由题图2可知,在所考查的四项内容中,甲比乙更具 优势的有口头表达能力和仪容仪表. (2)甲的综合成绩为9×40%+8×30%+7×20%+9×10%=8.3(分), 乙的综合成绩为8×40%+9×30%+9×20%+8×10%=8.5(分), ∵8.5>8.3,∴推荐乙. 初中数学   14.【新课标·数据观念】(2025福建莆田期末)某校八年级对 一次数学测试结果进行统计,八年级(1)班的平均分为85分,(2) 班的平均分为87分,关于以上两个班级所有学生的数学平均 分 ,以下说法一定正确的是 ( ) A. =86 B. 可能大于87 C.若(1)班和(2)班人数相同,则 =86 D.若(1)班人数比(2)班少,则 =87     C     初中数学 解析　∵两个班的人数不确定,∴ 的值不一定等于86,故A说 法错误;∵(1)班平均分为85分,(2)班平均分为87分,∴ 不可能 大于87,故B说法错误;若(1)班和(2)班人数相同,设(1)班人数为 m,则 = =86,故C说法正确;若(1)班人数比(2)班少,则 85< <87,故D说法错误.故选C. 初中数学 15.【新课标·数据观念】【学科特色·教材变式】(2025福建 福州期末)某科技公司招聘一名研发工程师,对甲、乙两名候 选人进行了三项测试,测试成绩如下: 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 专业理论知识 88 85 技术实操水平 95 70 团队协作能力 63 85 初中数学 (1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作 能力同等重要,从甲、乙的平均成绩看,谁将被录取? (2)如果公司认为团队协作能力更重要,对专业理论知识、技 术实操水平、团队协作能力分别赋权1,1,2,计算甲、乙两人 的最终成绩.从成绩看,谁将被录取? 初中数学 解析    (1) = =82(分),  = =80(分), ∵ > ,∴甲将被录取. (2)甲的最终成绩= =77.25(分), 乙的最终成绩= =81.25(分), ∵77.25<81.25,∴乙将被录取. 初中数学 $综合与实践　学生体质健康调查与分析 初中数学 项目背景 近年来,我国肥胖人群的规模快速增长.目前,国际上常用身体质量指数(Body Mass In-dex,缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度,其计算公式是BMI= .中国人的BMI(单位:kg/m2)数值标准为BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<24为正常;24≤BMI<28为超重;BMI>28为肥胖.某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查,从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生,测得他们的身高和体重,并计算出相 应的BMI数值,再参照BMI数值标准分成四组:A.16≤BMI<20;B.20≤BMI<24;C.24≤BMI<28;D.28≤BMI<32 初中数学 收集数据 七年级10名男生数据统计表 七年级10名女生数据统计表 初中数学 整理数据 　　 七年级20名学生BMI频数分布表   　       初中数学 应用数据 (1)s=　　　    ,t=　　　    ,α=　　　    . (2)已知该校七年级有男生260人,女生240人. ①估计该校七年级男生超重的人数. ②估计该校七年级学生BMI≥24的人数. (3)求抽取的10名七年级男生BMI的平均数,中位数和方差. (4)根据以上统计数据,针对该校七年级学生的胖瘦程度,请你提出一条合理化建议 初中数学 解析    (1)由题意得,s= ≈22.0,t=10-3-4-1=2,α=360°×  =72°. 故答案为22.0;2;72°. (2)①260× =52. 答:估计该校七年级男生超重的人数为52. ②260× +240× =126. 答:估计该校七年级学生BMI≥24的人数为126. 初中数学 (3)抽取的10名七年级男生BMI的平均数为 ×(21.6+22.0+16. 5+16.1+24.5+19.4+21.3+21.2+26.6+30.6)=21.98. 中位数为 =21.45,方差为 ×[(21.6-21.98)2+(22- 21.98)2+(16.5-21.98)2+(16.1-21.98)2+(24.5-21.98)2+(19.4-21.98)2 +(21.3-21.98)2+(21.2-21.98)2+(26.6-21.98)2+(30.6-21.98)2]≈17.45. (4)建议该校加强学生的体育锻炼,加强科学饮食习惯的宣传 (答案不唯一,言之有理即可). 初中数学 $第二十四章　数据的分析 24.4　数据的分组 初中数学 1  　组内离差平方和 1.已知一组数据:10,8,9,8,11.刘丽将这些数分成了两组,第一 组:8,8;第二组:9,10,11.则此分组情况下的组内离差平方和是  ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     初中数学 解析　第一组数据的平均数为 =8,则其离差平方和为(8- 8)2+(8-8)2=0; 第二组数据的平均数为 =10,则其离差平方和为(9- 10)2+(10-10)2+(11-10)2=2, ∴此分组情况下的组内离差平方和是0+2=2. 故选B. 初中数学 2.在分组时要求“组内离差平方和最小”,其目的是      ( ) A.使每组数据量相等 B.使每组组内数据差异尽可能小,组间数据差异尽可能大 C.减少计算复杂度 D.保证组间均值相等     B 解析　在分组时要求“组内离差平方和最小”,目的是使每 组组内数据差异尽可能小,组间数据差异尽可能大. 初中数学 3.甲、乙、丙三人分别将同一组数据分成两组并计算出其组 内离差平方和: =5, =1.25, =7.5,则______同学的分法能 使两个组内数据的离散程度最小. 　乙     解析　∵ =5, =1.25, =7.5,∴ < < ,∴乙同学的分法 能使两个组内数据的离散程度最小. 初中数学 4.为考察某品种小麦的长势,测量了8株麦苗的高度(单位:cm), 数据如下:21,26,22,24,25,24,25,21.按照“组内离差平方和达 到最小”的方法,把这8个数据分成两组. 初中数学 解析　将8个数据由小到大排列为21,21,22,24,24,25,25,26,不 同分组情况的组内离差平方和如下表, 分组情况 第1组数据 第2组数据 组内离差 平方和 第1种 21 21,22,24,24, 25,25,26   第2种 21,21 22,24,24,25, 25,26   初中数学 第3种 21,21,22 24,24,25,25,26   第4种 21,21,22,24 24,25,25,26 8 第5种 21,21,22,24,24 25,25,26   第6种 21,21,22,24,24,25 25,26   第7种 21,21,22,24,24,25,25 26   初中数学 比较可知,第3种情况的组内离差平方和最小,故把这8个数据 分成的两组是{21,21,22}和{24,24,25,25,26}. 初中数学  　组间离差平方和 5.下表是某超市上半年的月营业额(单位:万元). 月营业额 20 40 10 月数 3 2 1 将这些上半年的月营业额分成两组,第一组:10,20,20,20;第二 组:40,40.则上述分组情况下的组间离差平方和是_________.     675     初中数学 解析　第一组数据的平均数 = ×(10+20+20+20)=17.5(万 元),第二组数据的平均数 = ×(40+40)=40(万元),这6个数据 的平均数 = ×(20×3+10+40×2)=25(万元),∴所求的组间离差 平方和=4×(17.5-25)2+2×(40-25)2=675. 初中数学   6.(★★☆)将一组数据分成了两组,第一组有5个数据,第二组 有3个数据,其组内离差平方和为 =(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4- 3)2+(x5-3)2+(x6-4)2+(x7-4)2+(x8-4)2,则这8个数据的平均数是 ____. 初中数学 解析　根据组内离差平方和计算公式,得第一组5个数据的平 均数是3,第二组3个数据的平均数是4,∴这8个数据的平均数 是 ×(5×3+3×4)= . 初中数学 7.(2025广东深圳二模改编,★★☆)艺术测评主要是为了掌握 学生艺术素养发展状况,改进美育教学.某校根据义务教育阶 段音乐、美术等学科的课程标准,在九年级随机抽取了若干 位同学进行艺术测评与分析,下面是对九(1)班抽测到的10位 同学的测评分值的分组统计: 初中数学 分组方式 组别 测评分值 方式一(按平均分相同分组) Ⅰ组 80,85,85,90,100 Ⅱ组 80,85,90,90,95 方式二 (按分数段分组) 甲组 80,80,85,85,85 乙组 90,90,90,95,100 初中数学 (1)分别计算方式一、方式二的组内离差平方和与组间离差 平方和. (2)为深入推进小组学习,促进同学间的互帮互助、共同进步, 请你根据以上信息,选择一种有利于开展小组学习的分组方 式,并说明你这样选择的理由. 初中数学 解析    (1)10个数据的平均数 = = 88, 方式一:第Ⅰ组的平均数 = =88, 离差平方和 =(80-88)2+2×(85-88)2+(90-88)2+(100-88)2=230, 第Ⅱ组的平均数 = =88, 离差平方和 =(80-88)2+(85-88)2+2×(90-88)2+(95-88)2=130, ∴方式一的组内离差平方和为230+130=360,组间离差平方和 为0. 初中数学 方式二:甲组的平均数 = =83, 离差平方和 =2×(80-83)2+3×(85-83)2=30, 乙组的平均数 = =93, 离差平方和 =3×(90-93)2+(95-93)2+(100-93)2=80, ∴方式二的组内离差平方和为30+80=110,组间离差平方和为 5×(83-88)2+5×(93-88)2=250. (2)方式二有利于开展小组学习.理由:由(1)中计算知,方式二 的组内离差平方和小于方式一,更有利于开展小组学习,促进 同学间的互帮互助、共同进步(言之有理即可). 初中数学 $第二十四章　数据的分析 第2课时　用方差作决策 24.2　数据的离散程度 初中数学  　用方差作决策 1.(2025甘肃中考)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人 参加比赛.在最近10次的选拔赛中,他们的射击成绩(单位:环) 信息如下: 信息一:甲、乙队员的射击成绩. 甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8. 乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8. 初中数学 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量. 初中数学 根据以上信息,回答下列问题: (1)写出表中m,n的值:m=_______,n=_______. (2)_______队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填“甲”或 “乙”). (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队 员参赛都可以.你认为他说的对吗?请说明理由(写出一条合理 的理由即可). 初中数学 解析    (1)乙队员的成绩按照从小到大排列是6,7,7,8,8,9,9,9,1 0,10,∴m= =8.5, ∵甲队员成绩中8环的次数最多,∴n=8. (2)乙. (3)他说的不对,理由:虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样, 但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥得 更稳定,∴应该推荐乙队员参赛.(理由不唯一) 初中数学   2.【新考向·项目探究题】(2025安徽亳州期末,★★☆)【项目 背景】 为丰富学生课余生活,某校开展以“我心中的英雄”为主题 的朗诵比赛活动. 【数据的收集与整理】 现从九年级和八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩 进行整理分析,成绩用x(分)表示(满分为10分且x是整数),分四 组:A.x<5,B.5≤x<7,C.7≤x<9,D.x≥9.相关数据如下: 初中数学 八年级C组学生的成绩:7,8,7,8,8,8,8. 九年级学生的成绩:8,6,9,8,7,5,6,8,4,5,8,7,10,8,7,9,4,8,7,6. 八、九年级学生朗诵比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 7.5 m 8 1.8 九年级 a b c d 初中数学   【数据的分析与运用】 任务1:a=_______,b=_______,c=_______,d=_______,m= _______. 初中数学 任务2:结合统计量说明哪个年级的朗诵比赛成绩更好,请结合 两种统计量说明理由. 任务3:该校八、九年级各有200名学生参赛,估计这两个年级 成绩优秀(x≥8)的学生总数. 初中数学 解析　任务1:将九年级20名学生的成绩按照从低到高的顺序 排列为4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,10, ∴a= ×(4×2+5×2+6×3+7×4+8×6+9×2+10)=7,b= =7,c=8, ∴d= ×[2×(4-7)2+2×(5-7)2+3×(6-7)2+4×(7-7)2+6×(8-7)2+2×(9-7)2+(10-7)2]=2.6. 八年级A组学生人数为20×15%=3,B组学生人数为20×25%=5, C组学生人数为20×35%=7,D组学生人数为20×25%=5,∵3+5= 8<10,3+5+7=15>11,∴八年级学生成绩的中位数在C组,将C组 初中数学 学生成绩从小到大排列为7,7,8,8,8,8,8, ∴八年级学生成绩的中位数为 =7.5,即m=7.5. 故答案为7;7;8;2.6;7.5. 任务2:八年级的朗诵比赛成绩更好.理由: ∵八年级学生的成绩的平均数和中位数都比九年级的高,∴ 八年级的朗诵比赛成绩更好.(理由不唯一) 任务3:200× =190(人). ∴估计这两个年级成绩优秀(x≥8)的学生总数为190. 初中数学 $第二十四章　数据的分析 24.3　数据的四分位数 初中数学  　百分位数 1.现有一组数据:12,13,15,14,12,20,18,19,16,18,则这组数据的 50%分位数为 ( ) A.15　    B.16　    C.15.5　    D.17     C     解析　将数据从小到大排列为12,12,13,14,15,16,18,18,19,20, ∴这组数据的50%分位数为 =15.5.故选C. 初中数学  　四分位数 2.(2025贵州遵义月考)“幸福感指数”是某人对自己目前生 活状态满意程度的自我评价指标,常用0~10以内的一个数来 表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取8位市民, 他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,7,9,4,5,则该组数据的第一四 分位数为 ( ) A.4.5　    B.5　    C.7.5　    D.8     B     初中数学 解析　把这组数据从小到大排列为4,5,5,6,7,7,8,9, ∴第一四分位数为 =5,故选B. 初中数学 3.某校为了普及消防安全知识,从八年级中选出12名学生参加 消防安全知识竞赛(满分100分),这12名学生的竞赛成绩如下: 84,93,89,88,86,82,85,84,92,88,81,94,这组数据的 ( ) A.最大值与最小值的差为10 B.众数为84 C.中位数为88 D.第三四分位数为90.5     D     初中数学 解析　把这组数据从小到大排列为81,82,84,84,85,86,88,88,8 9,92,93,94,最大值与最小值的差为94-81=13,故A选项错误;众 数为84和88,故B选项错误;中位数为 =87,故C选项错误; 第三四分位数为 =90.5,故D选项正确.故选D. 初中数学 4.【学科特色·教材变式】(2025河北邯郸一模改编)某校举办 校园歌手大赛,决赛中13名参赛选手的得分(满分:10分)分别 为9.5,8.1,7.8,8.5,8.8,9.1,7.5,9.6,8.6,8.8,9.3,9.0,9.6.求这组数据 的四分位数Q1,Q2,Q3. 解析　将这13个数据从小到大排列为7.5,7.8,8.1,8.5,8.6,8.8,8. 8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,9.6. Q2=8.8,Q1= =8.3,Q3= =9.4. 初中数学  　箱线图 5.已知A,B两个班级的人数相同,在一次测试中两个班级成绩 的箱线图如图所示,则A,B两个班级平均分较高的是______班.       B     初中数学 解析　由两个班级成绩的箱线图可知,A班的第三四分位数与 B班的中位数大小相同,均为120,且B班的第一四分位数大于A 班的第一四分位数,B班的最小值也大于A班的最小值,∴B班 的平均分一定大于A班的平均分. 初中数学 6.某银行为了提高服务水平,随机调查了40名顾客的等待时间 (单位:min),结果如下: 2 5 10 3 8 20 25 30 10 15 35 21 7 5 4 18 11 13 20 16 6 12 8 14 15 10 5 21 23 10 3 33 24 15 17 20 27 8 6 16 初中数学 (1)计算这组数据的四分位数并画出箱线图. (2)这40名顾客的平均等待时间是多少?你对该银行改进服务 质量有什么好的建议? 初中数学 解析    (1)将数据从小到大排列为2,3,3,4,5,5,5,6,6,7,8,8,8,10,1 0,10,10,11,12,13,14,15,15,15,16,16,17,18,20,20,20,21,21,23,24, 25,27,30,33,35,则中位数为 =13.5,第一四分位数为 = 7.5,第三四分位数为 =20,数据的最小值为2 min,最大值 为35 min,画箱线图如图所示: 初中数学   (2)这40名顾客的平均等待时间是 ×(2+5+…+6+16)=14.275 (min).应该增加窗口,减少顾客的等待时间(建议合理即可). 初中数学   7.(2025安徽合肥模拟,★★☆)在某校举行的运动会上,参加八 年级男子射箭比赛的20名运动员的成绩如下表所示: 成绩/环 5 6 7 8 9 10 人数 1 1 3 8 6 1 初中数学 某同学分析上表后得出如下结论: ①这些运动员成绩的平均数是8环; ②这些运动员成绩的中位数是7.5环; ③这些运动员成绩的众数是8环; ④这些运动员成绩的第三四分位数是9环. 上述结论中正确的有 ( ) A.1个　    B.2个　     C.3个　    D.4个     C     初中数学 解析　①这些运动员成绩的平均数是 ×(5+6+7×3+8×8+9×6+10)= ×160=8(环),故①正确; ②20个数据从小到大排列后,最中间的两个数据是8,8,∴中位 数为 =8(环),故②错误; ③8环出现次数最多,∴众数是8环,故③正确; ④这些运动员成绩的第三四分位数是 =9(环),故④正确. ∴正确的结论有3个.故选C. 初中数学 8.(★★☆)阿成全班32人参加学校的英文听力测验,如图所示 的是全校与全班成绩的箱线图,若阿成的成绩恰为全校的6 5%分位数,则下列关于阿成在班上排名的叙述,正确的是  ( ) A.在第2~7名之间 B.在第8~15名之间 C.在第16~21名之间 D.在第21~25名之间     A     初中数学 解析　∵阿成的成绩恰为全校的65%分位数,∴阿成的成绩 在70分以上,但未满80分,在全班成绩的箱线图中恰好落在第 三四分位数和最大值之间,32× =8,∴阿成的成绩应在第2~7 名之间.故选A. 初中数学 9.【学科特色·易错题】(2025河南南阳一模改编,★★☆)某校 抽取了某班级12名学生的竞赛成绩(均为整数),从低到高排序 如下:x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,该数据的第一四分位数是 65,如果x2=63,x5=66,则x3=_____________.     64或65     初中数学 解析　∵这组数据共12个数,且这组数据是从低到高排序的, ∴这组数据的第一四分位数为 =65, ∴x3+x4=130,∵x2=63,x5=66,∴63≤x3≤x4≤66. 当x3=63时,x4=67,不合题意;当x3=64时,x4=66,符合题意;当x3=65 时,x4=65,符合题意;当x3=66时,x4=64,不合题意.∴x3=64或65. 初中数学   10.【新课标·数据观念】在一次人才招聘会上,有一家公司的 招聘员说:“我们公司的收入水平很高,去年,在50名员工中,最 高年收入达到了200万元,员工年收入的平均数是10万元.”而 你的预期是获得9万元年收入. (1)试判断自己入职后能否成为此公司的一名高收入者. (2)如果招聘员继续说:“员工年收入的变化范围是从3万元到 200万元.”这个信息能否使你作出应聘的决定?为什么? 初中数学 (3)如果招聘员继续给你提供了如下信息:员工年收入的下四 分位数为4.5万元,上四分位数为9.5万元,那么你该如何使用这 条信息来作出是否应聘的决定? (4)根据(3)中招聘员提供的信息,你能估计出这家公司员工年 收入的中位数是多少吗?为什么平均数比估计出的中位数高 很多? 初中数学 解析    (1)不能,因为平均年收入和最高年收入相差太大,说明 高年收入的员工占极少数,如果有一名员工的年收入为200万 元,那么其余49名员工的年收入之和为300万元,平均年收入约 为6.12万元.如果再有几个年收入特别高的员工,那么初进公 司的员工的年收入将会更低. (2)不能,要看员工年收入的中位数是多少. (3)根据信息可以确定约75%的员工年收入在4.5万元以上,约2 5%的员工年收入在9.5万元以上,预期年收入是9万元,故不会 应聘. 初中数学 (4)年收入的中位数大约是 =7万元,因为平均数受极端 值的影响,所以平均数比中位数高很多. 初中数学 $