5.3.2函数的最值（2）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

四川省苍溪中学高效6+1乐学课堂 5.3.2函数的最值(2) 导 【导入导学】 学习目标 核心素养 1.能够利用导数求函数的最值. 2.能用导数研究与函数最值相关的问题 数学抽象 数学运算、逻辑推理 函数最值是高考导数必考内容，主要考查利用导数求最值、由最值求参数，常与单调性、零点、不等式证明综合，侧重运算与逻辑推理，是选择、填空及解答题的高频考点。 思 【基础感知】 一.认真研读教材92-94页 1.用直线勾画最大值，最小值的概念； 2.圈出关键词：闭区间，连续不断，函数值最大/小； 3.梳理判断最值的条件； 二. 独立思考，找出疑惑，不懂的地方用“？”标出； 三.完成学案上的基础感知部分。 【自学深思】 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 1.重要结论 2.求可导函数在[a,b]上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的_____; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中_____的一个为最大 值,_____的一个为最小值. 条件 在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线 结论 函数y=f(x)在区间[a,b]上必有_______和_______. 连续不断 最大值 最小值 极值 最大 最小 点睛　(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 可导函数的最值必在区间端点或极值点取得. (2)若f(x)在(a,b)内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值,即为最大(小)值. 思 【探究未知】 议 【合作探究】 (2025·长沙)函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值,则实数a的取值范围是(　) A.(-3,+∞) B.（-,-10） C.（-,-3） D.(-10,-3) 【探究未知】 展 【合作探究】 (2025·长沙)函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值,则实数a的取值范围是(　) A.(-3,+∞) B.（-,-10） C.（-,-3） D.(-10,-3) 【解析】函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3, 求导得f'(x)=6x-+a-1=, 由f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值, 得f'(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正, 令h(x)=6x2+(a-1)x-2,h(0)=-2<0, 则h(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正, 因此解得-10<a<-3, 所以实数a的取值范围是(-10,-3). 评 【教师精讲】 类型三 与最值有关的综合问题 (数学运算、逻辑推理) 角度1　求参数的值或范围 例3 若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-12,a)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　.  【解析】因为 f(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3, 令f'(x)<0 解得-1<x<1;令f'(x)>0 ,解得x>1或x<-1, 由此可得f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故函数在x=-1处有极大值,在x=1处有极小值, 所以解得-1<a≤2. (-1,2] 评 【教师精讲】 【总结升华】 知最值求参数的值或范围的策略 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维, 一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点, 根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 提醒:当比较区间端点函数值和极值时,有时需要利用作差法比较大小. 角度2　证明不等式 例4 (教材提升·习题5.3T12)(2023·新高考Ⅱ卷节选)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x. 【证明】构建F(x)=x-sin x,x∈(0,1), 则F'(x)=1-cos x>0对∀x∈(0,1)恒成立, 则F(x)在(0,1)上单调递增,可得F(x)>F(0)=0, 所以x>sin x,x∈(0,1); 构建G(x)=sin x-(x-x2)=x2-x+sin x,x∈(0,1), 则G'(x)=2x-1+cos x,x∈(0,1), 构建g(x)=G'(x),x∈(0,1), 则g'(x)=2-sin x>0对∀x∈(0,1)恒成立, 则g(x)在(0,1)上单调递增, 可得g(x)>g(0)=0, 即G'(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立, 则G(x)在(0,1)上单调递增, 可得G(x)>G(0)=0, 所以sin x>x-x2,x∈(0,1). 综上所述:x-x2<sin x<x. 评 【总结升华】 证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)的步骤 (1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)-g(x)>0; (2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究F(x)的单调性; (3)若F(x)在(a,b)上单调递增,则只需保证F(a)>0; 若F(x)在(a,b)上单调递减,则只需保证F(b)>0; 若F(x)在(a,b)上不单调,通常需证F(x)min>0. 评 评 【教师精讲】 类型一 不含参数的函数的最值问题 (数学运算) 例1【母题】(P93例6)求函数f(x)=x3-4x+4在区间[0,3]上的最大值与最小值. 【变式】将本例函数改为f(x)=x3+x2-3x+4.求f(x)在[-1,2]上的最值. 【解析】f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),令f'(x)=0,解得x1=-3,x2=1, 当x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞), 当x∈(-3,1)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为(-3,1). 又因为f(-1)=,f(1)=,f(2)=, 故最大值为f(-1)=,最小值为f(1)=. 评 【教师精讲】 【即学即练】 (2025·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2-ex. (1)求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若g(x)=f'(x)(f'(x)为函数f(x)的导函数),求g(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值. 【解析】(1)f'(x)=2x-ex, f'(0)=2×0-e0=0-1=-1,f(0)=02-e0=-1, 则有y-(-1)=-(x-0),化简得x+y+1=0, 即f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0. 评 【教师精讲】 【即学即练】 (2025·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2-ex. (1)求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若g(x)=f'(x)(f'(x)为函数f(x)的导函数),求g(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值. 解：(2)g(x)=f'(x)=2x-ex,则g'(x)=(f'(x))'=2-ex, 则当x∈(0,ln 2)时,g'(x)>0,当x∈(ln 2,1)时,g'(x)<0, 故g(x)在(0,ln 2)上单调递增,在(ln 2,1)上单调递减, 则g(x)的最大值为g(ln 2)=2ln 2-2, 又g(0)=2×0-e0=-1,g(1)=2×1-e1=2-e>-1, 故g(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值分别为2ln 2-2,-1. 评 【教师精讲】 类型二 含参数的函数的最值问题(数学运算、逻辑推理) 例2 (2025·连云港)已知f(x)=x3+ax,g(x)=2x2+b,它们的图象在x=1处有相同的切线. (1)求f(x)与g(x)的解析式; (2)若F(x)=f(x)-mg(x)在[,3]上存在单调递增区间,求m的取值范围. 【解析】(1)f'(x)=3x2+a,g'(x)=4x,由题意可得 代入可得解得所以f(x)=x3+x,g(x)=2x2; 评 【教师精讲】 类型二 含参数的函数的最值问题(数学运算、逻辑推理) 例2 (2025·连云港)已知f(x)=x3+ax,g(x)=2x2+b,它们的图象在x=1处有相同的切线. (1)求f(x)与g(x)的解析式; (2)若F(x)=f(x)-mg(x)在[,3]上存在单调递增区间,求m的取值范围. 解：(2)F(x)=x3-2mx2+x,则F'(x)=3x2-4mx+1, F(x)=f(x)-mg(x)在[,3]上存在单调递增区间, 则不等式F'(x)=3x2-4mx+1>0在[,3]上有解, 即4m<3x+在[,3]上有解, 令h(x)=3x+,x∈[,3],则4m<h(x)max即可, h'(x)=3-=,当≤x<时,h'(x)<0,当<x≤3时,h'(x)>0, 所以函数h(x)在[,）上单调递减,在（,3]上单调递增, 又h（）=<h(3)=,所以h(x)max=h(3)=,所以4m<, 解得m<.所以m的取值范围为{m|m<}. 评 【教师精讲】 【总结升华】 含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论, 其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况. 若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得; 若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值. 评 【教师精讲】 【即学即练】 已知函数f(x)=2ex(x+1). (1)求函数f(x)的极值; (2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值g(t). 【解析】(1)f'(x)=2ex(x+2), 由f'(x)>0,得x>-2; 由f'(x)<0,得x<-2. 所以f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减. 所以f(x)的极小值为f(-2)=-2e-2,无极大值. 评 【教师精讲】 【即学即练】 已知函数f(x)=2ex(x+1). (1)求函数f(x)的极值; (2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值g(t). 解：(2)由(1)知,f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.因为t>-3,所以t+1>-2. ①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2)上单调递减,在(-2,t+1]上单调递增,所以g(t)=f(-2)=-2e-2. ②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以g(t)=f(t)=2et(t+1). g(t)= 检 【知识建构】 建 【知识建构】 函数的最值 1.函数有最值时，求参数 2．用最值证明不等式 【课堂检测】 检 建 【知识建构】 证明:当x>0时,1+x>. 【证明】令f(x)=1+x-, 则当x>0时,f'(x)=-=（1-）>0, 所以f(x)=1+x-在(0,+∞)上单调递增,从而f(x)>f(0)=0, 即1+x>.所以原题得证. Thanks for listening $