5.3.2函数的极值（2）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

四川省苍溪中学高效6+1乐学课堂 5.3.2函数的极值 导 【导入导学】 学习目标 核心素养 1.理解函数的极值及相关概念. 2.会结合图用导数求函数的极值. 数学抽象 数学运算、逻辑推理 函数极值是高考导数必考内容，主要考查利用导数求极值、由极值求参数，常与单调性、零点、不等式证明综合，侧重运算与逻辑推理，是选择、填空及解答题的高频考点。 思 【基础感知】 【自学深思】 可导函数的极值 1.可导函数y=f(x)在x=x0处取得极小值的充分条件 (1)_______; (2)在x=x0附近的左侧_______,右侧_______. 2.可导函数y=f(x)在x=x0处取得极大值的充分条件 (1)_______; (2)在x=x0附近的左侧_______,右侧_______. f'(x)=0 f'(x)=0 f'(x)<0 f'(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0 【探究未知】 议 【合作探究】 求函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)的极值. 【预设展】 ——我展示！ ——我提问！ ——我回答！ ——我补充！ ——我纠错！ ——我质疑！ 展 【激情展示】 求函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)的极值. 【解析】f'(x)=3(x2-a)(a≠0), 当a<0时,f'(x)>0恒成立,即函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数没有极值; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=-或x=. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表: x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极大值为f(-)=2a+b,极小值为f()=-2a+b. 评 【教师精讲】 例3 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-. (1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-(x>0), 所以f(1)=1,f'(1)=-1, 所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 类型三 含参数的极值问题 (数学运算、逻辑推理) 评 【教师精讲】 例3 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. (2)已知f'(x)=1-=,x>0. ①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值; ②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a; 当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 类型三 含参数的极值问题 (数学运算、逻辑推理) 评 【教师精讲】 类型三 含参数的极值问题 (数学运算、逻辑推理) 【总结升华】 含参数函数极值的求法 求解析式中含有参数的函数极值时,通常需要分类讨论.讨论的依据有两种: 一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论; 二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论. 评 【教师精讲】 类型三 根据极值求参数的值或范围 (数学运算、逻辑推理) 角度1　已知极值点求参数的值 例4 (2025·新高考Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  【解析】由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2), 因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2, 当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4), 当x∈(-∞,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意; 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 评 【教师精讲】 【总结升华】 已知极值点求参数的两个关注点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)因为“某点处导数值等于零”是“该点为极值点”的必要不充分条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 评 【教师精讲】 角度2　已知极值的存在情况求参数的取值范围 例5 (多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值又有极小值,则(　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 【解析】函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=--=, 类型三 含参数的极值问题 (数学运算、逻辑推理) 因为函数f(x)既有极大值又有极小值,则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,而a≠0, 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,x2,于是 即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,即bc<0,A错误. BCD 评 【教师精讲】 【总结升华】 已知极值的存在情况求参数范围的方法 (1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路:求导后分离参数,转化为直线与曲线的交点问题. (2)对于函数无极值的问题,往往转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立. 提醒:由f(x)在区间(a,b)内有极值,可知f'(x)=0在(a,b)内存在变号零点x0,即函数f'(x)的图象在x=x0处穿过x轴. 评 【教师精讲】 若函数在区间上有极值点，则实数 的取值范围为_______. 【即学即练】 【解析】因为函数在区间 上有极值点，所以 在区间 上有零点，且在零点附近左右两侧导数值异号. ①当在区间 上只有一个零点时， 或或 解得 . 评 【教师精讲】 若函数在区间上有极值点，则实数 的取值范围为_______. 【即学即练】 【解析】因为函数在区间 上有极值点，所以 在区间 上有零点，且在零点附近左右两侧导数值异号. ②当在区间上有两个不同的零点时, , 解得 .综上,实数的取值范围为 . 评 【教师精讲】 若函数在区间上有极值点，则实数 的取值范围为_______. 【即学即练】 令,则在区间 上有解. 由函数的性质可知，当时，,所以 . 当时，，单调递增，则 无极值， 不符合题意，舍去. （【明易错】时刻牢记检验导函数的函数值恒大于0或恒小于0的情况） 综上可知，实数的取值范围为 . 检 【知识建构】 建 【知识建构】 函数 的 极值 极值的概念 01 极值与导数的关系 02 极值点与零点的关系 03 【课堂检测】 检 建 【知识建构】 1.若函数f(x)=(ax2+b)ex在x=1时有极小值-2e,则ab=(　　) A.-2 B.-3 C.-e D.-1 【解析】选B.f'(x)=(ax2+2ax+b)ex,因为f(x)在x=1时有极小值-2e, 所以即解得 此时f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex, 当x<-3或x>1时,f'(x)>0,当-3<x<1时,f'(x)<0, 所以f(x)在x=1时有极小值成立, 所以ab=-3. 【课堂检测】 检 建 【知识建构】 2 (2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x. (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程; (2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. 【解析】(1)f(x)=ln x--x, f'(x)=+-1=2⇒(3x+2)(x-1)=0, 因为x>0,所以x=1,故切点为(1,-3), 又斜率为2,所以切线方程为y=2x-5. 【课堂检测】 检 建 【知识建构】 2 (2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. (2)f'(x)=--1,因为x=1为f(x)的极小值点, 所以f'(1)=a-b-1=0,a=b+1, 所以f'(x)=-=-. ①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0⇒x=1, 此时当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, f(x)在x=1时取得极大值,舍去. ②当b=1时,f'(x)=-≤0, f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)不存在极值,舍去. ③当0<b<1时,当0<x<b时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当b<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 此时,f(x)在x=1时取得极大值,舍去. ④当b>1时,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当1<x<b时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 此时f(x)在x=1时取得极小值,符合题意. 综上,b的取值范围为(1,+∞). Thanks for listening $