5.3.3 利用导数解决与函数有关的问题 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

四川省苍溪中学高效6+1乐学课堂 5.3.3　利用导数解决与函数有关的问题 导 【导入导学】 学习目标 核心素养 1.能利用导数解决生活中的最值问题. 2.体会导数在解决不等式恒成立与有解问题中的作用. 3.能利用导数解决函数的零点与方程根的问题. 数学建模 数学运算、逻辑推理 数学运算、逻辑推理 求可导函数在[a,b]上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的_____; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中_____的一个为最大 值,_____的一个为最小值. 极值 最大 最小 点睛　(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 可导函数的最值必在区间端点或极值点取得. (2)若f(x)在(a,b)内可导,且有唯一的极大(小)值, 则这一极大(小)值,即为最大(小)值. 思 【基础感知】 【探究未知】 议 【合作探究】 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V表示为x的函数; (2)x多大时,方盒的容积V最大? 【探究未知】 展 【合作探究】 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V表示为x的函数; (2)x多大时,方盒的容积V最大? 【解析】(1)V(x)=(a-2x)2x（0<x<）. (2)V'(x)=12x2-8ax+a2,令V'(x)=0,得x=或x=(舍去). 所以当x∈（0,）时,V'(x)>0, x∈（,）时,V'(x)<0.所以当x=时,方盒的容积V最大. 评 【教师精讲】 例1 若将本例条件改为:将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形,再把它沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数;并探究当x多大时,盒子的容积V最大. 【解析】如图,易得MN=CD=x(0<x<1),AC=, 则盒子的高h=CM==, 所以盒子的底面积S=6S△OMN=6×x2sin 60°=x2, 所以盒子的容积V(x)=Sh=x2×(1-x)=x2(1-x),x∈(0,1). 类型一 实际生活中的最值问题 (数学建模、数学运算) 所以V'(x)=(2x-3x2),令V'(x)=0,解得x1=,x2=0(舍去), 所以当0<x<时,V'(x)>0,则V(x)单调递增,当<x<1时,V'(x)<0,则V(x)单调递减, 所以当x=时,V(x)取得极大值,即最大值, 所以当x=米时,盒子的容积最大. 评 【教师精讲】 【总结升华】 利用导数解决实际问题的注意事项 (1)当问题中涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量间的关系式; (2)确定函数关系式中自变量的取值范围; (3)所得的结果要符合问题的实际意义. 提醒:注意方法的灵活运用,如配方法、基本不等式法、导数法. 类型二 导数在解决不等式恒成立与存在性问题中的应用(数学运算、逻辑推理)  【典例2】[易错·对对碰]设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c, (1)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,则实数c的取值范围是　　　　　　　;  (2)若对任意的x∈(0,3),都有f(x)<c2成立,则实数c的取值范围是　　　　　　　.  【解析】(1)因为f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 令f'(x)=0,得x=1或x=2. 所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c. 又f(3)=9+8c>f(1), 所以x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c. 因为对任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立, 所以9+8c<c2,即c<-1或c>9. 所以c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). (2)由(1)知f(x)<f(3)=9+8c, 所以9+8c≤c2,即c≤-1或c≥9, 所以c的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞). (-∞,-1)∪(9,+∞) (-∞,-1]∪[9,+∞) 评 【总结升华】 恒成立与存在性问题向最值问题转化的方法 ∀x∈D,k≤g(x)成立➡k≤g(x)min ∀x∈D,k≥g(x)成立➡k≥g(x)max ∃x∈D,k≤g(x)成立➡k≤g(x)max ∃x∈D,k≥g(x)成立➡k≥g(x)min 类型二 导数在解决不等式恒成立与存在性问题中的应用 评 评 【教师精讲】 【即学即练】 (2025·运城)已知函数f(x)=x·ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值. (1)求a和b的值; (2)若存在实数x∈[1,2],使不等式f(x)≤x2+(t-1)x成立,求实数t的取值范围. 【解析】(1)由f(x)=x·ex+ax2+bx得f'(x)=(x+1)·ex+2ax+b, 因为函数f(x)在x=0和x=1时都取得极值, 故得得 故a=-e,b=-1. 评 【教师精讲】 【即学即练】 (2025·运城)已知函数f(x)=x·ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值. (1)求a和b的值; (2)若存在实数x∈[1,2],使不等式f(x)≤x2+(t-1)x成立,求实数t的取值范围. (2)由(1)可知f(x)=x·ex+（-e）x2-x, 由f(x)≤x2+(t-1)x得x·ex+（-e）x2-x≤x2+(t-1)x,因为x∈[1,2],故t≥ex-ex, 设g(x)=ex-ex,x∈[1,2],则g'(x)=ex-e,易知g'(x)=ex-e在[1,2]上单调递增, 故g'(x)=ex-e≥g'(1)=0,故g(x)在[1,2]上单调递增,故g(x)min=g(1)=0, 故由题意可知t≥0,即实数t的取值范围为[0,+∞). 评 【教师精讲】 类型三 利用导数解决函数的零点或方程的根问题(数学运算、直观想象) 【典例3】(教材提升·例7)(2025·临沂高二检测)已知函数f(x)=xex-1. (1)判断f(x)的单调性,并求f(x)的极值; (2)若函数g(x)=f(x)-a(a∈R),求g(x)的零点个数. 【解析】(1)因为f'(x)=ex-1(x+1),x∈R, 所以当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)的极小值为f(-1)=-,无极大值; 评 【教师精讲】 类型三 利用导数解决函数的零点或方程的根问题(数学运算、直观想象) 【典例3】(教材提升·例7)(2025·临沂高二检测)已知函数f(x)=xex-1. (1)判断f(x)的单调性,并求f(x)的极值; (2)若函数g(x)=f(x)-a(a∈R),求g(x)的零点个数. (2)当x→-∞时,f(x)→0;当x→+∞时,f(x)→+∞,且f(0)=0, 同时结合(1),可得f(x)的图象为: 又g(x)=f(x)-a的零点个数,即为y=f(x)与y=a的交点个数, 由数形结合可得:当a∈（-∞,-）时,g(x)的零点个数为0; 当a∈（-,0）时,g(x)的零点个数为2; 当a∈[0,+∞)∪{-}时,g(x)的零点个数为1. 【总结升华】 确定函数零点或方程根的个数的常用方法 (1)构建函数:确定方程根的个数可以构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义域区间端点处的函数值等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数. (2)利用函数零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号,进而判断函数在该区间上的零点的个数. 评 评 【教师精讲】 【即学即练】 已知函数f(x)=x3+2ax2+bx+a-1在x=-1处取得极值0,其中a,b∈R. (1)求a,b的值; (2)当x∈[-1,2]时,方程f(x)=k有两个不等实数根,求实数k的取值范围. 【解析】(1)由f(x)=x3+2ax2+bx+a-1求导得f'(x)=3x2+4ax+b, 依题意可知即解得a=b=1, f(x)=x3+2x2+x,f'(x)=3x2+4x+1,由f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)=0得x=-1或x=-, 当x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当-1<x<-时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故x=-1时,函数取得极大值f(-1)=0,故a=b=1. 评 【教师精讲】 【即学即练】 已知函数f(x)=x3+2ax2+bx+a-1在x=-1处取得极值0,其中a,b∈R.(1)求a,b的值; (2)当x∈[-1,2]时,方程f(x)=k有两个不等实数根,求实数k的取值范围. 解析：(2)由(1)得f(x)=x3+2x2+x,f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,解得x=-或x=-1, 因为x∈[-1,2],故当-1<x<-时f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当-<x<2时f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x=-时,f(x)取得极小值,无极大值,所以f(x)min=f（-）=-, 所以在区间[-1,2]上,f(x)的最大值为f(-1)或f(2),而f(-1)=0,f(2)=8+8+2=18, 所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为18,最小值为-, 作出函数y=f(x)与直线y=k的图象, 如图,由图知-<k≤0,所以k的取值范围为（-,0]. 常见的函数不等式 一、两个经典不等式 1.对任意x∈R,都有ex≥x+1. 2.对任意x∈(0,+∞),都有ln x≤x-1. 二、几个常见变式 1.在ex≥x+1中用x-1代换x,得ex-1≥x,继续两边同乘e得ex≥ex. 2.在ln x≤x-1中用代换x,得ln x≤. 3.在ln x≤x-1中用代换x,得ln x≥1-. 三、图示 评 评 【教师精讲】 【典例4】求证:当x∈(1,+∞)时,1<<x. 【证明】当x>1时,ln x>0,又因为ln x<x-1, 故当x∈(1,+∞)时,>1, 又可将代入ln x<x-1, 得ln<-1, 即-ln x<-1⇔ln x>1-⇔ln x>⇔x>, 故当x∈(1,+∞)时恒有1<<x. 常见的函数不等式 检 【知识建构】 建 【知识建构】 函数的最值 1. 实际生活中的最值问题 2.恒成立问题与存在性问题 3．函数的零点和方程的根 4．常见不等式的应用 【课堂检测】 检 建 【知识建构】 (2024·海口)我国某企业为突破技术难题,组织多个科研团队,加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件,根据以往数据,每年研发投入的固定费用为12ln 3万元,每生产a万件增加投入a万元,且生产的都能销售完,预计2024年销售收入f(x)(单位:万元)与销量x(单位:万件)之间满足关系式f(x)=-x2+3x+12ln x+20. (1)写出该企业2024年的利润F(x)(单位:万元)关于该产品的销量x的函数解析式; (2)当该产品2024年的销量目标定为多少万件时,该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 【解析】(1)由题意得,生产该产品的投入为x+12ln 3万元, 所以F(x)=f(x)-x-12ln 3=-x2+3x+12ln x+20-x-12ln 3=-x2+2x+12(ln x-ln 3)+20,其中1≤x≤8. (2)F'(x)=-2x+2+==,1≤x≤8,令F'(x)=0,得x=-2或3, 当1≤x<3时,F'(x)>0,F(x)在(1,3)上单调递增; 当3<x≤8时,F'(x)<0,F(x)在(3,8)上单调递减,所以当x=3时,F(x)取得最大值F(3)=17. 所以当该产品2024年的销量目标定为3万件时,该企业能从中获利最大,最大利润为17万元. Thanks for listening $