6.2.3 向量的数乘运算（第二课时）平面向量共线定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算（第二课时） ——平面向量共线定理 1、 学习目标 1.理解并掌握向量共线定理。 2.能灵活运用定理解决向量共线判定、三点共线证明以及参数求值问题。 3.通过“问题链”层层递进，体会几何特征代数化的思想，提升数学建模意识。 二、教学重难点 重点：向量共线定理及其在几何与代数间的转化应用（判断向量共线、证明三点共线） 难点：向量共线定理的灵活运用（尤其是含参数问题的求解）。 2、 学习过程 （一）前置性作业 1.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作，其长度与方向规定如下： （1）= ；（2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ．由(1)可知，当时， ．由(1)(2)可知， ． 2.向量数乘运算律:（1） ；（2） ；（3） ． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是 ． 对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有 （二）自主探究 问题1：若无人机A位移向量为，无人机B沿着A的方向且速度是A的3倍，请画出B的位移向量，请写出与的关系. 追问1.1. 若无人机A在O点，无人机B在P点，但它们位移方向依然在同一直线（平行），此时位置向量之间还有简单的倍数关系k吗？如果有，这个 k 代表什么？如果没有，那又该用什么数学语言来描述它们“共线”这一几何特征？ 问题2.向量共线是否意味着两向量必须在同一直线上？ 追问2.1. 若 ，，它们共线吗？能否写成？若呢？ 追问2.2. 若 ，能否推出？ 追问2.3. 若，是否一定存在唯一实数λ使成立？ 问题3.通过问题2及3个追问，你能归纳出两个向量共线定理吗？ 追问3.1. 你能解释定理中为什么要规定“”？ 【定理辨识】判断正误，并说明理由. (1)若向量与共线，则存在唯一的实数λ，使. ( ) (2)若，则与共线． ( ) （3）已知不共线，满足，则与共线. ( ) （三）例题评析 例1.如图，已知任意两个非零向量，，试作，，．猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 变式1.已知，是两个不共线的向量.若，，，求证：A，B，D三点共线； 【解题反思】证明三点共线的方法有那些？用向量证明三点共线需要注意什么？ 变式2.已知A，B，C三点共线，O为直线外任意一点，若，求x＋y的值． 【答案】1 想一想. 已知为直线外任意一点，若，满足，那么三点共线吗？ 【答案】共线 变式3.如图所示，在中，B为AC边上的一点，且，若，则________. 【答案】-2 变式4.如图所示，在中，B为AC边上的一点，且，若，则________________.(用常数表示） 【答案】 思考：在变式4中，与前的系数有什么关系？它能推广到一般情况吗？为什么？ 应用1.在中，若，则（ ） A． B． C． D． 例2.已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 变式1.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . （四）当堂测评 1.（24-25高一下·安徽合肥·月考）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为(　 ) A．－1或3 B． C．－1或4 D．3或4 3.已知，则共线的三点为（ ） A． B． C． D． 参考答案：AAD （五）课堂小结 1.今天我们用哪一个代数等式刻画了“点在直线上”的几何特征？ 2.证明三点共线的通法是什么？（选公共起点，证终点向量线性相关，且系数和为1） （六）课后巩固 1.已知向量不共线，，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．2 D． 2.在中，M为边中点，N为的中点，，则（　） A． B． C． D．1 3.已知向量不平行，，则（  ） A． B． C．1 D．2 4.已知，若A、、三点共线，则为（    ） A．B．C．D． 5.(多选题)已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使共线的是（ ） A．且 B．存在相异实数，使 C．(其中实数满足) D．已知梯形，其中 6.已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 7.在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 8. 设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 9. （***）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，若，则 ． 11. （25-26高三上·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 12.（***）如图，O是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等， __（用表示） 13.设不共线，且＝a＋b(a，b∈R)． (1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线． (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由． 【答案】 1-5.ACB A AB 6-9.AA DD 10. 11. 12. 13.（1）略； （2）a＋b=1 ( 第 4 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $