第三单元长方体和正方体应用题（专项训练） -2025-2026学年五年级下册数学人教版

第三单元 长方体和正方体应用题 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高10厘米，先往玻璃缸里注入水，水深9厘米，再把两块棱长为8厘米的正方体石块放入玻璃缸中，溢出的水是多少毫升？ 2．有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 3．一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？ 4．一张长60厘米，宽40厘米的硬纸板，从四个角剪去四个边长为5厘米的正方形后，折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ (2)长方体纸盒的体积是多少立方厘米？ 5．一间教室长9米，宽8米，高3米，门窗面积合计18平方米，如果每平方米用0.5千克涂料粉刷，地面和门窗除外，共用涂料多少千克？如果每千克卖15元，粉刷这间教室需要多少钱？ 6．一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体玻璃缸装有水，水深2.8分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 7．一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 8．一个长方体容器，长5分米，宽4分米，高3分米，将一个棱长2分米的钢材完全浸没在水里，水面上升多少厘米？ 9．把如下图所示的展开图折成一个长方体。（单位：cm）。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)这个长方体的表面积和体积分别是多少？ 10．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 11．一种微波炉，外形尺寸（长×宽×高：440×360×260），腔体尺寸（长×宽×高：300×310×200），包装尺寸490×390×310（单位：毫米）。这个微波炉的容积大约是多少升？ 12．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 13．一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 14．一个长方体的容器，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，容器内装满水后，将铁块完全没入水中，水溢出，然后将铁块取出，这时容器中的水面降低了9厘米。铁块的体积是多少立方分米？ 15．将下面长方体容器中的水全部倒入正方体容器中，正方体容器中的水面高多少厘米？ 16．一个长方体容器，从里面量底面长10厘米，宽9厘米，里面装有8.5厘米深的水，放入一个西红柿后水面上升到10厘米，求西红柿的体积是多少立方厘米？ 17．刘师傅要制作一节正方体的通风管，正方体的棱长是15厘米，至少需要多少平方厘米的铁皮？ 18．一个长16厘米、宽4厘米、高20厘米的玻璃水缸中，原来水缸中水深10厘米，把一个正方体铁块放入后，水面上升到12厘米，正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 19．张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 20．小智参加“2024年全国青少年航天创新比赛”，需要把棱长是8厘米的正方体粘土捏成一个长是16厘米，宽是4厘米的长方体粘土太空舱，这个长方体太空舱的高是多少厘米？ 21．博爱小学有一间长10米、宽6米、高3.5米的长方体教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁贴上瓷砖，除去门、窗、黑板的面积6平方米，这间教室贴瓷砖的面积是多少平方米？ 22．如图是一个长方体玻璃缸，从里面量长2分米，宽1.6分米，高1.5分米。在这个玻璃缸中注入深1分米的水。 （1）这个长方体玻璃缸最多能装多少升水？ （2）将一个石块完全浸没在水中，水面上升到1.3分米。石块的体积是多少立方分米？ 23．学校为种植角制作长方体花盆（无盖），这个花盆的长是10以内最大的合数，宽是最小的合数，高是质数，且体积为180立方分米。给花盆四周的外部（不含底面）刷防水漆，每平方分米用漆0.3千克，一共需要多少千克的防水漆？ 24．小明家有一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高6分米。 （1）这个玻璃缸的容积是多少升？ （2）玻璃缸中装有18升水，放入一块石头（完全浸没）后，水面高度为34厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 25．一间长方体仓库长为8米，宽为6米，高为4米。仓库装有一扇门，门宽为2米，高为2米。（如图） （1）这间仓库的容积是多少立方米？ （2）给仓库内部离地面1米以下的四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．274 毫升 【分析】先计算玻璃缸内剩余空间的体积，剩余空间是一个长方体，水深9厘米，剩余空间高10－9＝1厘米，长方体体积＝，把数据代入公式计算即可，再根据正方体体积＝，计算两块正方体石块体积，石块占据玻璃缸的空间，剩余空间不够，水会溢出，所以得到数量关系：溢出水的体积＝两块正方体石块的体积－长方体玻璃缸内剩余空间的体积，据此解答。 【详解】玻璃缸内剩余空间的体积： 30×25×（10－9） ＝30×25×1 ＝750（立方厘米） 两块正方体石块的总体积： 8×8×8×2 ＝64×8×2 ＝512×2 ＝1024（立方厘米） 溢出水的体积： 1024－750＝274（立方厘米） 274立方厘米＝274毫升 答：溢出的水是 274 毫升。 【点睛】本题考查溢出水的体积，关键是找到数量关系：溢出水的体积等于放入物体的总体积减去容器内剩余空间的体积。 2． 94 平方厘米 【分析】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。 【详解】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2 ＝ （12＋15＋20）2 ＝ 472 ＝ 94（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。 【点睛】由题意，长增加2厘米，体积增加24立方厘米，可知宽高2＝24立方厘米，则宽高＝12平方厘米．同理可知长高＝15平方厘米，长宽＝20平方厘米，根据长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，列式解答。 3．48立方分米 【分析】根据题意，完全浸没在水中的石头假山的体积等于水面上升部分的水的体积，先用水面上升后的高度4.2分米减原来的水面高度3分米，计算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式“长方体体积＝长×宽×高”，用鱼缸的长8分米乘宽5分米乘水面上升的高度，即可求出石头假山的体积，据此解答。 【详解】计算水面上升的高度4.2－3＝1.2（分米） 计算石头假山的体积长方体体积＝长×宽×高 8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这个石头假山的体积是48立方分米。 4．(1)2300平方厘米 (2)7500立方厘米 【分析】（1）长方体纸盒的表面积＝长方形纸盒面积－四个正方形面积，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 （2）折成长方体的长是（60－5×2）厘米，宽是（40－5×2）厘米，高是5厘米；根据长方体体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】（1）60×40－5×5×4 ＝2400－25×4 ＝2400－100 ＝2300（平方厘米） 答：长方体纸盒的表面积是2300平方厘米。 （2）（60－5×2）×（40－5×2）×5 ＝（60－10）×（40－10）×5 ＝50×30×5 ＝1500×5 ＝7500（立方厘米） 答：长方体纸盒的体积是7500立方厘米。 5． 78千克；1170元 【分析】先根据“粉刷面积＝长×宽＋宽×高×2＋长×高×2－门窗面积”计算出需要粉刷的面积；用粉刷面积乘每平方米用的涂料质量即可求总共需要的涂料质量；根据“单价×数量＝总价”用总共需要的涂料质量乘每千克的价格即可求粉刷教室需要的费用。 【详解】9×8＋8×3×2＋9×3×2－18 ＝9×8＋24×2＋27×2－18 ＝72＋48＋54－18 ＝120＋54－18 ＝174－18 ＝156（平方米） 156×0.5＝78（千克） 78×15＝1170（元） 答：共用涂料78千克；粉刷这间教室需要1170元。 6．6.4升 【分析】先根据长方体体积＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积，再用长×宽×水深，求出缸里原有水的体积；接着根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，最后把原有水的体积和铁块的体积加起来，减去玻璃缸的总容积，求出溢出水的体积，再根据1立方分米＝1升，转换单位即可。 【详解】玻璃缸总容积：8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方分米） 缸内原有水的体积：8×6×2.8 ＝48×2.8 ＝134.4（立方分米） 正方体铁块体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 溢出水的体积：134.4＋64－192 ＝198.4－192 ＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 7．500平方厘米；1000立方厘米 【分析】无盖纸板的面积＝长方形纸板的面积－4个小正方形的面积； 纸盒的容积＝纸盒的长×纸盒的宽×纸盒的高，纸盒的长＝长方形纸板的长－5×2，纸盒的宽＝长方形纸板的宽－5×2，纸盒的高为5cm。 【详解】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 8．4厘米 【分析】钢材完全浸没在水中，水面上升的体积等于钢材的体积。先求出钢材的体积，再用这个体积除以容器的底面积，得到水面上升的高度。最后注意单位换算，将结果从分米转换为厘米。 【详解】 （分米） 0.4分米＝4厘米 答：水面上升4厘米。 9．(1)F (2)表面积是288平方厘米，体积是288立方厘米。 【分析】（1）将展开图还原成长方体后，A和F相对，B和D相对，C和E相对，所以如果A面在下面，那么F面在上面。 （2）由图可知，长方体的长是12厘米，宽是6厘米，高是4厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，列式求出长方体的表面积和体积即可。 【详解】（1）如果A面在下面，那么F面在上面。 （2）表面积： 体积： 答：这个长方体的表面积是288平方厘米，体积是288立方厘米。 10．表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 11．18.6升 【分析】这道题需明确：容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，据此通过题目中已知的腔体尺寸（长×宽×高：300×310×200）进行计算，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出微波炉的容积。注意统一单位。 【详解】根据分析： 300毫米＝3分米 310毫米＝3.1分米 200毫米＝2分米 3×3.1×2 ＝9.3×2 ＝18.6（立方分米） ＝18.6（升） 答：这个微波炉的容积大约是18.6升。 12．1024立方厘米 【分析】分析题目，剪去的正方形的边长可以为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，做成的无盖的长方体的长为24－正方形的边长×2、宽为24－正方形的边长×2和高为正方形的边长；再利用长方体的体积＝长×宽×高，分别计算求出四种情况的纸盒的体积，比较即可。 【详解】①当小正方形的边长为1厘米时， （24－1×2）×（24－1×2）×1 ＝（24－2）×（24－2）×1 ＝22×22×1 ＝484（立方厘米） ②当小正方形边长为2厘米时， （24－2×2）×（24－2×2）×2 ＝（24－4）×（24－4）×2 ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） ③当小正方形的边长为3厘米时， （24－3×2）×（24－3×2）×3 ＝（24－6）×（24－6）×3 ＝18×18×3 ＝972（立方厘米） ④当小正方形的边长为4厘米时， （24－4×2）×（24－4×2）×4 ＝（24－8）×（24－8）×4 ＝16×16×4 ＝1024（立方厘米） ⑤当小正方形的边长为5厘米时， （24－5×2）×（24－5×2）×5 ＝（24－10）×（24－10）×5 ＝14×14×5 ＝980（立方厘米） 1024＞980＞972＞800 答：这个长方体盒子的体积最大是1024立方厘米。 13．4.6分米 【分析】油从一个正方体油箱倒入一个长方体油箱，油的体积没变。根据长方体的体积计算公式“”，用这些油的体积除以长方体油箱的长和宽即可求出油面高度，再用油箱的高度减油面高度，即可求出油面离箱口的高度。 【详解】 （分米） 1米＝10分米 （分米） 答：油面离箱口有4.6分米。 14．5.4立方分米 【分析】铁块的体积就等于下降部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出铁块的体积是多少立方厘米，再根据1立方分米＝1000立方厘米，把立方厘米化为立方分米。 【详解】30×20×9 ＝600×9 ＝5400（立方厘米） 5400立方厘米＝5.4立方分米 答：铁块的体积是5.4立方分米。 15．4.5厘米 【分析】长方体容器的底面是一个长为12厘米，宽为6厘米，水深4厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体容器中水的体积，正方体容器的底面是一个边长为8厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体容器底面积，再用水的体积除以底面积求出水的高度，据此解答即可。 【详解】12×6×4÷（8×8） ＝12×6×4÷64 ＝288÷64 ＝4.5（厘米） 答：正方体容器中的水面高4.5厘米。 16．135立方厘米 【分析】根据在一个长方体容器中放入一个物体，水没有溢出，则放入物体的体积就是水面上升的体积。放入一个西红柿后水面上升到10厘米，则西红柿的体积就是水面上升的体积，水面上升的体积＝容器的长×容器的宽×水面上升的高度，把数据代入算式，据此解答。 【详解】水面上升的高度：10－8.5＝1.5（厘米） 10×9×1.5 ＝90×1.5 ＝135（立方厘米） 答：西红柿的体积是135立方厘米。 17．900平方厘米 【分析】制作的通风管只算正方体4个面的面积之和，用正方体一个面的面积乘6即可。 【详解】15×15×4＝900（平方厘米） 答：至少需要900平方厘米的铁皮。 18．128立方厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块的体积等于放入正方体铁块后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【详解】16×4×（12－10） ＝16×4×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 答：正方体铁块的体积是128立方厘米。 19．（1）118平方分米 （2）75立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体无盖鱼缸的表面积，根据长方表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求鱼缸里注入2.5分米深的水，求鱼缸里的水的体积，就是求长是6分米，宽是5分米，高是2.5分米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）6×5＋（6×4＋5×4）×2 ＝30＋（24＋20）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×2.5 ＝30×2.5 ＝75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 20．8厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据题意知二者体积相等，代入数据即可求得长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 答：这个长方体太空舱的高是8厘米。 21．（1）210立方米 （2）106平方米 【分析】（1）根据长方体的体积等于长乘宽乘高进行计算即可解得。 （2）根据长方体的表面积公式，，依次计算教室四面墙的面积再减去已知门、窗、黑板的面积即可解得；据此解答。 【详解】（1）（立方米） 答：这间教室的空间为210立方米。 （2） （平方米） （平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是106平方米。 22．（1）4.8升 （2）0.96立方分米 【分析】（1）求长方体容积用长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据求出这个玻璃缸最多能装多少立方分米的水，1立方分米＝1升，再根据进率转换单位； （2）水面上升部分的体积就是石块的体积，用“底面积×水面上升的高度”求出石块的体积。 【详解】（1）2×1.6×1.5 ＝3.2×1.5 ＝4.8（立方分米） 4.8立方分米＝4.8升 答：这个长方体玻璃缸最多能装4.8升水。 （2）2×1.6×（1.3－1） ＝3.2×0.3 ＝0.96（立方分米） 答：石块的体积是0.96立方分米。 23．39千克 【分析】除了1和自身外还有其他因数的数是合数，10以内最大的合数是9，即长为9分米；最小的合数是4，即宽为4分米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，体积为180立方分米，所以高为：180÷9÷4＝5分米，5是质数，符合条件。 刷防水漆的面积为四周外部，不含底面，花盆为“无盖长方体”，刷漆部分是4个侧面的面积（前、后、左、右），公式为：侧面积＝2×（长×高＋宽×高），把长9分米，宽4分米，高5分米代入计算后，再与0.3千克相乘即可。 【详解】10以内最大的合数是9，最小的合数是4。 180÷9÷4＝5分米 2×（9×5＋4×5） ＝2×（45＋20） ＝2×65 ＝130（平方分米） 0.3×130＝39（千克） 答：一共需要39千克的防水漆。 24．（1）45升 （2）7500立方厘米 【分析】（1）已知玻璃缸从里面量的尺寸：长30厘米、宽25厘米、高6分米。因为1分米＝10厘米，所以高换算为厘米是：6×10＝60厘米。长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，玻璃缸的容积等于其内部空间的体积，代入数据得：30×25×60＝45000（立方厘米）。1升＝1000立方厘米，据此把单位换算为升即可。 （2）石头完全浸没后，水面上升的体积等于石头的体积，即：石头体积＝放入石头后水和石头的总体积－原有水的体积。已知原有水18升，18升为18×1000＝18000（立方厘米）。此时水面高度为34厘米，总体积为30×25×34＝25500（立方厘米）。然后用25500减18000即可解答。 【详解】（1）1分米＝10厘米 6×10＝60（厘米） 30×25×60＝45000（立方厘米） 1升＝1000立方厘米 45000÷1000＝45（升） 答：这个玻璃缸的容积是45升。 （2）1升＝1000立方厘米 18×1000＝18000（立方厘米） 30×25×34＝25500（立方厘米） 25500－18000＝7500（立方厘米） 答：这块石头的体积是7500立方厘米。 25．（1）192立方米； （2）26平方米 【分析】（1）长方体的容积＝长×宽×高，把题中的数据代入公式计算，即可求得这间仓库的容积。 （2）求贴瓷砖的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，只需贴离地面1米以下的四壁，则只需计算四个侧面高度1米的面积，最后减去1米高门的面积，据此解答。 【详解】（1）8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方米） 答：这间仓库的容积是192立方米。 （2）（8×1＋6×1）×2－2×1 ＝（8＋6）×2－2×1 ＝14×2－2×1 ＝28－2 ＝26（平方米） 答：贴瓷砖的面积是26平方米。 答案第2页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $