第16章二次根式（复习课件）数学新教材沪科版八年级下册

单元复习课件 第16章 二次根式 沪科版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握：二次根式的定义、最简二次根式和同类二次根式的判定方法；二次根式的性质（、、）及灵活运用；二次根式的加减、乘、除、混合运算法则，能准确、熟练地进行二次根式的化简与运算，解决简单的二次根式运算应用题。 3.感受：二次根式在实际生活中的应用价值，体会数学与生活的密切联系；通过梳理本章知识、解决综合问题，感受数形结合、转化、类比等数学思想方法的应用，提升数学思维的严谨性和逻辑性；在小组合作、自主探究的复习过程中，培养主动梳理知识、归纳总结的习惯，增强学习数学的自信心和成就感。 2.理解：二次根式有意义的条件，能结合具体情境确定字母的取值范围；二次根式性质的推导过程，明确性质成立的前提条件；二次根式运算与整式、分式运算的联系与区别，理解运算的算理，能解释运算步骤的合理性；同类二次根式与同类项的内在关联，体会类比思想在知识迁移中的作用。 单元学习目标 3 二次根式 相关概念 最简二次根式 定义 形如（）的式子 性质 同类二次根式 被开方数 不含分母 不含能开方开得尽的因数或因式 运算 加减 乘除 混合运算 与实数混合运算相同 单元知识图谱 考点一、二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：形如（）的代数式叫做二次根式。 ① 含有二次根号“”； ② 被开方数必须是非负数（）； ③ 二次根式的结果也是非负数（），即双重非负性。 三要素 注意： （）表示的算术平方根，若，则无意义（实数范围内）。 2. 二次根式有意义的条件： 被开方数； 若二次根式在分母上，则被开方数（分母不能为0） 若多个二次根式组合则需满足所有被开方数均非负 示例 ∵且， ∴ 。 考点串讲 考点二、二次根式的基本性质 性质1：（） 例：； ； （）。 注意：此性质可逆用，即（），可用于将非负数转化为二次根式的平方形式，方便化简、求值或因式分解。 性质2： 注意：此性质是易错点，核心是“先平方再开方，结果取绝对值”，需根据的符号去掉绝对值符号。 例：； ； （需分和讨论）。 示例 考点串讲 考点二、二次根式的基本性质 示例 性质3：（，） 注意：可逆用，即（，），用于二次根式的乘法运算和化简（将被开方数拆分为两个非负数的积，提取能开得尽方的因数）。 例： ； （，） 性质4：（，） 注意：可逆用，即（，），用于二次根式的除法运算和化简（将被开方数化为分数形式，分母有理化）；注意不能为0。 例：； （）。 考点串讲 满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 01 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不含分母）； 02 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2）； 考点三、最简二次根式 定义： 例： 、、（）是最简二次根式； （含能开得尽方的因数4）、 （含分母）、 （因式的指数3≥2）均不是最简二次根式。 示例 考点串讲 考点三、最简二次根式 3.最简二次根式化简方法： （1）先将被开方数化为整数或整式，再分解因数（因式）， （2）提取能开得尽方的因数（因式）， （3）最后化去分母（若有），化为最简二次根式。 化简步骤可概括为“开”（提取能开尽方的因式）和“补”（分母有理化）两步。 考点串讲 考点四、同类二次根式 同类二次根式定义： 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2. 与同类项的异同（便于辨析）： 3. 易错点： 未将二次根式化为最简就判断是否为同类二次根式， 不同点： ① 判断准则不同： 同类二次根式看“最简后被开方数相同”，与根号外因式无关； 同类项看“字母及指数对应相同”，与系数无关； ② 合并形式不同。 相同点： ① 都是两个代数式间的关系； ② 都能合并，合并法则相同（“根式里字母不变，系数相加减”）。 考点串讲 考点五、二次根式的运算 1. 加减运算：先化简，再合并 注意：1.非同类二次根式不能合并，如 不能合并，直接保留原式。 步骤： ① 将每个二次根式化为最简二次根式； ② 找出同类二次根式（最简后被开方数相同）； ③ 合并同类二次根式（根号部分不变，系数相加、减，结果化为最简）。 “一化简二判断三合并” 2.二次根式的双重非负性应用： 若，或，或， 则且（多个非负数的和为0，每个非负数均为0）。 考点串讲 考点五、二次根式的运算 2. 乘除运算： 先将被开方数相乘(二次根式相乘，根指数不变)，再化简结果（化为最简二次根式） 先将被开方数相除，再化简结果，或直接进行分母有理化。 （，） 乘法法则： 除法法则： （，） 考点串讲 注意： ① 运算过程中，所有二次根式需化为最简，方便计算； ② 灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算， ③ 最终结果必须是最简二次根式，且分母中不含根号 考点五、二次根式的运算 3. 混合运算： 运算顺序：与实数混合运算一致，先乘方（利用二次根式性质计算），再乘除，后加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）。 考点串讲 考点六、分母有理化 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 定义： 通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分. 2. 常用方法： 常用有理化因式： 与；与；与等 考点串讲 题型一、二次根式有意义的条件 解 题 思 路 根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），分母有二次根式时需同时满足分母≠0（即被开方数>0），列不等式（组）求解，注意结合双重非负性判断。 题型剖析 题型一、二次根式有意义的条件 例1：（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 例2：若代数式有意义，则的取值范围是 。 解：由题意得：且，解得且。 且 易错点：忽略分母不能为0；多个被开方数时，遗漏某个非负条件。 解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 且 题型剖析 例3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中， 自变量的取值范围是 ． 且 例4．（2023·四川绵阳·中考真题） 使代数式 有意义的整数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 B 题型一、二次根式有意义的条件 使代数式有意义的整数有，，0，1共有4个． 解：根据题意可得： ， 题型剖析 题型二、利用二次根式的性质化简、求值 例2：已知，求的值。 解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； ∴。 易错点： 化简时，忽略的符号，直接等于；忽略双重非负性的应用。 例1.（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． B 题型剖析 题型三、最简二次根式、同类二次根式的判断 例1：下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 解：A选项含分母，B选项（含能开尽方的因数4）， C选项（含能开尽方的因数4）， D选项满足最简条件，故选D。 例2：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 D 解：化简后：A. 与（被开方数不同）； B. 与（被开方数均为3）； C. 与（被开方数不同）； D. 与（被开方数不同）， B 题型剖析 题型四、二次根式的加减、乘除运算 例1：计算： 解：原式 。 例2：计算： 解：原式 。 题型剖析 题型五、二次根式的混合运算 例3：计算： 解：原式 。 易错点：运算顺序错误；运用乘法公式时符号出错；忘记化简最终结果。 题型剖析 题型六、分母有理化 例：化简： 解：原式 。 易错点：有理化因式选择错误；分子、分母同乘时，分子漏乘；结果未化简。 根据分母的形式，选择合适的有理化因式，分子、分母同乘有理化因式，消去分母中的根号，再化简结果。 解 题 思 路 题型剖析 题型七、二次根式的化简求值 先将代数式化为最简形式（利用二次根式性质、运算化简），再代入字母的值（注意字母的取值需使二次根式有意义），最后计算结果，可结合整体思想简化运算。 解 题 思 路 题型剖析 题型七、二次根式的化简求值 例1. 已知，求代数式的值。 解：转化代数式： ； 代入，得： 。 易错点： 代入前未化简代数式，导致计算复杂； 代入时符号出错；忽略字母取值需使二次根式有意义。 题型剖析 例2（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 解： 原式 当，时 原式 题型七、二次根式的化简求值 题型剖析 例3.（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 解： 原式 当 时, 原式 ． 题型七、二次根式的化简求值 题型剖析 一.选择题 1.（2025·安徽）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） B. C. D. 解：由，得， 2.（2024·上海）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 解：A含分母，B，C，均不是最简，D是最简 3.（2025·江苏）计算的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 解：，故选A。 A D A 针对训练 一.选择题 4.（2024·浙江）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解：化简后，B选项与被开方数均为3，是同类二次根式 5.（2025·湖北）化简的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9 解：，故选B。 B B 针对训练 6.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2 解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ A 一.选择题 针对训练 二.填空题 1.（2024·广东）若，则________。 解：由，，得 ，，故。 2.（2025·山东）化简：________。 解：。 3.（2024·湖南）计算：________（分母有理化）。 解：。 针对训练 二.填空题 4.（2025·河南）若，则________。 解：∵， ∴代入，得。 5.（2024·四川）若二次根式有意义，则的取值范围是 。 解：由，得 或。 或 针对训练 三.解答题 1.（2025·安徽）计算： 1.解：原式 。 针对训练 三.解答题 2.（2024·江苏）先化简，再求值：， 其中。 2.解： 原式； 代入， 得原式 。 针对训练 三.解答题（每题10分，共30分） 3.（2025·浙江）化简： 3.解：原式 。 针对训练 1、二次根式及其性质 （定义、4个基本性质、最简二次根式、同类二次根式） 2、二次根式的运算 （加减、乘除、混合运算、分母有理化），构建了完整的知识体系，明确了各知识点之间的关联。 （一）知识梳理 课堂总结 1.判断（有意义、最简、同类）：紧扣定义和条件，逐一排查，避免遗漏关键条件（如分母不为0）。 2.化简：遵循“先化简，再运算”的原则，灵活运用二次根式性质，注意分母有理化和结果最简。 3.求值：优先化简代数式，再代入求值，可结合整体思想、乘法公式简化运算，代入前需检验字母取值是否使二次根式有意义。 4.运算：牢记运算顺序和法则，细心计算，避免符号和计算失误，重点关注混合运算和分母有理化的步骤。 （二）解题方法总结 课堂总结 感谢聆听! $