2026年安徽中考数学一轮复习：第17课时　直角三角形

教材知识整合 高频考向探究 第17课时　直角三角形 第四单元　三角形 【教材链接】沪科技版:八下第18章P51~P68;人教版:八下第十七章P21~P37; 北师大版:八下第一章P14~P21. 直角三角形 定义 有一个角是90°的三角形叫做直角三角形 性质 (1)直角三角形的两个锐角①　　　　;  (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于②　 　　　,图中BC=AB;  (3)直角三角形斜边上的中线等于③　　　　　　　,图中CD= AB;  互余 斜边的一半 斜边的一半 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 2 (续表) 性质 (4)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么④　　　 　;  (5)若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于⑤　　　°  判定 (1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(定义); (2)有两个角⑥　　　　的三角形是直角三角形;  (3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形; a2+b2=c2 30 互余 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (续表) 判定 (4)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形, 图中若CD=AB,则△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形 面积 SRt△ABC=ch,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边 上的高 【满分技巧】(1)含30°角的直角三角形的三边之比为1∶∶2; (2)等腰直角三角形的三边之比为1∶1∶; (3)顶角为120°的等腰三角形的三边之比为1∶1∶×腰长2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 直角三角形性质的应用 考向一 如图17-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,连接CD. (1)若△ABC中两边长分别为6,8,则△ABC的周长为　　 　　.  (2)如图①,若CD是AB边的中线,∠B=30°,AC=5,则CD=　　　　,∠DCB= 　　　　°.  (3)如图②,若CD⊥AB,AC=6,BC=8, 则CD=　　　　,S△BCD=　　　　.  例 1 图17-1 24或14+2　 5 30　 　 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)遇到有公共斜边的两个直角三角形时,优先考虑构造斜边上的中线求解.如图17-2,取AB中点M,连接CM,DM,可证明CM=DM; (2)关注含30°,45°,60°角的特殊直角三角形,见到这些角或,,(3,4,5), (1,2,)等条件,注意构造直角三角形. 通性通法 图17-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 1.如图17-3,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,E是AB上方一点,且AE=BE,连 接DE,若CD=3,AE=7,则DE的长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 考向精练 B 图17-3 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 2.如图17-4,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AD⊥BC. (1)若AB=8,则AD=　　　　;  (2)若∠B=30°,则AD=　　　　.  图17-4 4.8 3 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 勾股定理的应用 考向二 如图17-5,在4×4的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,已知AC=2,BC=,画出△ABC,并判断△ABC是不是直角三角形. 例 2 解:如图,△ABC即为所求. ∵AC=2,BC=, ∴AC2+BC2=20+5=25. ∵AB2=42+32=25,∴AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形. 图17-5 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 3.(2024安徽7题)如图17-6,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且 CD=AB,则BD的长是(　　) A. B. C.2-2 D.2 考向精练 B 图17-6 [解析]如图,过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC=BC=2,∠ACB=90°,CH⊥AB,∴AB=2,AH=BH=CH=. ∵CD=AB,∴CD=2,∴DH=, ∴BD=DH-BH=.故选B. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 4.如图17-7,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片 折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合.若折痕与AC的交点为E,则AE的长是(　　) A. B. C. D. A 图17-7 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]∵纸片沿过点A的直线折叠后,点B落在边BC上的点D处, ∴AD=AB=2,∠ADB=∠B. ∵折叠纸片,使点C与点D重合, ∴CE=DE,∠C=∠CDE. ∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°. ∴∠ADB+∠CDE=90°.∴∠ADE=90°. ∴AD2+DE2=AE2.设AE=x,则DE=CE=3-x. ∴22+(3-x)2=x2,解得x=.∴AE=. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 5.第14届数学教育大会(ICME-14)会标如图17-8所示,会标中心图案来源于我 国古代数学家赵爽的“弦图”.如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形,若AE+BE=5,AB=4,则直角三角形ABE的 面积为　　　　.  图17-8 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]由题意得△ABE为直角三角形. ∵AE+BE=5,AB=4,∴由勾股定理,得AE2+BE2=AB2. ∵(AE+BE)2=AE2+BE2+2AE·BE=25,AE2+BE2=AB2=16,∴16+2AE·BE=25, ∴AE·BE=, 则直角三角形ABE的面积为AE·BE=. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 6.图17-9①②中的网格均是正方形网格,每个小正方形的边长均为1,且点P,A, B,C,D都在格点上. (1)如图①,∠APB的度数为　　　　;  图17-9 135°　 [解析](1)如图①,延长AP交格点于点M,连接BM, 则PM=BM=,PB=, ∴PM2+BM2=PB2, ∴△PMB是等腰直角三角形,且∠PMB=90°, ∴∠MPB=∠MBP=45°, ∴∠APB=135°. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)如图②,∠DAB+∠CAB的度数为　　　　.  45°　 图17-9 [解析](2)如图②,作点C关于AB的对称点E,连接DE,AE, ∴∠CAB=∠BAE. 由勾股定理,得AD=DE=,AE=, ∴AD2+DE2=AE2, ∴△ADE是等腰直角三角形,且∠ADE=90°, ∴∠DAE=∠DEA=45°, ∴∠DAB+∠CAB=∠DAE=45°. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 教材母题—— 人教版八上P56复习题12综合运用T9 如图17-10,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD= 2.5 cm,DE=1.7 cm.求BE的长. 教材典题探究 图17-10 解:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠CDA=∠BEC=90°. ∴∠DCA+∠DAC=90°. ∵∠BCA=90°,∴∠DCA+∠ECB=90°.∴∠DAC=∠ECB. 又∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB.∴AD=CE,CD=BE. ∵DE=CE-CD,∴DE=AD-BE. ∵AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,∴BE=AD-DE=2.5-1.7=0.8(cm). 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [一变] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CE是∠ACB内的射线,分别过点A,B作AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E. (1)如图17-11ⓐ,求证:AD-BE=DE; (2)如图ⓑ,AB与CE交于点G,O是AB的中点,连接OD,OE. ①求证:OD=OE; ②如图ⓒ,G是OB的中点, 求tan∠BCE的值. 教材典题探究 变式拓展 图17-11 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)如图17-11ⓐ,求证:AD-BE=DE; 教材典题探究 解:(1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠CEB=∠ADC=90°. 又∵∠ACB=90°, ∴∠BCE+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°. ∴∠BCE=∠CAD. 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE. ∴AD=CE,CD=BE.∴AD-BE=CE-CD=DE. 图17-11 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)如图ⓑ,AB与CE交于点G,O是AB的中点,连接OD,OE. ①求证:OD=OE; 教材典题探究 (2)①证明:连接OC,如图. 由题意可知OB=OC,∠BOC=90°.　　 在△BEG和△COG中,∠BEG=∠COG=90°, ∠BGE=∠CGO, ∴∠EBG=∠OCG. 由(1)可知△ACD≌△CBE, 则BE=CD.∴△OBE≌△OCD.∴OD=OE. 图17-11 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 ②如图ⓒ,G是OB的中点,求tan∠BCE的值. 教材典题探究 ②由(1)可知△ACD≌△CBE,则CE=AD. ∵G是OB的中点,OB=OA,∴. ∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴BE∥AD.∴△BEG∽△ADG. ∴. ∴在Rt△BCE中,tan∠BCE=. 图17-11 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 　[二变] 【问题背景】 (1)如图17-12①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E,请直接写出BD,CE,DE之间的数量关系; 教材典题探究 解:(1)∵BD⊥AD,∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中,∵ ∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∴BD+CE=AE+AD=DE. 图17-12 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 【拓展延伸】 (2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请写出DE,BD,CE三条线段之间的数量关系,并说明理由; 教材典题探究 (2)BD+CE=DE.理由如下: 在△ABD中,∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD. ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD,∠BDA=∠BAC,∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中,∵ ∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∴BD+CE=AE+AD=DE. 图17-12 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 【实际应用】 (3)如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为 (-6,3),求点B的坐标. 教材典题探究 图17-12 (3)如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F. ∵点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3), ∴OC=2,OE=6,AE=3,∴CE=OE-OC=6-2=4. 易证△AEC≌△CFB,∴CF=AE=3,BF=CE=4, ∴OF=CF-OC=3-2=1,∴点B的坐标为(1,4). 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [三变] 【证明体验】 (1)如图17-13,在四边形ABCD中,P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证: AD·BC=AP·BP; 教材典题探究 解:(1)证明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°, ∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°, ∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC, ∴,∴AD·BC=AP·BP. 图17-13 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 【思考探究】 (2)如图②,在四边形ABCD中,P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=β时,上述结论是否依然成立?请说明理由; 教材典题探究 (2)上述结论依然成立.理由如下: ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP, ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP. ∵∠DPC=∠A=∠B=β,∴∠BPC=∠ADP, ∴△ADP∽△BPC,∴,∴AD·BC=AP·BP. 图17-13 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 【拓展延伸】 (3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题: 如图③,在△ABC中,AB=2,∠B=45°,以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE.点D在BC上,点E在AC上,点F在BC上,且∠EFD=45°,若CE=,求CD的长. 教材典题探究 (3)∵∠EFD=∠B=∠ADE=45°, ∴∠BAD=∠EDF,∴△ABD∽△DFE, ∴. 图17-13 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 ∵△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AD. ∵AB=2,∴DF=4. ∵∠EFD=45°,∠AED=45°,∴∠EFC=∠DEC=135°. 又∵∠C=∠C, ∴△EFC∽△DEC, ∴, ∴EC2=FC·CD=FC·(4+FC),∴5=FC(4+FC), ∴FC=1(负值已舍去),∴CD=5. 教材典题探究 图17-13 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 $