2026年安徽中考数学一轮复习：第13课时　二次函数的实际应用

教材知识整合 高频考向探究 第13课时　二次函数的实际应用 第三单元　函数及其图象 【教材链接】沪科技版:九上第21章P36~P42;人教版:九上第二十二章P49~P53; 北师大版:九下第二章P46~P50. 一、建立二次函数模型解决问题 常见类型 关键步骤 抛物线形问题 建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式 销售利润问题 厘清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 2 (续表) 常见类型 关键步骤 图形面积问题 利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解 【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值可能在自变量取值范围的端点处取得; (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 二、图象信息类问题 类型 解题策略 表格类 观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解 图文类 根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 最大利润问题 考向一 小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景平均每盆的利润是160元,花卉平均每盆的利润是19元.调研发现: ①盆景每增加1盆,盆景平均每盆的利润减少2元;每减少1盆,盆景平均每盆的利润增加2元;②花卉平均每盆的利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少? 例 1 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少? 解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000, W2=19(100-50-x)=-19x+950. (2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950=-2(x-)2+, 由于x取整数,根据二次函数性质得,当x=10时,W最大. 最大总利润=-2×102+41×10+8950=9160(元). ∴x=10时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是9160元. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 根据以下素材,解决生活问题 【素材背景】 某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶.售价为60元/箱时,每周可卖出300箱.市场调查表明:每箱每涨价1元,每周要少卖出10箱;每箱每降价1元,每周可多卖出20箱. 【问题解决】 (1)若调整后的售价为x元/箱(x为正整数且40≤x≤90),每周销售A品牌纯牛奶的数量为y箱,求y与x之间的函数表达式; (2)若该超市想获得最大周利润,请你帮助他们确定A品牌纯牛奶的售价; (3)若该超市想每周获得的利润不少于6000元,请确定A品牌纯牛奶售价的范围. 考向精练 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)若调整后的售价为x元/箱(x为正整数且40≤x≤90),每周销售A品牌纯牛奶的数量为y箱,求y与x之间的函数表达式; 解:(1)根据题意得涨价时,y=300-10(x-60)=-10x+900(60≤x≤90), 降价时,y=300+20(60-x)=-20x+1500(40≤x≤60). 综上所述,y与x之间的函数表达式为 y= 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)若该超市想获得最大周利润,请你帮助他们确定A品牌纯牛奶的售价; (2)设每周所获利润为W元. 当涨价时,W=(x-40)(-10x+900)=-10(x-65)2+6250(60≤x≤90), 当x=65时,W有最大值,是6250; 当降价时,W=(x-40)(-20x+1500)=-20(x-57.5)2+6125(40≤x≤60). ∵x为正整数, ∴x=57或x=58时,W最大,最大值为6120. 综上所述,该超市想获得最大周利润,A品牌纯牛奶的售价为65元/箱. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (3)若该超市想每周获得的利润不少于6000元,请确定A品牌纯牛奶售价的范围. (3)当60≤x≤90时,-10(x-65)2+6250=6000, 解得x=60或x=70, ∴60≤x≤70; 当40≤x≤60时,-20(x-57.5)2+6125=6000, 解得x=55或x=60, ∴55≤x≤60. 综上所述,A品牌纯牛奶售价的范围是55≤x≤70且x为正整数. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 几何图形面积问题 考向二 如图13-1,某小区有一块靠墙(墙的长度为30 m)的空地,为美化环境,用总长为60 m的篱笆围成四块相邻的矩形花圃(花圃靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).若四块矩形花圃的面积相等,设BC的长为x m. (1)求AB的边长y(m)与x之间的关系式; (2)设矩形区域ABCD的面积为S m2,求S的最大值. 例 2 图13-1 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)求AB的边长y(m)与x之间的关系式; 解:(1)∵矩形MEFN的面积与矩形BEFC的面积相等,∴ME=BE. ∵四块矩形花圃的面积相等,∴S矩形AMND=2S矩形MEFN, ∴AM=2ME,AE=3BE. ∵篱笆的总长为60 m,∴2AB+3BC+HG=60, 即2y+3x+y=60, 整理可得y=-x+24. 图13-1 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)设矩形区域ABCD的面积为S m2,求S的最大值. (2)S=xy=x(-x+24)=-x2+24x=-(x-10)2+120. 令解得0<x<20. ∵-<0, ∴当x=10时,S有最大值,为120. 图13-1 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 抛物线形问题 考向三 (2022安徽23题)如图13-2①,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成,矩形的一边BC为12米,另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点. (1)求此抛物线对应的函数表达式; 例 3 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或“ ”型栅栏,如图②、图③中粗线段所示,点P1,P4在x轴上,MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2,P2P3,P3P4,MN长度之和,请解决以下问题: ①修建一个“ ”型栅栏,如图②,点P2,P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m(0<m≤6),求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值; 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 ②现修建一个总长为18的栅栏,有如图③所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案,请你从中选择一种,求出该方案下矩形 P1P2P3P4面积的最大值及取最大值时点P1的 横坐标的取值范围(P1在P4右侧). 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (1)求此抛物线对应的函数表达式; 图13-2 解:(1)由题意可得A(-6,2), 又∵E(0,8)是抛物线的顶点, ∴设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8. 将A(-6,2)的坐标代入,得(-6)2×a+8=2, 解得a=-, ∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或“ ”型栅栏,如图②、图③中粗线段所示,点P1,P4在x轴上,MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2,P2P3,P3P4,MN长度之和,请解决以下问题: ①修建一个“ ”型栅栏,如图②,点P2,P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m(0<m≤6),求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值; 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (2)①∵点P1的横坐标为m(0<m≤6),且四边形P1P2P3P4为矩形,点P2,P3在抛物线AED上, ∴点P2的坐标为(m,-m2+8). ∴P1P2=P3P4=MN=-m2+8,P2P3=2m. ∴l=3(-m2+8)+2m=-m2+2m+24=-(m-2)2+26. ∵-<0,∴当m=2时,l有最大值,最大值为26. 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 ②现修建一个总长为18的栅栏,有如图③所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案,请你从中选择一种,求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右侧). 图13-2 ②方案一:设P2P1=n,则P2P3=18-3n, ∴矩形P1P2P3P4的面积为(18-3n)n=-3n2+18n=-3(n-3)2+27. ∵-3<0,∴当n=3时,矩形面积有最大值,最大值为27. 此时P2P1=3,P2P3=9, 令-x2+8=3,解得x=±, ∴此时P1的横坐标的取值范围为-+9≤P1横坐标≤. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 方案二:设P2P1=n,则P2P3==9-n, ∴矩形P1P2P3P4的面积为(9-n)n=-n2+9n=-(n-)2+. ∵-1<0,∴当n=时,矩形面积有最大值,最大值为. 此时P2P1=,P2P3=, 令-x2+8=,解得x=±, ∴此时P1的横坐标的取值范围为-≤P1横坐标≤. (从两种方案中任选一种即可) 图13-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 $