第十六章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A D B D D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2 13．0 14． 15．2 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为．.............3分 （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为．.............6分 18． 【详解】（1）解：， ∴ 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴；.............3分 （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为．.............6分 19． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质；.............2分 （2）解：第二步开始出现错误，应为；.............3分 （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为．.............6分 20． 【详解】（1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，．.............3分 （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴．.............6分 21． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为；.............3分 ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为；.............6分 （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得．.............8分 22． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即．.............2分 ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为；.............5分 （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或．.............8分 23． 【详解】（1）解：设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨． 根据题意，得，解得：． 答：辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨和吨．.............3分 （2）解：①根据题意和（1），得． 根据题意可得a、均为正整数， 或． 共有两种租车方案： 方案租型车辆，型车辆； 方案租型车辆，型车辆．.............6分 方案的租金为：元， 方案的租金为：元． ， 最省钱的租车方案为方案，租车费用为元..............8分 24． 【详解】（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得；.............4分 （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为；.............8分 （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ．.............12分 25． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：；.............4分 （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为；.............8分 （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 3．解方程组：，下列做法正确的是（） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组．通过代入法，将方程①代入方程②，可以消去变量x，得到关于y的一元一次方程． 【详解】解：∵方程①为， 方程②为， 将①代入②，得， 化简得， ∴消去了，选项A正确，选项B错误； 得化，化简得，无法消去，选项C错误；选项D错误． 故选：A． 4．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 5．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 7．《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据题目中绢布总匹数和总售价的两个等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 10．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键． 根据行列式定义计算、、及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【详解】解：， 则A正确； ， 则正确； ， 则错误； ，， 因此方程组的解为， 则D正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，已知方程组的解求参数，已知字母的值求代数式的值．将方程组的解代入方程，先求b，再求a，然后计算的值，最后求算术平方根． 【详解】解：依题意，将代入，得， 即， 解得， 故， 将，代入，得， 即， 解得， 则， ∴4的算术平方根为2， 故答案为：2． 13．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，列出二元一次方程，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：0． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 15．如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 16．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值．其中a，b满足二元一次方程组则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和点的坐标特征，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 先解一元一次方程求得横坐标，再解二元一次方程组求得和的值，计算得到纵坐标，由此即可求出点的坐标． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 解方程组， 由得，， 解得， 将代入①得，，即， 解得， 该方程组的解为 则． 故点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 18．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识点． （1）先根据算术平方根和绝对值的非负性得到方程组，再解二元一次方程组即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴； （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为． 19．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 20．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是理解同解方程组的定义． （1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴． 21．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 22．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】(1)①；② (2)m的值为或 【分析】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“美点”的定义是解题的关键． （1）①根据“美点”的定义即可求解； ②设点的坐标为，根据“美点”的定义列出方程组解出，，即可求解； （2）先表示出点的“美点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即． ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为； （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或． 23．已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨 (2)①两种租车方案，方案见解析；②省钱的租车方案为租型车辆，型车辆，租车费用为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、代数式求值、二元一次方程的解等知识点，读懂题意列出方程组是解题的关键． （1）设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨．再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）可得，再根据二元一次方程的解可得或，据此即可确定租车方案；②分别确定两种租车方案所需费用，然后再比较即可． 【详解】（1）解：设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨． 根据题意，得，解得：． 答：辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨和吨． （2）解：①根据题意和（1），得． 根据题意可得a、均为正整数， 或． 共有两种租车方案： 方案租型车辆，型车辆； 方案租型车辆，型车辆． 方案的租金为：元， 方案的租金为：元． ， 最省钱的租车方案为方案，租车费用为元. 24．规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3），理由见解析． 【分析】本题考查了共轭二元一次方程组的定义、解二元一次方程组以及根据方程组的解探究数量关系． （1）根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程中、的系数互换，常数项相同，据此列出关于、的方程，求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法进行求解即可； （3）将方程组的解代入原方程组，得到关于、、、的方程，通过消元得出与的数量关系． 【详解】（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得； （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ． 25．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 3．解方程组：，下列做法正确的是（） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 4．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 5．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 7．《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 12．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 13．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为 ． 15．如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则 ． 16．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值．其中a，b满足二元一次方程组则点Q的坐标为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 19．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 20．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 21．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 22．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 23．已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 24．规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 25．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 3．解方程组：，下列做法正确的是（） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 4．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 5．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 7．《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 12．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 13．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为 ． 15．如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则 ． 16．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值．其中a，b满足二元一次方程组则点Q的坐标为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 19．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 20．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 21．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 22．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 23．已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 24．规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 25．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $