2026年安徽中考数学一轮复习：第11课时　二次函数的图象与性质1 课件

教材知识整合 高频考向探究 第11课时　二次函数的图象与性质1 第三单元　函数及其图象 【教材链接】沪科技版:九上第21章P2~P35;人教版:九上第二十二章P28~P48; 北师大版:九下第二章P29~P45,P51~P57. 一、二次函数的概念及其图象与性质 概念 一般地,表达式形如①　　　　　　　　(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做x的二次函数  图象 a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 y=ax2+bx+c 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 2 (续表) 图象 对称轴 1.直接运用公式x=②　　　 求解;  2.运用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k,则对称轴为直线x=h. 注:还可利用x=(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解 顶点坐标 1.直接运用顶点坐标公式(③　　　　,④　　 　 )求解;  2.运用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为(h,k); 3.将x=-,y0) - 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 (续表) 性质 增减性 当⑤　　　　　　时,y随x的增大而减小;  当⑥　　　　　　时,y随x的增大而增大  当⑦　　　　　　时,y随x的增大而增大;  当⑧　　　　　　时,y随x的增大而减小  最值 当x=-时,y取得最小值⑨　　　　  当x=-时,y取得最大值⑩　　　　  学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 二、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系 a 决定抛物线开口方向和大小 a>0⇔抛物线开口向上;a<0⇔抛物线开口向下; a的绝对值越大开口越小,a的绝对值越小开口越大 b,a 决定抛物线对称轴的位置 b=0⇔对称轴为y轴; 左同右异 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0⇔抛物线过点(0,0); c>0⇔抛物线与y轴交于正半轴; c<0⇔抛物线与y轴交于负半轴 左侧 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 三、二次函数图象的平移 平移前解析式 平移m个单位长度(m>0) 平移后解析式 规律 y=a(x-h)2+k (a≠0) 向左平移m个单位长度 y=a(x-h⑫ 　 　)2+k  左“+”右“-” 向右平移m个单位长度 y=a(x-h⑬ 　 　)2+k  向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k⑭ 　   上“+”下“-” 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k⑮ 　   【温馨提示】二次函数图象平移的实质是图象上点的整体平移(关键点是顶点),平移过程中a不变,因此可先求出其顶点坐标,根据顶点坐标的平移求解即可 +m -m +m -m 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 二次函数的图象与性质 考向一 (沪科技版九上P20练习T2改编)(1)将函数y=-x2+3x-化成y=a(x-h)2+k的形式是　　　　　　　,其对应的抛物线的开口方向是　　 　,顶点坐标是(　　,　 　),对称轴是　　 　　.当x=　 　时,函数取得最　 值,y最          　　　=　　 .  (2)抛物线y=-x2+3x-可由抛物线y=-x2向　　 平移　　个单位长度,再向　　平移　 　个单位长度得到.  (3)抛物线y=-x2+3x-中,当x　 　时函数y随着x的增大而减小.当-1≤x≤1时,函数的最大值是　　,最小值是　 　.当2<x<5时,函数y的取值范围是　　　　.  例 1 y=-(x-3)2+2 向下 3 2 直线x=3 3 大 大 2 右 3 上 2 >3 0 -6 0<y≤2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 二次函数函数值的大小比较(距离比较法):当a>0时,抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越大,即函数值越大;当a<0时,抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越小,即函数值越小,如图11-1,yB>yA. 通性通法 图11-1 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 1.已知点A(-5,y1),B(-2,y2)和C(1,y3)都在抛物线y=mx2+2mx-5(m是常数,且m>0) 上,则y1,y2,y3的大小关系是(　　) A.y1>y2>y3 B.y3>y1>y2 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2 考向精练 D [解析]易知抛物线的对称轴为直线x=-1,开口向上. ∵|-5-(-1)|=4,|-2-(-1)|=1,|1-(-1)|=2, ∴4>2>1,∴y1>y3>y2. 故选D. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 2.已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限, 则实数a的取值范围为(　　) A.1≤a< B.0<a< C.0<a< D.1≤a< A [解析]∵图象经过第一、二、四象限, ∴Δ=(2a-3)2-4a(a-1)>0且a-1≥0,a>0, 解得1≤a<, ∴a的取值范围为1≤a<. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx+1和y=ax-b(a是常数,且a≠0)的图象可能是 (　　) 例 2 C 二次函数图象特征与a,b,c之间的关系 考向二 微专题 角度❶　图象共存问题 图11-2 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]A项,由一次函数的图象可得a<0,此时二次函数y=ax2+bx+1的图象应该开口向下,故选项错误,不符合题意; B,C项,由一次函数的图象可得a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+1的图象应该开口向上,对称轴为直线x=-<0,故B选项错误,不符合题意; C选项正确,符合题意; D项,由一次函数的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2+bx+1的图象应该开口向上,故选项错误,不符合题意. 故选C. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 3.(2023安徽9题)已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数 y=-x+b的图象如图11-3所示,则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为图10-4中的 (　　) 考向精练 A 图11-3 图11-4 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]如图所示. 设交点为A,B,则A(1,k),B(k,1),根据图象可得k>1, 将点B(k,1)代入y=-x+b,得1=-k+b,∴k=b-1,b=k+1. ∵k>1,∴b>2.∴y=x2-bx+k-1=x2-bx+(b-1)-1=x2-bx+b-2=(x-)2-+b-2. ∴函数图象的对称轴为直线x=>1. 当x=1时,y=1-b+b-2=-1, ∴函数图象过点(1,-1). 当x=0时,y=k-1>0, ∴函数图象与y轴交于正半轴.故选A. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 4.已知同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+c的图象 如图11-5所示,则函数y=-ax2-bx+kx+1的图象可能是(　　) 图11-5 图11-6 D 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图11-7所示,对称轴是直线x=1.有下列结论:①abc<0;②方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3; ③若(0,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2;④11a+2c>0;⑤对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b.其中错误结论的个数是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 例 3 A 角度❷　根据函数图象分析系数满足的条件 图11-7 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-=1,与y轴交于负半轴, ∴a>0,b=-2a<0,c<0,∴abc>0,故①错误; 由题图可知,抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为-1<x<0. ∵抛物线关于直线x=1对称, ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标的取值范围为2<x<3, ∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3,故②正确; ∵a>0,∴抛物线上的点离对称轴的距离越远,函数值越大. ∵(0,y1),(,y2)是抛物线上的两点,且|0-1|>|-1|,∴y1>y2,故③错误; ∵a>0,b=-2a,∴11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2(a-b+c). 图11-7 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 由图象知:x=-1时,y=a-b+c>0, ∴11a+2c=5a+2(a-b+c)>0,故④正确; ∵a>0,对称轴为直线x=1, ∴当x=1时,函数值最小,为a+b+c, ∴对于任意实数m,都有am2+bm+c≥a+b+c, 即am2+bm≥a+b, ∴m(am+b)≥a+b,故⑤正确. 综上,错误的有2个. 故选A. 图11-7 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 5.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象如图11-8所示,对称轴为直线 x=-1,则下列判断中,错误的是 (　　) A.c<-3a B.若点A(b-3,y1),B(b-1,y2)在该抛物线上,且在x轴的 下方,则y1<y2 C.关于x的方程ax2+bx+c+k=0(k>0)一定有两个不相等的实数根 D.m(am+b)≥-a(m为实数) 考向精练 D 图11-8 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]由图象知, x=1时,y<0,∴a+b+c<0. ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=-1,∴-=-1, ∴b=2a,∴3a+c<0,∴c<-3a,故选项A正确,不符合题意; 由图象可知,a<0,c>0, 则b<0,∴b-3<b-1<-1. ∵当x<-1时,y随x的增大而增大,∴y1<y2,故选项B正确,不符合题意; 根据图象可知,当k>0时,抛物线y=ax2+bx+c与y=-k的图象有两个交点, ∴ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根,故选项C正确,不符合题意; 图11-8 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 ∵抛物线开口向下,顶点坐标为(-1,a-b+c),b=2a, ∴y最大=a-b+c=-a+c, ∴am2+bm+c≤-a+c, ∴m(am+b)≤-a,故选项D错误,符合题意. 故选D. 图11-8 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-4),且图象经过点(3,0).将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位,图象经过点(1,-),在平移后的图象上,当 n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3,则n的值是 (　　) A.-或 　 B.或 　　 C.1 D.- 例 4 A 角度❸　根据函数图象性质确定参数取值范围 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 [解析]∵二次函数图象的顶点坐标为(1,-4), ∴可设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4. 又∵二次函数的图象过点(3,0), ∴0=4a-4,∴a=1,∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-4. 将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位后,图象所对应的函数表达式为y=(x-1-m)2-4. 又∵图象过点(1,-),∴-=m2-4, ∴m=或m=-(舍去),∴m=,∴平移后的函数表达式为y=(x-)2-4, ∴对称轴是直线x=,当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大, 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 当x=时,y取最小值-4. ∵当n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3,∴①当n+1<时,即n<, ∴当x=n+1时,y取最小值(n+1-)2-4=-3,∴n=-或n=(舍去),∴n=-. ②当n-2>时,即n>, ∴当x=n-2时,y取最小值(n-2-)2-4=-3,∴n=或n=(舍去),∴n=. 综上,n=-或n=. 故选A. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 6.若二次函数y=mx2+4x+m-1的最小值为2,则m的值为　　　.  7.已知二次函数y=x2-mx+1,当x>2时,y随x的增大而增大,则m满足的条件是 　　　　.  考向精练 m≤4 4 [解析]本题易忽视m>0这一条件.由题意,得解得m=4. [解析]本题易错解为m<4或者m=4. 函数图象开口向上,故在对称轴及其右侧,y随x的增大而增大,∴-≤2,解得m≤4. 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 8.在平面直角坐标系xOy中,存在抛物线y=ax2+bx+3,点M(-2,y1),N(m,y2)在抛物 线y=ax2+bx+3上,抛物线的对称轴为直线x=t. (1)若y1=3,则t=　 　;  (2)若a>0,当t+1<m<t+2时,总有y1>y2,t的取值范围是　　 　　.  [解析](1)把M(-2,3)代入y=ax2+bx+3中,得4a-2b=0,即2a=b, 故对称轴为直线x=t=-=-1.故答案为-1. -1 [解析](2)如图①、图②所示. 当t+1<m<t+2时,总有y1>y2,则有t-2≥-2或t+2≤-2, 解得t≥0或t≤-4.故答案为t≥0或t≤-4. t≥0或t≤-4 学习目标 返回目录 教材知识整合 返回目录 高频考向探究 返回目录 $