2026届甘肃省甘南藏族自治州高三二模数学模拟练习卷

2026届甘肃省甘南藏族自治州 高三二模模拟数学自编卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设集合M={x|x2-3x-4<0},N=x|0≤x≤5}，则M∩N=() A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(1,0] 3.在正四面体P-ABC中，点D在线段AB上，AB=3AD,点E在线段AP上，PA=3PE, F是PC的中点，则直线DE与直线BF所成角的余弦值为() A. B c.3 3 n 4.如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D是BC的中点，点E在 AD上，且DE=2AE.则BE.AD=() .29 3 B.-29 D.、29 6 5.已知三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 s如(B+A)+sm(⑧-A)小3n2A,且c=V万，角C-子则三角形ABC的面积是（） A.35 B.75或 C.② D.33或75 4 6 3 3 4 6 6.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆 内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率π的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示 的图形，其中圆的半径为2c,正方形的边长为1c,在圆内随机取点，若统计得到此点取 自阴影部分的概率是P,则圆周率π的近似值为 图1 图2 1 、1 1 4 A. 41-p) B.1-卫 C.1-4p D. 1-p 7.在平面直角坐标系0巾，已知4为双曲线C若卡-1a>0b>0)的右顶点，以QA为 直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若AM=)b,则C的离心率为() A.√2 B.2 C.2W2 D.4 8.若函数f(x)=(2x2-x+4)*在区间[2,3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是() A. 2017 20 32 B.203 32 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年 同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是() 中国折叠屏手机出货量、同比增长率，23Q4-24Q4 3000149.6% 160% 2500-2771 2571 2505140% 但 104.6% 2233 120% 2000 1857 100% 1500 3.0% 80% 60% 1000 40% 500 20% 0 1.76.6%6 -20% 20232024202420242024 04 0102Q3Q4 ☐出货量-同比增长率 A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B.折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C.与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D.2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 10.设抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 MA=√2M,则下列结论正确的是() A.p=2 B.点M在以 3.0为风，5n为半径的调上 C.若点M在抛物线C上，则MF=8 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M 11.对于函数f(x)=x2lnx,下列说法正确的是() A.当0<<<怎时，血< B.若f'(x)是函数f(x)的导数，则f(x)≤2x2-x c.若f)=am(4e)有两个解，则a<日 D.设h(x)=2f(x)-tx,h(x)>0至少有三个整数解，则t<n2 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若a0是正实数，且3d6n6 1。=1,则a+b的最小值为 13.记正项数列a的前n项利为S,若8修.meN,则S+”的最小值为 2 14.在二项式x+2 的展开式中，x项的二项式系数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5.3分)各项不为0的数列2满足a+022neN.且4 (1)求证：数列 为等差数列； (2)若≥元对任意nN恒成立，求实数元的取值范围 a 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2,PA⊥AB, E为BC的中点，F为PD上一点，EF∥平面PAB. A M.> B E (I)求证：F为PD的中点： (2)若AD⊥PB,求直线AD与平面AEF所成角的正弦值. 17.（15分)当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，不利于青少年的身心健康.为了引 导青少年抵制不良游戏，适度参与益智游戏，某游戏公司开发了一款益智游戏，在内测时收 集了玩家过每一关的平均时间，如下表： 关卡x 4 6 平均过关时间y(单位：秒) 50 8 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为24≈285，公54≈106.05，其中4=1 i=1 1 (1)若用模型y=a“拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的回归方程； (2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关， 否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能 在平均时间内通过的概率均为；，者甲玩一轮这款益智游戏，求甲获得的积分X”的分布 列和数学期望 18.(17分)已知椭圆C:Y+上-1的左右顶点分别为4、4，点P是椭圆C上任意一点， 3 点P和P'关于x轴对称，设直线AP和A,P'交点为C (1)求点C的轨迹C,的方程： (2)若F为曲线C,的右焦点，过F的直线与C,交M,N两点，N在第二象限， ()以MN为直径的圆是否经过点A,若是，请说明理由： (ii)设MN为直径的圆与曲线C,在第一象限交点为Q,证明点M是△AQF的内心. 19.(17分)已知函数f(x)=lnx-x+a,a∈R. (1)若曲线y=f(x)与x轴相切，求a的值， a若a=证明：对任意xe(0+m),都有f()≤x. 3)若函数8w)=四在区间1，e)上既不是增函数，也不是减函数，求a的取值范围。2026届甘肃省甘南藏族自治州 高三二模模拟数学自编卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设集合M={x|x2-3x-4<0},N=x|0≤x≤5}，则M∩N=() A.(0,4 B.[0,4 c.[-1,0) D.(1,0] 【答案】B 【详解】试题分析：x2-3x-4<0→(x-4)(x+1)<0→-1<x<4,故M∩N=[0,4),故选B. 2.1是虚数单位， A.1 B.3 c.5 D.√5 【答案】C 【详解】试题分析：由题意得z=2 21 4+2 子，所以日-5 114-01+边5 2 21 4 故选C 3.在正四面体P-ABC中，点D在线段AB上，AB=3AD,点E在线段AP上，PA=3PE, F是PC的中点，则直线DE与直线BF所成角的余弦值为() B c.3 D. 2 3 3 【答案】D 【分析】取AB中点M,AF中点N,根据平行线分线段成比例和中位线性质可证得DE∥PM, MN/BF,由异面直线所成角定义可知所求角为∠PMN或其补角，根据长度关系分别求得 PM,MN,PN的长，利用余弦定理可求得cos∠PMN,由此可得结果， 【详解】取AB中点M,连接PM,AP,取AF中点N,连接MN,PN: B 设正四面体的棱长为6a, :AM=)AB=3a,4D=54B=2a,4D=2 2 A3P8,A=H,即费子DEP: 3 ~M,V分别为AB,AR中点，WBF,N=Bn=35 a; 2 ∴∠PMN即为直线DE与直线BF所成角或其补角： :△PAC为等边三角形，F为PC中点，AF⊥PC, -a: 4 Γ2 .cos∠PN= PM+MN-PN 227a2+27 _63a 4 4 2 2PM.MN 2x3√ax33 3 a 2 ∴直线DE与直线BF所成角的余弦值为。故选：D, 4.如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D是BC的中点，点E在 AD上，且DE=2AE.则BE.AD=（) 29 29 29 A. B. C. 29 D. 3 3 6 6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底AB,AC表示向量BE,AD,再利用数量积的运算律求解 【详解】由∠BAC=90°，得AB.AC=0. 由D是8C的中点知，而-而+4C列，且D=2,得 A-背0=兮+Ac)=名B+名4c,所以B服=A亚--君4c-846 6 则丽而-言c-西+4C)d4c网)品8-56列号 故选：B. 5.已知三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 sm(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=√万，角C= 3, 则三角形ABC的面积是() A.35 B.75或c. D. 35或76 4 61 3 3 4 6 【答案】D 【分析】利用两角和（差）的正弦公式及二倍角公式得到(6simA-2sinB)cosA=0,即可得到 c0sA三0或3sm4mB,当c0sA=0则A7,即可求出b,从而求出三角形的面积，当 3smA=simB,利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出a、b,再根据面积公式计算可 得 【详解】解：由题意sin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A,即 sin B cos A-cosB sin A+sin B cosA+cosBsin A=6sin Acos A 可得2 sin B CosA=6 sin AcosA,即(6simA-2sinB)cosA=0, ∴.cosA=0或3sinA=sinB, ①当c0sA=0时，A=90°. Qc=V万，C= 3 8=君 3 b=tanB×c= 3 那么三角形ABC的面积S=bc=V 2 6 ②当3simA=sinB，,由正弦定理可得3a=b① 又cosC=a+b2-c21 →a2+b2-7=ab②，解得a=1,b=3. 2ab 2 那么三角形ABC的面积S=二absinC 33 故选：D 4 6.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆 内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率π的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示 的图形，其中圆的半径为2c,正方形的边长为1c,在圆内随机取点，若统计得到此点取 自阴影部分的概率是P,则圆周率π的近似值为 图1 图2 1 1 A. B.1-卫 C.1-4p D 41-p) 1-p 【答案】A 【解析】直接利用几何概型公式计算得到答案 S-4π-1 4r,解得π= 1 【详解】根据几何概型：卫= 41-p) 故选：A 7,在面直角坐标系0中，已知4为双曲线C器若-1a>06>0的右顶点，以Q4为 a 直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若AM=b,则C的离心率为（) A.5 B.2 C.2√2 D.4 【答案】B 【分析】由渐近线方程和oM上M求出OM-0,由勾股定理得到公=G,从而求出离 心率 b 【详解】由题意得，OM⊥AM,双曲线的一条渐近线方程为y=二x, a 枚A0oM=名.即2名，4M-.所以o40. 1 OM a 由勾股定理得oM+AM=O4,即d2+b=c,解得B=3, 4 4 e- =2,故选：B. 8.若函数f(x)=(2x2-x+4)e*在区间[2,3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是() 2017 (2017 20 20 A. 3’2 、3’2 C 3 D 3 【答案】B 【分析】首先求出导函数，使'(x)在区间(2,3)上有解，分离参数可得 ，=2(x+10+24,设x+1=,t∈(3,4，从而可得1=2f+下=80，利用导数 -4= 2x2 即可求解 【详解】因为函数f(x)=（2x2-x+4)e, 所以f(x)=e*(2x2-x+4)+e*(4x-m=e*2x2+(4-)x+4-m 若f(x)在区间(2,3)上不是单调函数，则∫'(x)=0在区间(2,3)上有解， 即2x2+(4-m)x+4-m=0在区间(2,3)上有解， 即m-4= 2x2_2x+12-46+)+220x+10+ 24 x+1 x+1 +1 设x11H:(6,则m=x+子=0,80=2-片0,9g08e)80=号 所拟兰号实数以的取值范国美(》 3 (32)故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年 同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是() 中国折叠屏手机出货量、同比增长率，23Q424Q4 3000149.6%--- -.160% 2571 2500-771 2505140% 104.6% 2233 120% 2000 1857 100% 1500 3.0% 80% 60% 1000- 40% 500 20% 9.6%0%。 1.76:01 -20% 20232024202420242024 0401020304 ☐出货量-同比增长率 A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B.折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C.与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D.2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 【答案】ABD 【分析】根据图中条形图和折线图的数据，以及极差和中位数的定义，结合选项判断 【详解】折叠屏手机季度出货量的极差为2771-1857=914千台，即91.4万台，故A正确： 将各季度折叠屏手机出货量（千台）从小到大排列为1857,2233,2505,2571,2771，故 中位数为2505千台，即250.5万台，故B正确： 同比是指与上一年同期相比，故折叠屏手机2024年第三季度的出货量比2023年第三季度的 出货量增加13.7%，故C错误： 由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数，故D正确故选：ABD, 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 MA=√2M列，则下列结论正确的是() A.p=2 B.点M在以[传p0为圆心，p为年径的圆上 C.若点M在抛物线C上，则MF=8 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可 【详解】对于A:因为抛物载C的准线为x=一号-2，所以卫=4，A错误： 对于B:F(2,0),设M(x,y),则MA=V(x+2)2+y,M风=Vx-2)+y 因为M=V2MF,所以Vx+2+y2=V2Vx-2)2+y2, 化简得x2-12x+4+y2=0,即(x-6)+y2=32 所以点M在以(6,0)为圆心，4√2为半径的圆上，即点M在以 p.0为圆心，2m为半径 的圆上，B正确： [y=8x 对于C:由 c-6)+少=32得(x-6+8x=32,即x2-4+4=0,解得x=2, 所以M(2,±4)，所以MF=4,C错误： 对于D:根据C求出的M点有两个，M(2,4)或M(2,-4),所以D正确故选：BD 11.对于函数f(x)=x21nx,下列说法正确的是() 1 A.当0<<<怎时，血<血3 B.若f'(x)是函数f(x)的导数，则f(x)≤2x2-x c.若f)=am(+e)有两个解，则a<。 1 D.设h(x)=2f(x)-tx,h(x)>0至少有三个整数解，则t<n2 【答案】BCD 【分析】求导可得f(x)在 1 上单调递减可判断A;令g(x)=2lnx-2x+2,求导可证 f'(x)≤2x2-x判断B:分离变量得a= +e,令h(x)=血r Inx x十，求导计算可判断C:变形 可得t<2血x,令k)=2血x,求导计算可得t<1n2,进而可判断D 【详解】函数f(x)=x2lnx的定义域为{x|x>0},fc(x)=2xnx+x=x(2nx+1, 对于A,令f(四)=0，得x=: 当0E0.所u在石 上单调递减， 1 故0<<<怎时，)>f代，即hx>n,A错误： 对于B,要证f'(x)≤2x2-x,即2xnx+x≤2x2-x, 所以2lnx+1≤2x-1,即2hx-2x+2≤0， 令g(x)=2nx-2x+2,则g()=2-2,令g)=0,则x=1, 1 当0<x<1时，8'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增： 当x>1时，g'(x)<0,所以g(x)在(L,+o)上单调递减： 所以g(x)≤g()=0,所以2nx-2x+2≤0，即f'(x)≤2x2-x,B正确： 对于C,由f(x)=ar2(x+e2),得x2nx=ax2(x+e2), 两边除以x2,得血x=a(+e),所以a=血x r+e2, 1+6-hx 令则 (x+e2) 令10)=1+-hx,则r(y=-￡10， Γx2x 所以在(0+)上单调递减，又(c)=1+ e-ne2=0, 当0<x<e时，h(x)>0,所以h(x)在(0，e2)上单调递增， 当x>e时，h(x)<0,所以h(x)在(e2,+o)上单调递减， 又)二A(e)是：当→m时，→0：当x)0时，()→-0： 当且仅当0a总时，a:怎有丙个鲜。当且仅当a0时，a=出8有一个解， 因此方程/)=公(+e)有两解时，不等式a<名成立，C正确： 对于D,h(x)=2f(x)-tx3=2x2lnx-tx3,又h(x)>0, 所以2x2nx-x2>0,两边同除以x2,可得t<2nx, 今到=2，则)-20型令)0，行x=e, x2 当0<x<e时，k'(x)>0,函数k(x)在(0，e)上单调递增， 当x之e时，(<0，函数k)在(C+)上单调递减，k的=k⊙=2 又g)2h22.4e)23.42h42. 2 4 因此当k(3)>k(2)=k(4)=n2>t时，x取整数2,3,4满足(x)>0, 所以h(x)>0至少有三个整数解，则t<ln2,D正确.故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12.若4，b是正实数，且 1 ,=1,则a+b的最小值为 3a+b 2a+4b 【答案】 【分析】用“1”代换和基本不等式求出即可. 【详解】因为 a+b=5[(3a+b0+(2a+4]1=3[a+b+(2a+4] 3a+b2a+4b5 3 1 4 当且仅 2a+4b 3a+b 3a+6-2a+4地，即a=亏，b-5时取等号，所以a+b的最小值为 5 5 故答案为：5 13.记正项数列{a,}的前n项和为S,若S-a+, 2 neN,则+250 S. 的最小值为 【答案】 233 3 【分析】由题意可得{和，}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可得S.=”+,令 2 1=8="0少0：则+空029再利用号数确定西数y=r+2”>0的单润 2 S. t 性，再代值计算即可， 【详解】解：已知S=a(a+) 2 当n=1时，4=8=-马(4+，解得4=1或4=0， 2 因为是正项数列，舍去4=0，所以4=1， 当≥2时，a=S-81-a(区+_a(C+,整理可得(a,+a4a-a1-1)=0, 2 因为{a}是正项数列，所以a,-a1=1,则{a}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a.=n,3=0+,令f=S=n0+e>0,则s+250-r+20 2 2 对y=+250>0求导，得y=21-250. 2 令y=0,即2500，解狗1=5 当0<t<5时，y'<0,函数单调递减： 当1>5时，y>0,函数单调递增，又因为S.=”+少随n增加而增大， 2 8-3,+250-27 +0罗=6，+爱号0， 2=125 所以当1=3时，父+”取得最小值，最小值为23 故答案为： 233 3 3 6 14.在二项式 的展开式中，x项的二项式系数为 【答案】20 【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数 【详解】因为=Cg =C62x23r,r=0,1,2,,6. 令12-3r=3,得r=3,所以x项的二项式系数为C。=20.故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)各项不为0的数列{a}满足a.= a1,6n≥2，neN),且4=-1 30-1+1 (1)求证：数列 为等差数列： a (2)若2≥对任意n∈N恒成立，求实数元的取值范围， 【答案】(1)证明见解析 1 【分析】(1)根据递推公式得到 1=3,进而证明数列 d,a 为等差数列： 1 (2)结合(1)可得4= 加一7·代入。≥2对任意GN心恒成立，利用数列的单调性即可 得出实数入的取值范围 【详解】(1)因为各项不为0的数列a}满足a,=3a十 ,aLn≥2neN), ,11=3, 两边同时取倒数，可得上】+3，所以 a42-1 444 .a2=-1, 1-1=3,解得4=- 1 -14 4 数列 为等差数列，且公差为3，首项为-4. 2)由)可得-=4+3n-)3n-7,a.=37y :≥几对任意nN恒成立，“As0-7对任意n∈N恒成立， a 3n-4 2026届甘肃省甘南藏族自治州 高三二模模拟数学自编卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．在正四面体中，点在线段上，，点在线段上，，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在三角形ABC中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 5．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，角，则三角形ABC的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为，正方形的边长为，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是，则圆周率的近似值为 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 8．若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年同期相比）增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是（    ） A．折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B．折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C．与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D．2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 10．设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．点在以为圆心，为半径的圆上 C．若点在抛物线上，则 D．抛物线上恰好存在两个满足题意的点 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是正实数，且，则的最小值为__________. 13．记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为______. 14．在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）各项不为0的数列满足，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，不利于青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益智游戏，某游戏公司开发了一款益智游戏，在内测时收集了玩家过每一关的平均时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为，，其中． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程； (2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮这款益智游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，点是椭圆上任意一点，点和关于轴对称，设直线和交点为 (1)求点的轨迹的方程； (2)若为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限， （i）以为直径的圆是否经过点，若是，请说明理由； （ii）设为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是的内心. 19．（17分）已知函数，． (1)若曲线与x轴相切，求a的值． (2)若，证明：对任意，都有． (3)若函数在区间上既不是增函数，也不是减函数，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届甘肃省甘南藏族自治州 高三二模模拟数学自编卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：，故，故选B． 2．是虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由题意得，所以，故选C． 3．在正四面体中，点在线段上，，点在线段上，，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，中点，根据平行线分线段成比例和中位线性质可证得，，由异面直线所成角定义可知所求角为或其补角，根据长度关系分别求得的长，利用余弦定理可求得，由此可得结果. 【详解】取中点，连接，取中点，连接； 设正四面体的棱长为， ，，； ，，即，； 分别为中点，，； 即为直线与直线所成角或其补角； 为等边三角形，为中点，， 又，，； ， 直线与直线所成角的余弦值为.故选：D. 4．如图所示，在三角形ABC中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得，所以. 则. 故选：B. 5．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，角，则三角形ABC的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用两角和（差）的正弦公式及二倍角公式得到，即可得到或，当则，即可求出，从而求出三角形的面积，当，利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出、，再根据面积公式计算可得． 【详解】解：由题意，即 可得，即， 或． ①当时，． ，， ． 那么三角形ABC的面积． ②当，由正弦定理可得①． 又②，解得，． 那么三角形ABC的面积，故选：D． 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为，正方形的边长为，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是，则圆周率的近似值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：，解得. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即，又，所以， 由勾股定理得，即，解得， ,故选：B. 8．若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出导函数，使在区间上有解，分离参数可得，设，从而可得，利用导数即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 若在区间上不是单调函数，则在区间上有解， 即在区间上有解， 即 设，则，， 所以，实数的取值范围是，故选：B. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年同期相比）增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是（    ） A．折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B．折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C．与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D．2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 【答案】ABD 【分析】根据图中条形图和折线图的数据，以及极差和中位数的定义，结合选项判断. 【详解】折叠屏手机季度出货量的极差为千台，即91.4万台，故A正确； 将各季度折叠屏手机出货量（千台）从小到大排列为1857，2233，2505，2571，2771，故中位数为2505千台，即250.5万台，故B正确； 同比是指与上一年同期相比，故折叠屏手机2024年第三季度的出货量比2023年第三季度的出货量增加13.7%，故C错误； 由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数，故D正确.故选：ABD． 10．设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．点在以为圆心，为半径的圆上 C．若点在抛物线上，则 D．抛物线上恰好存在两个满足题意的点 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A：因为抛物线的准线为，所以，A错误； 对于B：，设，则. 因为，所以， 化简得，即. 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点在以为圆心，为半径的圆上，B正确； 对于C：由，得，即，解得， 所以，所以，C错误； 对于D：根据C求出的点有两个，或，所以D正确.故选：BD. 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确.故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是正实数，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】用“”代换和基本不等式求出即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 13．记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意可得是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可得，令，则.再利用导数确定函数的单调性，再代值计算即可. 【详解】解：已知， 当时，，解得或, 因为是正项数列，舍去，所以， 当时，，整理可得， 因为是正项数列，所以，则是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，，令，则. 对求导，得， 令，即，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，又因为随增加而增大， ，；，；，； 所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为： 14．在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________． 【答案】20 【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数. 【详解】因为，，1，2，…，6. 令，得，所以项的二项式系数为.故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）各项不为0的数列满足，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推公式得到，进而证明数列为等差数列； （2）结合（1）可得，代入对任意恒成立，利用数列的单调性即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为各项不为0的数列满足， 两边同时取倒数，可得，所以， ，，解得. 数列为等差数列，且公差为3，首项为. （2）由（1）可得，， 对任意恒成立，对任意恒成立， 令， 当时，； 当时，； 当时，单调递增，,所以， 实数的取值范围为. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）取的中点，可证明，得到即可. （2）建系，利用空间向量法直接求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，因为为的中点，底面是边长为2的正方形，所以，又因为，所以平面， 因为，平面，所以 因为，所以， 因为为中点，所以为的中点 （2） 因为，又，，所以，所以， 因为，， 故以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 则，另，得 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 17．（15分）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，不利于青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益智游戏，某游戏公司开发了一款益智游戏，在内测时收集了玩家过每一关的平均时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为，，其中． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程； (2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮这款益智游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）利用乘法公式求出概率，得到分布列，再根据期望的计算方法计算期望即可. 【详解】（1）将两边取自然对数可得，即． 令，则，又， ，， 所以， 又，即，所以，所以， 所以关于的回归方程为． （2）由题意知，甲获得的积分的所有可能取值为5，7，9，12， 所以，， ，， 所以的分布列为 5 7 9 12 所以． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，点是椭圆上任意一点，点和关于轴对称，设直线和交点为 (1)求点的轨迹的方程； (2)若为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限， （i）以为直径的圆是否经过点，若是，请说明理由； （ii）设为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是的内心. 【答案】(1)； (2)（i）以为直径的圆经过点，理由见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，设点，，再借助共线向量的坐标表示求出轨迹方程. （2）（i）设直线，与的方程联立，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示推理即得；（ii）设出过的圆的方程，探求直线与直线的斜率关系并求出交点的横坐标，再借助双曲线的第二定义及三角形角平分线的性质推理即得. 【详解】（1）依题意，，设，则，有， 设点，则，由，得， ，由，得， 联立消去得， 所以点的轨迹的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设直线，，， 由消去x并整理得，， 则，，， ， 则，所以以为直径的圆经过点. （ii）显然直线的斜率都存在，设直线，直线， 设过的圆：， 依题意，圆存在，则系数，即， 设直线与直线的交点为，由，得点的横坐标，恰为双曲线的右准线， 设到右准线的距离分别为，，为双曲线的离心率， 因此平分，又垂直平分，则， ，即，则平分， 又，于是是的内角平分线， 所以为的内心. 19．（17分）已知函数，． (1)若曲线与x轴相切，求a的值． (2)若，证明：对任意，都有． (3)若函数在区间上既不是增函数，也不是减函数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求原函数的导数，由曲线与x轴相切得切线的斜率为0即可求出参数值； （2）根据所证不等式构造新的函数，再利用导数解决不等式恒成立的问题； （3）先求出函数的单调区间，再根据在区间上既不是增函数也不是减函数，列出不等式即可求出参数的范围. 【详解】（1）对函数求导得． ∵曲线与x轴相切，∴切线的斜率为0．由，解得． 由曲线与x轴相切知，函数在处，有． 代入，得，解得． （2）证明：若，则． “任意，都有”等价于“对任意，都有”．令函数，求导，得．由，得． 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴当时，． ∴对任意，都有． ∴对任意，成立． （3）∵，∴， 如果函数在区间上单调递增，那么． ∵，∴等价于． 令函数，求导，得． 令，得． 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴当时，． 由，得． 解得，且当时，函数在区间上单调递增． ∴当函数在区间上单调递增时，． 如果函数在区间上单调递减，那么． ∵，∴等价于． 由前面解答知，在上单调递减，在上单调递增． ，． 则由，且． 得，且当时，函数在区间上单调递减． ∴当函数在区间上单调递减时，． ∴当函数在区间上既不是增函数，也不是减函数时， 实数a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $