精品解析：2026年3月河北沧州市第十四中学中考一模数学试卷

2026年初中毕业班（九年级）练习 数学 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答题时，均在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A的位置，进行判断即可． 【详解】解：设点A表示的数为a， 由图可知：， 观察各选项，只有选项A符合题意． 2. 如图是一个由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的平面图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 4. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后利用角的和差求解即可． 详解】解：如图所示， 由题意得，， ∵ ∴ ∵ ∴． 5. 约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰倒立的像的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得，经检验，符合题意； 即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 6. 某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察折线图，找出最喜爱方案C的人数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由折线图知：最喜爱方案C的顾客为②、⑤、⑨，共3人， ∴最喜爱方案C的概率是． 7. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】A、因为点的坐标不满足，所以函数图象不经过点，说法错误，该选项不符合题意； B、因为，所以函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； D、当时，随的增大而增大，且点和点在函数图象上，所以，当时，，该选项说法正确． 8. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 9. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出，根据翻折的性质得出，，，根据三角形内角和定理，等角对等边可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，结合，即可求解． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 10. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 11. 如图，在中，，，，平分，交于点，则面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明Rt和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，再在中利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：过D作于， 是的平分线，，于， ， 在Rt和Rt中， ， ∴RtRt（HL）， ， 由勾股定理得，， ， 设，则 在Rt中 ∴， 解得 即， ∴的面积为． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用零指数幂与负整数指数幂的运算法则化简，再进行有理数除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 14. 如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次推导 、、、、 的度数（用  表示），最后利用垂直定义和三角形内角和定理（或外角性质）建立方程求解即可． 【详解】解：设              在  中， 即   解得   故的度数为． 15. 一本课外读物，嘉嘉单独购买差27元，琪琪单独购买差34元，两人合买差3元，则嘉嘉和琪琪共有______元． 【答案】55 【解析】 【分析】设这本课外读物的价格为x元，用含x的代数式分别表示嘉嘉，琪琪拥有的钱数，根据两人合买差3元的等量关系列一元一次方程，先求解书的价格，再计算两人共有的钱数． 【详解】解：设这本课外读物的价格为元， 根据题意，嘉嘉拥有的钱为元，琪琪拥有的钱为元， 两人合买差元，因此两人总钱数为元，列方程得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 因此两人共有的钱数为． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 王老师在黑板上写下一个不完整的算式“”，然后转动转盘，将转盘停止后指针所指区域的数填入“□”并完成算式计算，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．如图，这是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． （1）求第1次转动转盘后，算式的计算结果； （2）若这个算式的计算结果小于，请求出指针应指向数几所在区域． 【答案】（1）13 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据转盘指针所指数字代入算式，按照有理数混合运算顺序计算； （2）设指针所指数字为未知数，根据计算结果列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由转盘可知第1次指针所指数字为，代入算式， 得； 【小问2详解】 解：设指针所指区域的数为，则， 化简得， 移项、合并同类项得， 解得， 由转盘中数据，指针应指向数8所在区域． 18. 下面是某同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解方程组： 解：得：第一步 得：第二步 解得：第三步 把代入①，得：第四步 解得：第五步 原方程组的解为第六步 （1）该同学从第______步开始出现错误，并写出此题正确的解答过程； （2）直线与直线交于点，求点所在象限． 【答案】（1）二；正确的求解过程见解析 （2）点P在第一象限 【解析】 【分析】（1）根据解方程组步骤的特点判断和分析即可，再按照解二元一次方程组的步骤求解即可； （2）联立，解方程组得出点P的坐标，再判断即可． 【小问1详解】 解：以上求解步骤中从第二步开始出现错误， 正确的求解过程如下： 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解：联立， 解方程组得：， ∴点P的坐标为， ∴点所在第一象限． 19. 如图，已知，，，． （1）求证：； （2）若为的中点，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中点， ∴， ∴是的中线， ∴． 20. 在一次爱心助学捐款活动中，某班同学拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款金额有5元、10元、15元、20元四种情况．李老师对捐款金额进行了统计．根据统计结果，绘制出如图1，图2所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题． （1）本次统计的学生人数为______人，图1中的值为______； （2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （3）李老师统计后也进行了捐款，并计入班级捐款（捐款金额与学生不同），重新统计后，发现平均数有变化，且平均数与中位数相同，求李老师的捐款金额． 【答案】（1），； （2）元，10元，元； （3）李老师的捐款金额为元． 【解析】 【分析】（1）先由条形图得5元捐款人数，结合扇形图中5元的占比求出总人数；再根据扇形图各部分百分比之和为，计算的值． （2）根据平均数、众数、中位数的定义，结合已知数据分别计算． （3）先确定原数据的中位数，分析加入李老师捐款后中位数的变化情况，再根据平均数与中位数相同列方程求解捐款金额． 【小问1详解】 解：总人数：(人)， ， 【小问2详解】 解：平均数 (元)， ∵10出现的次数最多， ∴众数为元， ∵把这组数据从小到大排列后，处于最中间的两个数为第25个和第26个，分别为15、15， ∴中位数(元) 【小问3详解】 解：原数据中位数元，加入李老师捐款后共个数据，中位数为第个数据．由捐款金额与学生不同知中位数仍为元，设李老师捐款金额为元，则 ， 解得（元）， 答：李老师的捐款金额为元． 21. 图1是边长为6的正六边形，连接． （1）直接写出的度数； （2）用无刻度直尺和圆规在线段上求作点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图2，点为线段上的点（不与，重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边相切时，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得正六边形的内角度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）根据三角形的内角和定理，可过D作交于M，则，进而可得答案； （3）先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可． 【小问1详解】 解：由正六边形的性质得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点M即为所求： 作图依据：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，以为圆心，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或． 22. 家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（为比热容，为质量，为温度降低量）．已知：猪肉的比热容，某块牛肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． （1）的猪肉从冷冻至，求放出的热量； （2）①求牛肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻牛肉，放出热量，求温度降低量： （3）冷冻相同质量的猪肉和牛肉，猪肉放出的热量比牛肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的猪肉的质量． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）①根据得到方程，再解方程即可； ②根据得到方程，再解方程即可； （3）设冷冻的猪肉的质量为，根据得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：①由题意得，， 解得； ②由题意得，， 解得； 【小问3详解】 解：设冷冻的猪肉和牛肉的质量为， 由题意得，， 解得． 23. 如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． （1）当点在边上时，的度数为______； （2）连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； （3）若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； （4）连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）的最小值为，此时的长为； （3）或； （4） 【解析】 【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得． （2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得． （3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积． （3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为． 【小问1详解】 解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． 在和中， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵绕点旋转， ∴点在以为圆心，为半径的圆上． ∵四边形是矩形，，， ∴． 根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为． 由（1）， ∴，，， ∴，． 设，则． 在中，，解得， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于，由题意得． ∵，在中，， ∴． 当在矩形内时，， 此时． 当在矩形外时，， 此时． 综上，边扫过区域的面积或． 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值， ∴最小值为． 24. 如图1，二次函数的图像，经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）①判断点是否在图像上； ②将二次函数的图像沿轴向右平移个单位长度得到一个新函数的图像，当经过点时，求的值； （3）如图2，将二次函数的图像沿射线方向平移，点，的对应点分别为，． ①当点恰好落在轴上时，求点移动的距离； ②连接，，交于点．若点落在图像上，直接写出点的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式，顶点的坐标； （2）①点不在图像上；②或； （3）①；②点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求得二次函数的表达式；再化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）①将代入二次函数表达式看是否为6即可判断；②由题意可得：平移后函数的表达式为：，再将代入得到关于n 的方程求解即可； （3）①先求得直线的解析式为，则设二次函数的图像向右移动t个单位长度、向上移动t个单位长度，，易得点G的对应点为，再结合已知条件可求得t，进而求得，最后根据两点间的距离公式求解即可；②由题意可得点G的对应点为，点A的对应点为，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得点M的坐标为，再将代入的表达式求得t，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入得： ，解得： 所以二次函数表达式为：， ∵ ∴顶点G的坐标为． 【小问2详解】 解：① 当时 ： 所以点不在图像上； ②由题意可得：平移后函数的表达式为： 将代入可得：， 解得或． 【小问3详解】 解：① 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵二次函数的图像沿射线方向平移， ∴二次函数的图像向右、向上移动的单位长度相等， 设二次函数的图像向右移动t个单位长度、向上移动t个单位长度，， ∴点G的对应点为， ∵点恰好落在轴上， ∴，解得：， ∴． ∴． ②如图：设二次函数的图像向右移动t个单位长度、向上移动t个单位长度，，连接，则四边形是平行四边形， ∴点G的对应点为，点A的对应点为， ∵四边形是平行四边形，，，交于点，， ∴M的坐标为，即， ∵点落在图像上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班（九年级）练习 数学 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答题时，均在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）     A. B. C. D. 6. 某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 8. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 11. 如图，在中，，，，平分，交于点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13 计算：______． 14. 如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 15. 一本课外读物，嘉嘉单独购买差27元，琪琪单独购买差34元，两人合买差3元，则嘉嘉和琪琪共有______元． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 王老师在黑板上写下一个不完整的算式“”，然后转动转盘，将转盘停止后指针所指区域的数填入“□”并完成算式计算，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．如图，这是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． （1）求第1次转动转盘后，算式的计算结果； （2）若这个算式的计算结果小于，请求出指针应指向数几所在区域． 18. 下面是某同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解方程组： 解：得：第一步 得：第二步 解得：第三步 把代入①，得：第四步 解得：第五步 原方程组解为第六步 （1）该同学从第______步开始出现错误，并写出此题正确解答过程； （2）直线与直线交于点，求点所在象限． 19. 如图，已知，，，． （1）求证：； （2）若为的中点，求证：． 20. 在一次爱心助学捐款活动中，某班同学拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款金额有5元、10元、15元、20元四种情况．李老师对捐款金额进行了统计．根据统计结果，绘制出如图1，图2所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题． （1）本次统计的学生人数为______人，图1中的值为______； （2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （3）李老师统计后也进行了捐款，并计入班级捐款（捐款金额与学生不同），重新统计后，发现平均数有变化，且平均数与中位数相同，求李老师的捐款金额． 21. 图1是边长为6的正六边形，连接． （1）直接写出的度数； （2）用无刻度直尺和圆规在线段上求作点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图2，点为线段上的点（不与，重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边相切时，求的长． 22. 家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（为比热容，为质量，为温度降低量）．已知：猪肉的比热容，某块牛肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． （1）的猪肉从冷冻至，求放出的热量； （2）①求牛肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻牛肉，放出热量，求温度降低量： （3）冷冻相同质量的猪肉和牛肉，猪肉放出的热量比牛肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的猪肉的质量． 23. 如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． （1）当点在边上时，的度数为______； （2）连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； （3）若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； （4）连接，直接写出最小值． 24. 如图1，二次函数的图像，经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）①判断点是否在图像上； ②将二次函数的图像沿轴向右平移个单位长度得到一个新函数的图像，当经过点时，求的值； （3）如图2，将二次函数的图像沿射线方向平移，点，的对应点分别为，． ①当点恰好落在轴上时，求点移动距离； ②连接，，交于点．若点落在图像上，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $