2026年河北省中考数学一轮专题复习 第三章　函数课件

第三章　函数 课时10　函数及其图象（3~10分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 返回目录 核心考点讲练 考点1　实际情境中函数图象的分析 6年3考 典例1 (2025·河南第10题)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是(　　) A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速 的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速 应不低于60 km/h D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮 胎的摩擦系数减小0.04 C 跟踪训练 1.(2025·广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是(　　) A.第5天的种群数量为300个 B.前3天种群数量持续增长 C.第3天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同 B 封面版式 2.(2025·青海)如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是(　　) A.乙车先到达B地 B.A，B两地相距300 km C.甲车的平均速度为100 km/h D.在8：30时，乙车追上甲车 C 封面版式 3.(2024·河南第10题)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(　　) A. 当P＝440 W时，I＝2 A B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1 A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的 热量Q越多 C 封面版式 4.(2022·河南第10题)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车. 酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1)，R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2)，血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3. 下列说法不正确的是(　　) A. 呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B. 当K＝0时，R1的阻值为100 Ω C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当R1＝20 Ω时，该驾驶员为醉驾状态 C 封面版式 考点2 几何图形中动点函数图象的分析6年2考 典例2　(华师八下P69 T7改编)如图1，正方形ABCD的边长为4，动点P从点D出发，沿D→C→B→A以每秒1个单位长度的速度运动到点A停止，设点P运动的路程为x，△APD的面积为y，请在图2中画出y与x之间的函数图象. 封面版式 变式　如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，连接DE，点P从点D出发，沿D→E→B匀速运动到点B.设点P运动的路程为x，图2是△PCD的面积y随路程x变化的关系图象，其中0≤x≤b，则b的值是_____. 6 封面版式 典例3 (2023·河南第10题)如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　　) A.6　　 B.3　　 C.4　　 D.2 A 封面版式 跟踪训练 5.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC的长是_____. 8 封面版式 6.(2021·河南第10题)如图1，在矩形ABCD中，E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为(　　) A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7 C 封面版式 7.(2025·新乡一模)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，E，F分别为AD，AB的中点，G是线段BD上一动点，设DG＝x，△EFG的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. C 封面版式 8.如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从点D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数关系图象如图2，则AD的长为____. 封面版式 9.(2025·周口模拟)如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿AB方向运动到某一点后，再经过等边三角形ABC内部运动到BC边上某一点，然后沿BC方向运动到点C停止.设点P的运动路程为x，BP＝y，已知点P运动时y随x变化的关系图象如图2所示，则等边三角形ABC的边长为(　　) A.　　 B.π　　 C.2　　 D.3 D 封面版式 方法总结　　　解决几何中的动点函数图象问题的方法 ①看两轴：先确定横、纵轴表示的意义； ②看点：找图象中的起点、拐点、与坐标轴的交点、终点、最高点(最低点)及其对应的坐标值，并与几何图形对应； ③看线：判断函数图象的趋势，注意特殊的函数图象(如平行于坐标轴、直线形、曲线形等)，并与几何图形对应； ④把图象信息转化为几何信息，利用几何图形的性质求解. 返回目录 封面版式 $ 第三章　函数 课时12　反比例函数（3~9分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 封面版式 返回目录 封面版式 核心考点讲练 考点1　反比例函数的图象与性质 6年6考 1.(2025·武汉)在平面直角坐标系中，某反比例函数y的图象分别位于第一、第三象限.写出一个满足条件的k的值是_______________. 2.(2025·河北)在反比例函数中，若2＜y＜4，则(　　) A.＜x＜1　　 B.1＜x＜2　　 C.2＜x＜4　　 D.4＜x＜8 1(答案不唯一) B 3.(2025·内蒙古)已知点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列结论一定正确的是(　　) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.当m＜0时，y1＜y2 D.当m＜－1时，y1＜y2 4.(2020·河南第6题)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＞y2＞y3　　 B.y2＞y3＞y1　　　　　　　　 C.y1＞y3＞y2　　　　　　　　 D.y3＞y2＞y1 D C 封面版式 考点2　反比例函数中k的几何意义6年2考 5.(2025·山东)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形. 若函数y(x＞0)的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为(　　) A. 0＜x≤2　　 B. x≥2　　 C. 0＜x≤4　　 D. x≥4 A 封面版式 6.(2025·宁夏)函数y＝(k1≠0)和y＝(k2≠0)的部分图象如图所示，点A在函数y＝的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交函数y＝的图象于点B.若AC＝3BC，则的值为(　　) A.－3　　 B.－　　 C. 　　 D.3 A 封面版式 重难考点突破 考点3 反比例函数与几何、一次函数综合6年3考 典例1 (2025·烟台)如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y(x＞0)的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为(　　) A. 4　　 B. 4　　 C. 2　　 D. 2 D 封面版式 典例2 (2023·河南第19题)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝图象上的点A(，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF. (1)求k的值. 解：(1)将A(，1)代入y＝，得1＝， 解得k＝. 封面版式 (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数. 解：(2)如图，过点A作OD的垂线，垂足为G,如解图所示. ∵A(，1)，∴AG＝1，OG＝. ∴OA＝＝2， 即扇形AOC的半径为2. 在Rt△OGA中，∵AG＝OA，∴∠AOG＝30°. 由菱形的性质，可知∠AOG＝∠COG＝30°， ∴∠AOC＝60°，即扇形AOC圆心角的度数为60°. (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 解：(3)3π. 封面版式 跟踪训练 1.(2025·绥化)如图，反比例函数y(x＜0)的图象经过A，C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA，OC，AC.若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是(　　) A.－12　　 B.－9　　 C.－6　　 D.－3 D 封面版式 2.(2024·河南第18题)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A. (1)求这个反比例函数的表达式. 解：(1)∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A(3，2)， ∴k＝3×2＝6. ∴这个反比例函数的表达式为y＝(x＞0). (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点， 再画出反比例函数的图象. 解：(2)画出函数图象如图所示. (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数 的图象上时，平移的距离为_______. 封面版式 3.(2025·河南第18题)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的表达式. 解：(1)∵反比例函数的图象经过 点C(2，2)， ∴2＝. ∴k＝4. ∴反比例函数的表达式为. 封面版式 (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标. 解：(2)如图，过点C作CE⊥OA，垂足为E，则E是OA的中点. ∴. ∴旋转后点D的横坐标为4. 把x＝4代入，得y＝1. ∴旋转后点D的纵坐标为1. ∴三角板OAB旋转前AD＝1. ∴旋转前点D的坐标为(－1，4).　 封面版式 4.(2025·江西)如图，直线l：yx＋m与反比例函数y(k≠0，x＞0)的图象交于点A(6，2). (1)求一次函数和反比例函数的表达式. 解：(1)将点A(6，2)代入yx＋m， 得，解得m＝－2. 将点A(6，2)代入y＝，得2＝，解得k＝12. ∴一次函数的表达式为y，反比例函数的表达式为(x＞0). 封面版式 返回目录 (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离. 解：(2)∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称， ∴点A与点C关于直线y＝x对称. ∵A(6，2)，∴C(2，6). 设直线l平移后的直线对应的函数表达式为 . 将点C(2，6)代入，得， 解得n. ∵，∴直线l向上平移的距离为. 封面版式 $ 第三章　函数 课时15　函数与方程、不等式的关（2~3分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 封面版式 返回目录 封面版式 核心考点讲练 考点1　一次函数与一次方程(组)的关系 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b(a≠0)与y2＝mx＋n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是(　　) A. y1随x的增大而增大 B. b＜n C. 当x＜2时，y1＞y2 D. 关于x，y的方程组的解为 C 考点2　二次函数与一元二次方程的关系 2.(人教九上P47 T5改编)二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx－m＝0的两个实数根异号， 则m的取值范围是_______. m＞0 封面版式 3.(2025·连云港节选)已知二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围. 解：(1)令x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3＝2a2， 整理，得x2＋2(a＋1)x＋a2－2a＋3＝0. ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴Δ＝［2(a＋1)］2－4(a2－2a＋3)＞0，解得. (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值. 解：(2)∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴方程x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3＝0有实数根. ∴Δ＝4(a＋1)2－4(3a2－2a＋3)≥0， 整理，得(a－1)2≤0，解得a＝1. 封面版式 考点3　函数与不等式的关系6年1考 4.(2025·连云港)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1. 当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A. x＜－1或x＞1 B. x＜－1或0＜x＜1 C. －1＜x＜0或x＞1 D. －1＜x＜0或0＜x＜1 C 封面版式 5.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，2)，其对称轴是直线x，则不等式ax2＋bx＋c≤2的解集是(　　) A.x≤0 B.x≤－1或x≥2 C.0≤x≤1 D.x≤0或x≥1 D 封面版式 6.如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx的图象交于点A(－3，0)和点B，则不等式x＋a＞x2＋bx的解集是(　　) A.x＞1 B.x＞1或x＜－3 C.－3＜x＜ D.－3＜x＜1 D 返回目录 封面版式 $ 第三章　函数 课时14　二次函数的应用（9~10分） 目录 大目录，语文主要配色：黄+蓝 核心考点讲练 考点 二次函数的应用 6年3考 类型1　面积问题 1.(2025·连云港节选)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2 m，面积为1.5 m2.甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个长方形桌面.请分别求出图1、图2中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值. 解：由题意，得. ∴. 在图1中，易得△ADE∽△ACB，∴，即. ∴.∴DC＝AC－AD. ∴y＝DE. ∵，∴函数图象开口向下. ∴当x＝1 m时，y有最大值，最大值为. 封面版式 在图2中，易得△DEC∽△ABC，∴，即. ∴DC.∴DA＝AC－DC＝－x. 易得△ADG∽△ABC，∴，即. ∴. ∴y＝DE·DG＝x·＝－＋. ∵＜0，∴函数图象开口向下. ∴当时，y有最大值，最大值为. 封面版式 类型2　利润问题 2.(2018·河南第21题改编)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表： [注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)] 销售单价x/元 85 95 105 115 日销售量y/个 175 125 75 m 日销售利润w/元 875 1 875 1 875 875 封面版式 (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值. 解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.由题意， 得解得 ∴y关于x的函数解析式是y＝－5x＋600. 当x＝115时，y＝－5×115＋600＝25. ∴m的值是25. 封面版式 (2)设该产品的日销售利润为w元，当销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(2)设该产品的成本单价为a元. 当x＝85时，875＝175×(85－a)，解得a＝80. 由题意，得w＝(－5x＋600)(x－80)＝－5x2＋1 000x－48 000＝－5(x－100)2＋2 000. ∵－5＜0，∴函数图象开口向下. ∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2 000. 答：当销售单价为100元时，日销售利润最大，最大利润是2 000元. 封面版式 类型3　抛物线型问题 3.(2023·河南第22题)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴 上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，CA ＝2 m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛 球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足 一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2. 封面版式 (1)求点P的坐标和a的值. 解：(1)将x＝0代入y＝－0.4x＋2.8，得y＝2.8. ∴点P的坐标为(0，2.8). ∵抛物线经过点P， ∴2.8＝a(0－1)2＋3.2，解得 a＝－0.4. 封面版式 (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 解：(2)∵OA＝3 m，CA＝2 m，∴OC＝5 m. 若选择扣球，则令－0.4x＋2.8＝0，解得x＝7. ∴球的落地点到C点的距离为7－5＝2(m). 若选择吊球，则令－0.4(x－1)2＋3.2＝0， 解得x＝＋1(负值已舍去). ∴球的落地点到C点的距离为5－(2＋1)＝(4－2)m. ∵4－2＜2，∴要使球的落地点到C点的距离更近，应选择吊球. 封面版式 4.(2025·南阳模拟)消防演训试验中，水枪喷出的水流形状是如图所示的一条抛物线，水流的高度y(单位：m)与水流离高楼的水平距离x(单位：m)之间具有二次函数关系.水枪在地面上离高楼水平距离9 m的点A处喷出水流，在与高楼水平距离3 m处达到最高，高度为18 m，水流落到高楼的点B处，建立如图所示的平面直角坐标系. 封面版式 (1)求水流所在抛物线的函数表达式. 解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(3，18)，且经过点A(9，0). 设水流所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－3)2＋18. 将A(9，0)代入，得0＝a(9－3)2＋18，解得a. ∴水流所在抛物线的函数表达式为y(x－3)2＋18. 封面版式 (2)已知高楼的点C处离地面的高度是16 m. ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，写出水枪水平移动的距离. 解：(2)①把x＝0代入y(x－3)2＋18，得y＝13.5. ∵16－13.5＝2.5(m)，∴水枪应竖直升高的高度为2.5 m； ②设水枪应水平向左移动k m， 则平移后抛物线的函数表达式为y(x－3＋k)2＋18. 将点C(0，16)代入，得16(0－3＋k)2＋18，解得k1＝1，k2＝5. ∴水枪应水平向左移动1 m或5 m. 封面版式 5.(2024·河南第22题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后___s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示). 封面版式 (2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度. 解：(2)根据题意，得当t＝时，h＝20.∴－5×＋v0×＝20. ∴v0＝20(负值已舍去). 答：小球被发射时的速度为20 m/s. (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 解：(3)小明的说法不正确.理由：由(2)，得h＝－5t2＋20t.当h＝15时，15＝－5t2＋20t，解得t1＝1，t2＝3. ∵3－1＝2(s)，∴小明的说法不正确. 封面版式 类型4　其他类型 5.(2025·深圳)综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如 图，某数学小组针对某次演出，研究了排 队人数与安检时间，安排通道数之间的关系. 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安 检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场 总人数－已入场人数；条件2：若该演出场 地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人. 封面版式 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100 (0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为_____，排队人数w与安检时间x的函数关系式为____________________. 【模型应用】(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 解：(2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541， ∴当x＝21时，w有最大值，最大值为 541. ∴排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541. 18x w＝－x2＋42x＋100 封面版式 (3)已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支.若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 解：(3)设开放m条通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100， ∴对称轴为直线x＝3(10－m). ∵排队人数10分钟(包括10分钟)内减少， ∴3(10－m)≤10，解得m≥. ∵最多开放9条通道，∴. ∵m为正整数，∴m最小值为7.∴为节省开支，可开设7条安检通道. 封面版式 【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性. 封面版式 $ 第三章　函数 课时13　二次函数的图象与性质（3~10分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 封面版式 返回目录 封面版式 核心考点讲练 考点1　二次函数表达式的确定（含图象变化） 6年5考 典例1　已知y与x满足二次函数关系，x与y的几组对应值如下表： (1)请在如下平面直角坐标系中描出对应点，并画出函数的大致图象. x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … (2)求y与x之间的函数表达式. 解：由表格，知函数图象的顶点坐标为(2，－1)， 设函数表达式为y＝a(x－2)2－1(a≠0). 把(1，0)代入，得a－1＝0，解得a＝1. ∴y与x之间的函数表达式为y＝(x－2)2－1. (3)若将该函数图象向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的顶点坐标为__________，平移后的函数表达式为______________. (4)将该函数图象向下平移m(m＞0)个单位长度后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则平移后的函数表达式为______________. y＝(x－5)2－2 y＝(x－2)2－4 (5，－2) 封面版式 跟踪训练 1.(2025·广东)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____________________ _______(写出一个即可). 2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－9)，与x轴的两个交点间的距离为6，则该抛物线的函数表达式为_____________. y＝－x2＋x＋2(答案不 唯一) y＝x2－2x－8 封面版式 3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点(A，B分别在原点左、右两侧)，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC＝2OA.求二次函数的表达式. 解：由题意，得C(0，c)，c＜0. ∵OB＝OC＝2OA，∴B(－c，0)，A. 设二次函数的表达式为y＝(x＋c)＝ x2cxc2， ∴c2＝c，解得c1＝0(舍去)，c2＝－2. ∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2. 封面版式 考点2 二次函数图象与系数的关系6年1考 典例2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴 为直线x＝1，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③2a＋b＝0； ④4a－2b＋c＞0；⑤ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3. 其中正确的是___________(填序号). ①②③⑤ 封面版式 跟踪训练 4.(2023·河南第9题)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A.第一象限　 B.第二象限　 C.第三象限　 D.第四象限 D 封面版式 5.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 封面版式 6.(2025·泸州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝－1时，y＞0，下列结论正确的是(　　) A.2a＝b　 B.b2－4ac＜0　 C.a－2b＋4c＜0　　 D.8a＋c＞0 7.已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是(　　) A.1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D.1≤a＜ D A 封面版式 考点3 二次函数的对称性6年1考 典例3　一题串考法 已知抛物线y＝－ax2＋2ax＋1. 基础过关 (1)抛物线的对称轴为直线_______. (2)若该抛物线与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为__________. (3)已知抛物线经过点A(x1，n)，B(x2，n)，则x1＋x2的值为_____. (4)已知抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，则线段CD的长为_____. x＝1 (－1，0) 2 2 封面版式 能力提升 (5)当a＝1时，抛物线为y＝－x2＋2x＋1，如图所示. 点M，N是抛物线上两点，点M到抛物线对称轴的距 离为1，点N到抛物线对称轴的距离为2，点Q是抛物 线上M，N之间的一个动点(含点M，N)，点Q的纵坐 标为yQ，求yQ的取值范围. 解：①如解图1所示，若点M，N位于对称轴的同侧， 则yQ的取值范围是－2≤yQ≤1； ②如解图2，3所示，若点M，N位于对 称轴的两侧，则yQ的取值范围是 －2≤yQ≤2. 封面版式 方法总结　　　　 抛物线的对称性 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线.抛物线上纵坐标相等的两点必关于对称轴对称.可根据纵坐标相等的两点确定对称轴的位置，或可根据对称轴的位置与其中一点坐标，求出关于对称轴对称的另一点的坐标. 封面版式 跟踪训练 8.(2025·福建节选)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)，则的值为______. 9.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点 的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则抛物线与x轴的另 一个交点的坐标为_________. 10.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为_____. －3 (1，0) 8 封面版式 考点4 二次函数的增减性6年2考 典例4　一题串考法 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c 与x轴交于点 (1，0)，与y轴交于点(0，3). (1)该抛物线的函数表达式为_____________，顶点 坐标为__________. (2)若点(－3，y1)，(0，y2)，(5，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(用“＜”连接). (3)①当－2＜x＜4时，y的取值范围是___________； ②当y≥3时，x的取值范围是___________. (4)若点M(m，y1)，N(6，y2)在抛物线上，且y1＜y2，则m的取值范围为__________. y＝x2－4x＋3 (2，－1) y2＜y3＜y1 －1≤y＜15 x≤0或x≥4 －2＜m＜6 封面版式 方法总结　　 二次函数中比较函数值大小的方法(数形结合) 方法1：利用对称性将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较大小. 方法2：利用点到对称轴的距离. a＞0，离对称轴越远y值越大； a＜0，离对称轴越远y值越小. 方法3(特殊值法)：代入特殊值进行比较. 封面版式 跟踪训练 11.已知抛物线y＝x2－2x－4的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　　) A.y2＜y3＜y1 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y1＜y2 12.(2025·广州)在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)上，则下列结论中正确的是(　　) A.当x1＜0且y1·y2＜0时，则0＜x2＜2 　 B.当x1＜0且y1·y2＞0时，则0＜x2＜2 C.当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D.当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 B A 封面版式 13.(2025·河南第22题)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示. (1)求二次函数的表达式. 解：(1)把(－2，－2)，(1，1)代入y＝ax2＋bx－2， 得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2. x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … 封面版式 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. 解：(2)∵y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3， ∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3). 画出二次函数的图象如图. (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 解：(3)1或4. 返回目录 封面版式 $ 第三章　函数 课时9　平面直角坐标系与点坐标（3分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 封面版式 返回目录 封面版式 核心考点讲练 考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征 1.(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2025·南通)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3，1)绕原点O逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为(　　) A.(3，－1) B.(－1，3) C.(1，－3) D.(－3，1) 3.(2025·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(2，－2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为(　　) A.(7，－2) B.(－3，－2) C.(2，－7) D.(2，3) B B D 考点2　简单几何图形与点坐标6年6考 4.(2025·山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为____________. (3) 封面版式 5.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转120°得到线段OB，连接AB交y轴于点P， 已知AB＝2，则点B的坐标为_________，点P的坐标为_________. (1，) 封面版式 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点A(3，0)，C(1，4)，M为对角线OB的中点，则点B的坐标为_______，点M的坐标为______. (4，4) (2，2) 封面版式 7.(2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是_________________(只需写出一个即可). 8.如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCO 的边OC落在x轴负半轴上，已知点A的坐标 为(1，2)，则点B的坐标为___________. 变式 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCO 的边OC落在x轴负半轴上，已知点 B(－9，3)，则点A的坐标为__________. (2，1)(答案不唯一) (1－，2) (－4，3) 返回目录 图1 图2 封面版式 $ 第三章　函数 课时11　一次函数（4~9分） 知识体系梳理 核心考点讲练 目录 01 02 （放映后点击标题跳转到相应部分） 大目录，语文主要配色：黄+蓝 知识体系梳理 返回目录 封面版式 核心考点讲练 考点1　一次函数的图象与性质 6年3考 1.(2025·长春)已知点A(－3，y1)，B(3，y2)在同一正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则下列结论正确的是( ) A.y1＝－y2 B.y1＝y2 C.y2＞0 D.y1＜0 2.(2025·安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是 ( ) A.(－2，2) B.(2，1) C.(－1，3) D.(3，4) D A 3.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k的图象可能是( ) B 封面版式 4.(2025·广州)如图，在平面直角坐标系中， 点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x 向上平移d个单位长度后与线段AB有交点， 则d的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是__________ _. D 封面版式 6.(2025·北京)在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5). (1)求k，b的值. (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围. 解：(1)由题意，将(1，3)，(2，5)代入y＝kx＋b， 得解得 (2)2≤m≤3. 封面版式 考点2 一次函数的应用6年6考 7.(2025·江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( ) A.甲　B.乙　C.丙　D.丁 A 封面版式 8.(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如下表： (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价. 解：(1)选②③作为条件. 设每个篮球x元，每个足球y元. 由题意，得解得 答：每个篮球60元，每个足球50元.(选①②或①③作为条件亦可) ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 封面版式 (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 解：(2)设购买篮球m个，则购买足球(10－m)个. 由题意，得10－m ≤ 2m，解得m≥ . 设购买的总费用是w元， 则w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500. ∵10＞0，∴w随着m的增大而增大. ∵m ≥ 且m为整数， ∴当m＝4时，w取最小值，最小值为540. 答：当购买4个篮球时花费最少，最少费用为540元. 封面版式 9.跨学科 （2025·吉林改编）如图 1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将两个完全相同、质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计 A，B 的下方，从离桌面 20 cm 的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化（溢水杯的杯底厚度忽略不计）. 在实验探究的过程中，弹簧测力计 A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度 x（cm）之间的关系如图2所示，则下列说法不正确的是 （ ） C 封面版式 A.当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A，B的示数分别为2.8 N，2.5 N B. 当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式为F拉力= -0.3x+5.8（6≤x≤10） C.甲种液体的密度大于乙种液体的密度 D. 若小铝块在甲、乙两种液体中受到的浮力相同，则在甲液体中浸入的深度大于在乙液体中浸入的深度 封面版式 10.(2020·河南第19题)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下. 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用 按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按 八折优惠.设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需 费用为y1(元)，且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用 为y2(元)，且y2＝k2x.其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义. 解：(1)∵直线y1＝k1x＋b的图象过点(0，30)，(10，180)， ∴解得 k1＝15表示的实际意义：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元.b＝30表示的实际意义：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元. 封面版式 (2)求打折前每次健身的费用和k2的值. 解：(2)由题意，可得打折前每次健身的费用为15÷0.6＝25(元)，则k2＝25×0.8＝20. (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由. 解：(3)选择方案一所需费用更少. 理由：由(1)(2)，可知y1＝15x＋30，y2＝20x. 当健身8次时，选择方案一所需费用： y1＝15×8＋30＝150(元)， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160(元). ∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少. 返回目录 封面版式 $