2.5 最小公倍数的求法（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学冀教版

最小公倍数的求法 教学设计 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察分数比较、实际问题中的数的关系，理解公倍数和最小公倍数的意义，感知其在解决实际问题中的应用价值，能用数学语言描述数与数之间的倍数关联。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过分析、归纳，掌握用列举法、短除法求两个数最小公倍数的方法，能比较不同方法的特点并选择合适的方法解决问题，培养逻辑推理和数学抽象能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能用 “公倍数”“最小公倍数”“短除法” 等数学术语清晰阐述求最小公倍数的过程和结果，在小组讨论中准确表达自己的思考方法，提升数学表达的准确性和逻辑性。 教学重难点： （1）理解公倍数和最小公倍数的意义：学生对 “多个数的公共倍数” 这一抽象概念理解存在障碍，易混淆 “公倍数” 与 “倍数”，需通过具体倍数列举建立直观认知，明确 “最小” 限定词的必要性，培养数学抽象与逻辑推理素养。 （2）掌握用列举法、短除法求最小公倍数的方法：学生在列举倍数时易出现无序性，短除法中对 “公有质因数除数”“商互质” 的逻辑理解需通过操作实践突破，培养数学运算与有序思考能力。 （3）运用最小公倍数解决生活实际问题：学生需将生活情境（如周期相遇、重复事件）转化为 “求最小公倍数” 的数学模型，通过验证 “最小结果” 合理性体现数学应用与建模素养。 教学准备： （1）多媒体课件（含 12、18 等数的倍数列举过程、短除法步骤演示及练习题的 PPT 课件）。 （2）学生用学习任务单（含倍数列举练习、短除法步骤引导问题及分组探究任务）。 （3）数字卡片（12、18、30 等数的卡片及短除法除数、商书写卡片）。 教学方法： 情境教学法、小组讨论法、问题驱动法 教学过程： 一、复习导入，激活旧知 同学们，还记得上节课我们学习的分数通分吗？比如要比较和的大小，我们需要先找到 5 和 7 的公倍数作为公分母，把它们变成同分母分数再比较。当时我们提到 “公倍数” 这个词，它其实就像生活中 “共同的任务”—— 比如班级里每周三的大扫除，有的同学负责扫地，有的负责擦窗，只有完成各自任务的时间相同，才能一起结束大扫除。这种 “共同完成的时间” 其实就是 “共同的倍数”，也就是我们今天要深入研究的最小公倍数的核心思想。 （师提问）：谁能回忆一下，通分的关键步骤是什么？ （学生活动）：找到两个分母的公倍数作为公分母，然后分子分母同时乘相应的数。 （教师活动）：没错！比如和，我们先找 5 和 7 的最小公倍数35，通分后是和，因为，所以，这说明红红用时更少，打字更快。 （师过渡）：如果我们现在换个角度想，比如 “两个数的共同倍数” 里，有没有 “最小的那个” 呢？就像打扫卫生，最早能一起结束的时间就是最小的共同时间。今天我们就来学习这个 “最小的共同倍数”——最小公倍数的求法。 二、探究新知，理解概念 （1）明确概念：什么是公倍数和最小公倍数？ （师引导）：请大家先看屏幕上的问题：“小明的书架上有 3 排书，每排 6 本；小红的书架上有 4 排书，每排 6 本。如果他们要把相同数量的书摆放在同一个区域，需要多少本书？” 这里的 “相同数量” 其实就是 3×6 和 4×6 的共同倍数——18 和 24 的公倍数是 36、72…… 最小的就是 36。 （学生活动）：请大家试着用自己的话说说 “公倍数” 和 “最小公倍数” 是什么？ （生 1）：公倍数就是两个数都有的倍数；最小公倍数就是这些公倍数里最小的那个。 （教师活动）：没错！两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数。比如 6 和 8 的公倍数有 24、48、72……最小公倍数是 24。 （2）方法探究一：列举法求最小公倍数 （师任务）：现在我们来具体求一组数的最小公倍数，比如 12 和 18。请大家先独立思考 3 分钟，尝试用自己的方法找出它们的最小公倍数。 （学生活动）：学生开始在草稿本上列举倍数，教师巡视时发现：有的同学漏写倍数（如 12 的倍数只写 12、24、48），有的同学把 18 的倍数算错（18×1=18，18×2=36，18×3=54…… 而非 18×4=72）。 （师引导纠错）：请生 2 分享你的列举过程。 （生 2）：12 的倍数：12、24、36、48……18 的倍数：18、36、54…… 公有的倍数是 36、72……最小的是 36。 （师追问）：为什么之前你说 24 是公倍数？哪里出错了？ （生 2）：我之前漏了 18 的倍数，18×2=36 才是第二个倍数，24 不是 18 的倍数，所以错了。 （师点拨）：非常好！列举时要注意 “按顺序写，不跳步”，比如 12 的倍数：12×1=12，12×2=24，12×3=36……18 的倍数：18×1=18，18×2=36…… 这样就能清晰找到第一个公有的倍数。 （3）方法探究二：短除法求最小公倍数 （师引入）：当数字较大时，列举法容易出错或耗时。我们可以用更高效的 “短除法”。短除法的核心是：用两个数的公有质因数去除，直到商互质为止，再把除数和商连乘。 （教师活动）：以 12 和 18 为例： ① 先把 12 和 18 写在 “厂” 字里，用它们的公有质因数“2” 去除，商是 6 和 9（因为 12÷2=6，18÷2=9）； ② 再用 6 和 9 的公有质因数“3” 去除，商是 2 和 3（6÷3=2，9÷3=3）； ③ 此时 2 和 3互质（只有公因数 1），停止除法。 ④ 最后把除数 2、3 和商 2、3 连乘：2×3×2×3=36，这就是最小公倍数。 （学生活动）：请大家用短除法求 30 和 45、14 和 52、15 和 60 的最小公倍数，小组内先讨论步骤，再派代表汇报。 （小组讨论）：各小组发现问题： 30 和 45：有的组用 “3” 除得 10 和 15，再用 “5” 除得 2 和 3，连乘 3×5×2×3=90； 14 和 52：用 “2” 除得 7 和 26，7 和 26互质，连乘 2×7×26=364； 15 和 60：15 和 60 是倍数关系，直接用 15 除得 1 和 4，连乘 15×1×4=60。 （师点评）：对！当两个数是倍数关系时，短除法可以简化：用较小数去除较大数，商是 1 和倍数对应的数，最小公倍数就是较大数。 （4）对比：短除法与质因数分解的联系 （师提问）：我们学过质因数分解，12=2×2×3，18=2×3×3，最小公倍数是公有质因数 × 独有质因数 = 2×3×2×3=36。短除法的本质就是质因数分解的简化形式，除数是公有质因数，商是独有质因数，所以两者结果一致。 （师延伸）：现在请用短除法求 18 和 30 的最小公倍数，并对比最大公因数的求法。 （生操作）：18 和 30 用 2 除得 9 和 15，再用 3 除得 3 和 5，连乘 2×3×3×5=90；最大公因数是 2×3=6。 （师总结）：最大公因数取 “所有除数的乘积”，最小公倍数取 “所有除数和商的乘积”，两者都基于质因数分解。 三、巩固练习，深化理解 （1）基础练习：不同关系的数求最小公倍数 倍数关系：17 和 51。17 是 51 的因数，51 是 17 的倍数，最小公倍数是 51。 互质关系：4 和 9。4 和 9 只有公因数 1，最小公倍数是 4×9=36。 既不倍数也不互质：24 和 30。短除法除 2 得 12 和 15，除 3 得 4 和 5，连乘 2×3×4×5=120。 （2）易错辨析：判断对错 ① “两个数的最小公倍数一定比这两个数都大”（×，反例：6 和 12 的最小公倍数是 12，等于 12）； ② “互质数的最小公倍数是它们的乘积”（√，如 4 和 9）； ③ “用短除法求最小公倍数时，商可以是 1”（×，商必须互质，1 和任何数互质，但如果两个数是 1 和另一个数，如 1 和 5，最小公倍数是 5）。 （3）生活应用：共同活动的时间问题 3 月 1 日，红红和丫丫在图书馆相遇，约定下次同时来的时间。红红每 2 天来一次，丫丫每 3 天来一次，下次相遇是 3 月几日？（答案：3 月 7 日，因为 2 和 3 的最小公倍数是 6，1+6=7）。 （4）拓展思考：开放性题目 “写出两个数，使它们的最小公倍数是 24”。可能的答案：3 和 8（互质，3×8=24）、4 和 6（短除法得 12，不对，24÷2=12，12 和 24 的最小公倍数是 24，所以正确答案：3 和 8、2 和 24、6 和 8（6 和 8 的最小公倍数是 24）等。 四、课堂小结，梳理方法 （1）知识梳理： 公倍数与最小公倍数：两个数公有的倍数叫公倍数，最小的是最小公倍数； 求法： 列举法：适合较小数，按顺序列举倍数，找最小公有的； 短除法：适合较大数，用公有质因数依次除，连乘除数和商； 特殊情况：倍数关系（最小公倍数是较大数）、互质关系（最小公倍数是乘积）。 （2）学生分享感悟： 生 1：“我知道了求最小公倍数要先看两个数的关系，是倍数就直接用大数，是互质就直接相乘。” 生 2：“短除法虽然步骤多，但比列举法快，尤其是数字大的时候。” （3）教师点拨： 最小公倍数在生活中应用广泛，比如安排值日表、规划活动周期等。课后请大家思考：如果两个数的最小公倍数是 30，这两个数可能是多少？（答案：1 和 30、2 和 15、3 和 10、5 和 6），下节课我们继续探索！ 课后作业： （1）用列举法或短除法求下列每组数的最小公倍数： ① 10 和 15 ② 14 和 21 ③ 7 和 11 （2）填空并解决问题： ① 两个数的最小公倍数是 12，这两个数可能是（ ）和（ ）（写出一组即可）。 ② 一个数既是 4 的倍数，又是 6 的倍数，这个数最小是多少？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $