专题1.5二次根式32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.5 二次根式32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式性质化简 题型三 化为最简二次根式 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 复合二次根式的化简 题型七 化简求值问题的综合应用 题型八 同类二次根式 【经典例题一 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 2．（25-26八年级下·山西晋中·月考）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 当时， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期末）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的有意义的条件． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果； （2）利用二次根式的有意义的条件求得x的值，再把x的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 而， ，， ， ． 【经典例题二 利用二次根式性质化简】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式． 【详解】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子． 2．（25-26八年级下·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：__________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 4．（25-26八年级下·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【经典例题三 化为最简二次根式】 1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵D为边上中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去） 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故选：A 3．（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【答案】的长为或． 【分析】如图，当在上，时，证明三点共线，， 求解，可得，当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，时， ∵长方形，结合对折； ∴，，，，， ∴三点共线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在上时，，延长交于点， 同理可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题四 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 2．（2024·八年级下 山东青岛）如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的表面积，勾股定理；利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了个小三角形的面积，依题意小三角形为等腰直角三角形， 设直角边为，则斜边为， 则有， 得到， 由几何关系得：阴影部分的面积为 ， 所以增加的面积为 ． 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）投影仪是一种将电子图象或视频信号转换为光信号并通过光学系统放大投射到屏幕或墙壁上的设备．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙1米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为1米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置与最低位置相差______米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：如图4所示，设投影仪的位置为点O，点C为墙上高为1米处，过点O作垂直于墙于D，在墙上分别取一点E、F使得米，再取一点G使得，则都是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，得到；如图4所示，将绕点O逆时针旋转得到，连接，可得；证明，得到，设，则，由勾股定理得，，解方程得到；如图5所示，设投影仪的位置为点O，点C为墙上高为1米处，过点O作垂直于墙于D，作交墙于Q，过点C作于M，则是等腰直角三角形，可得，由勾股定理得到，则，利用等面积法得到，设，则，由勾股定理得，解方程得到，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置与最低位置相差； 方法二：设投影仪的位置为点O，投射到屏幕上的画面宽为，投影仪高为，墙上1米高处为点C，则，，过点O作于点D，在射线上取点E，使，连接，则，，推出，当点A在点C位置时，在上取点F，使，得到，推出四边形是矩形，得到 ， ，推出，，根据，推出，得到，推出；当点B在点C位置时，在上取点G，使，设，得到，推出， ，推出，根据， ，推出，推出，得到，推出，即得． 【详解】解：方法一：如图4所示，设投影仪的位置为点O，点C为墙上高为1米处，过点O作垂直于墙于D，在墙上分别取一点E、F使得米，再取一点G使得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图4所示，将绕点O逆时针旋转得到，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图5所示，设投影仪的位置为点O，点C为墙上高为1米处，过点O作垂直于墙于D，作交墙于Q，过点C作于M， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴投影仪发射的光线可能到达的最高位置与最低位置相差， 故答案为：． 方法二：如图1，设投影仪的位置为点O，投射到屏幕上的画面宽为，投影仪高为，墙上1米高处为点C，设C在直线上， 则，， 过点O作于点D，在射线上取点E，使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， 当点A在点C位置时，如图2，在上取点F，使，连接， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点B在点C位置时，如图3，在上取点G，使，连接， 则， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴投影仪发射的光线可能到达的最高位置与最低位置相差米． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 【经典例题五 分母有理化】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意得出是等腰直角三角形，进而证明是的角平分线，即可判断①；设等边三角形的边长为，分别求得，即可判断②；以为斜边作等腰直角三角形，连接，延长交于点，得出是等腰直角三角形，三角形是等腰直角三角形，证明，，进而分别求得，计算，而，即可判断③，证明得出即，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形，点为中点， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， 又∵点在的平分线上， ∴点到的距离相等， ∴点到的距离相等，即是的角平分线， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接，延长交于点， ∵ ∴在的垂直平分线上， 又∵到的距离为，到的距离等于 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，故③错误， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的性质，分母有理化，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26八年级下·四川成都·月考）已知：，则的值为_______． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 【经典例题六 复合二次根式的化简】 1．（2025八年级下·全国·竞赛）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（2024八年级下·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 3．（25-26八年级下·上海·月考）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 【经典例题七 化简求值问题的综合应用】 1．（22-23八年级下·浙江·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·月考）设，则_____． 【答案】 【分析】利用和，推得，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 即， 整理得， ， 将代入原式可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是通过完全平方公式得到，借助该式将原多项式进行降幂化简． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【经典例题八 同类二次根式】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·假期作业）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 3．（25-26八年级下·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 4．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次根式32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式性质化简 题型三 化为最简二次根式 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 复合二次根式的化简 题型七 化简求值问题的综合应用 题型八 同类二次根式 【经典例题一 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 2．（25-26八年级下·山西晋中·月考）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，则________． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期末）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 【经典例题二 利用二次根式性质化简】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26八年级下·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：__________． 4．（25-26八年级下·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【经典例题三 化为最简二次根式】 1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 3．（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为_______ ． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【经典例题四 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·八年级下 山东青岛）如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了(    ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）投影仪是一种将电子图象或视频信号转换为光信号并通过光学系统放大投射到屏幕或墙壁上的设备．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙1米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为1米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置与最低位置相差______米． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【经典例题五 分母有理化】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·月考）已知：，则的值为_______． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 【经典例题六 复合二次根式的化简】 1．（2025八年级下·全国·竞赛）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 3．（25-26八年级下·上海·月考）计算： （1）______； （2）______． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【经典例题七 化简求值问题的综合应用】 1．（22-23八年级下·浙江·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·月考）设，则_____． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【经典例题八 同类二次根式】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·全国·假期作业）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（25-26八年级下·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 4．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $