2025-2026学年高一下学期第一次月考数学检测卷（培优卷）人教A版必修第二册

高一下学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册第六章、第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量：①；②；③；④；⑤其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（    ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】利用向量共线的充要条件可得： 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数 , 使得 成立, 且 . 可以证明 当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 . 据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的充要条件可得: 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数使得 成立, 且 . 可以证明当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 , . 证明如下: 如图所示, 点 是阴影区域内的任意一点, 过点 作, 分别交于点,; 交于点, 过点作 交于点, 则存在唯一一对实数 , 使得 , 且 唯一; 同理存在唯一一对实数 使得 , 而， 即可判断出①,因为，所以点 位于阴影区域内, 故①正确; 同理③正确; 而②④不正确; ⑤原式, 而, 故不符合条件. ⑤不正确; 综上可知：只有①③正确. 故选：A. 【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键.属于较难题. 2．若向量，，满足，，且，则的最小值是 A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值. 【详解】设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为， 因此 从而，选C. 【点睛】本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题. 3．设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可. 【详解】取AC中点D，因为O是的外心，所以 则 ，解得： 所以 即 故选：B 4．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 故选：B. 5．平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算及三角恒等变换逐项判断即可得到答案. 【详解】对于①， 因为，所以. 同理，， ，①正确； 对于②，由，两边平方得. 因为，所以，即. 当时，，不满足等式，故②不正确； 对于③， ，， 由和差化积公式得， 所以，③正确； 对于④，由得. 结合③的结论得，，因为为非零向量，故， 所以又，所以，故④正确. 综上，①③④正确. 故选：D. 6．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 7．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 8．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【详解】设， ，即， ，解得： ， 当时， ， 则 ， 当时， 则 ， 故选：D 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（   ） A． B．若为的外心，则 C．若，则 D．若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理和条件计算判断A，建立坐标系，先计算外心的坐标，再结合向量的数量积坐标公式计算判断B，根据向量关系计算得到点坐标，进而计算向量的模判断C，根据条件和两点间距离公式，结合三角函数计算得到最值判断D. 【详解】因为，结合余弦定理的推论可得 ， 对于A，由余弦定理推论，因为，所以，A正确. 对于B，以点为原点，为轴建立坐标系，， 外心在垂直平分线上，代入的垂直平分线方程 得，，，B错误. 对于C，设，因为，， ，所以， 解得,C正确. 对于D，设满足则 ， 由圆的方程得代入化简得， 设，得 ，其中， 因为，得的最小值为，D正确. 故选：ACD. 10．下列命题正确的（    ） A．已知，若与的夹角是钝角，则 B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1，2，4. C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时， D．在中，，，设是的内心，若，则 【答案】BCD 【分析】根据数量积为负结合两个向量不共线反向计算后可判断A，根据正弦定理结合的范围计算后可判断B的正误，对于C，根据余弦定理可得，再根据求得，结合面积公式计算后可判断C的正误，对于D，利用坐标法计算后可判断其正误. 【详解】对于A，因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则， 故的取值范围为.故A错误 对于B，由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数可以为1，2，4.故B正确 对于C，在中，由及余弦定理，得， 即，则，又，则有， 即，又，因此， 则，当时取等号 ∴面积取最大值时．故C正确 对于D，以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，则， 设内切圆的半径为，则，解得， 故，则， 因为，所以， 即，解得，故. 故D正确. 故选：BCD 11．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AB 【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确； 对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中（小时）， 又因为，，和的夹角为， 从而，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 13．已知复数，且，则______. 【答案】或3 【分析】先求出，再利用复数模的公式列出a的方程，求解即得. 【详解】复数， 可得，则 整理得，，即 因为，所以且， 又因，故，解得，或. 故答案为：或3. 【点睛】思路点睛：在根据题意推得方程后，要根据条件,将看成整体，对右式进行相应分解，才能顺利求得值. 14．已知虚数使得和都是实数，则__________． 【答案】 【分析】设，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可． 【详解】设，，，是实数）， 因为和都是实数， 所以设和， 即，， 即， 则，即，即，① 由，得 即， 得，，即，② 由①②解得，， 即． 故答案为：. 四、解答题（5小题，共77分） 15．平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)1； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数； （2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以正实数t的值为1. （2）设，，与的夹角为， 由得，， 则有， 则有，即①， 若，由①式得，， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1）， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），. 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 16．如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由图先将用线性表示，再以为未知向量，求解方程即得； （2）将（1）中求得的的表示式代入所求式，运用向量数量积的定义和运算律计算即得； （3）将分别用表示，化简计算得，结合图形，得出当与重合时，取最小值；当与重合时，取最大值，利用余弦定理求出的长，即可求得的取值范围. 【详解】（1）因，则①， ②， 由，可得，化简即得：； 又由，可得，化简即得：. （2）由（1）可知，， 则 ． 因为，，则， 则， 故． （3）由题可知， 则． 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为， 当与重合时，最大，取得最大值． 如图连接，在中，由余弦定理， ， 所以的最大值为， 故的取值范围为． 17．在锐角中，所对边分别为，满足且.    (1)求； (2)若点为的垂心，，，则求线段的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先将进行角化边，整理得到，再利用余弦定理求出的值，从而得到； （2）由点为的垂心，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，由得到，在中，由的长度和的大小得到的长度，在中，由和的长度得到的长度，在中，由的大小得到的长度，从而得到的长度. 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是锐角三角形， . （2）点为的垂心， 连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于， ，， 在中，，， ， 在中，，，， 在中，，， .    18．已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. (1)求； (2)记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 【答案】(1)1 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）利用三角形的外心特点得到，结合复数的运算性质可得结果. （2）①利用降幂公式和余弦定理推得，即可得到结果； ②设，则得，可得与复平面的实轴垂直，与复平面的虚轴垂直，求出的值，得到的长，即可求的面积. 【详解】（1）点是的外心，，即， 由，得， 在第一象限，，故. （2）①， ， . 由余弦定理知，两式相加可得， ，故是直角三角形. ②设，则，， ， 与复平面的实轴垂直， 由①得，，则与复平面的虚轴垂直，， 在第一象限，，故， ， . ， ， 的面积为. 19．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册第六章、第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量：①；②；③；④；⑤其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（    ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤ 2．若向量，，满足，，且，则的最小值是 A． B． C．2 D． 3．设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 4．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 6．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 7．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（   ） A． B．若为的外心，则 C．若，则 D．若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 10．下列命题正确的（    ） A．已知，若与的夹角是钝角，则 B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1，2，4. C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时， D．在中，，，设是的内心，若，则 11．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 13．已知复数，且，则______. 14．已知虚数使得和都是实数，则__________． 四、解答题（5小题，共77分） 15．平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 16．如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 17．在锐角中，所对边分别为，满足且.    (1)求； (2)若点为的垂心，，，则求线段的长度. 18．已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. (1)求； (2)记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 19．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 学科网（北京）股份有限公司 $