湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

襄阳四中2024级高二下学期三月月考 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.抛物线的准线方程为(    ) A. B. C. D. 2.圆与圆的位置关系是(    ) A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    ) A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 4.中国当代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地则最后一天走了(    ) A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 5.在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 6.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.已知在数列中，，，，则中的最大项是(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是(    ) A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 与的等比中项为 C. 在公比不为的等比数列中，若，则的值可能为 D. 等比数列是递增数列，则的公比 10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为，且，则下列说法中正确的有(    ) A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是，则(    ) A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是 C. 的面积是 D. 的外接圆半径是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.函数的单调减区间是          ． 13.数列满足，，则数列的前项和为          ． 14.已知直线与交于两点， 时，           ； 若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.设函数． 当时，求函数在点处的切线方程． 当，求函数的极值． 16.已知是等差数列，是公比大于的等比数列，且，，，． 求数列和的通项公式； 设数列的前项和为，求． 17.如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点， 平面与棱交于点． 求证：为的中点； 若为的中点，平面平面，求二面角的余弦值． 18.已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆过点过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点记弦的中点分别是   求椭圆的方程； 若直线与轴不重合，求面积的最大值； 求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 19.已知为正项数列的前项和，且． 求的通项公式． 已知数列满足：，，． 求． 证明：． 若，求的取值范围． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：由抛物线可得准线方程为：． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：由已知圆，半径， 圆的的标准方程为， 因此圆心，半径， 圆心距， 由于圆心距，所以两圆外切． 3.【答案】  【解析】解：对，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误 对，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误 对，当时，此时单调递增，故C错误 对，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的实际应用，等比数列前项和中的基本量计算，属于基础题． 第天走的里程数是公比为的等比数列，从而，由此能求出，由此能求出最后一天走的里程数． 【解答】 解：有一个人走里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地， 则第天走的里程数是公比为的等比数列， ， 解得， 则最后一天走了． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率． 【解答】 解：设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选D． 7.【答案】  【解析】解：由已知在上恒成立， 又， 所以当时，恒成立， 设，， 当时，，故，因此， 即在上单调递增，其最小值在处取得：， 由于在恒成立，故，即． 8.【答案】  【解析】解：记，由题意得， 整理可得， 得， 即， 又，，所以， 则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于选项，设， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列，故A正确； 对于选项，与的等比中项为，故B正确； 对于，公比不为的等比数列中， 由，则， ，；或，；此时． ，；或，；此时． ，此时，故C正确； 对于，当，时，也单调递增，故D错误． 10.【答案】  【解答】 解：对于：，故 A正确； 对于：因为， 所以 ， 所以，即，故 B错误； 对于：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故 C错误； 对于：因为，， 所以， 所以，即，故 D正确． 故选AD． 11.【答案】  【解析】解：设，，直线， 由，得，则， 由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得， 由的周长是，得，即， 则，而， 因此，解得，，，双曲线， 对于，双曲线的渐近线方程为，A错误 对于，双曲线的实轴长是，B正确 对于，，的面积是，C正确 对于，，， 因此的外接圆半径，D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】解：由题得函数定义域为， ， 令，即，解得， 因此，的单调减区间为． 13.【答案】  【解析】解：因为， 所以，两式相减可得： ，又且，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 数列是首项为，公差为的等差数列， 即为奇数时，， 为偶数时，， 所以，， 所以数列的前项和为： ． 故答案为：． 根据题意求得，得到数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列，据此求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解． 14.【答案】  【解答】 解：当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离为． 所以弦长 由，得圆的圆心坐标为，半径为． 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得，即或． 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为． 故答案为：；． 15.【答案】解：当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为． 当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值． 16.【答案】解：设等差数列的公差为， 因为是公比大于的等比数列，且， 所以是各项都为正数的等比数列，设其公比为． 由，，，可得：， 解得或负值舍去， 则， 由知， 所以， 两式相减可得， 整理得．  17.【答案】解：因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 因为是的中点， 所以为的中点． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为平面，因此， 故两两垂直， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 所以， 由图知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 18.【答案】解：因为椭圆  的左右焦点分别为  ，所以  ， 又椭圆  经过点  ， 所以  ， 所以  ，所以  ， 所以椭圆  的方程  解：由题可设直线  的方程为：  ， 由  得，  ， ， 令  ，则  ，所以  ， 又因为  时，  单调递增，所以  ，所以  ， 所以  ， 所以  面积的最大值为 ； 证明：设  ， 当  或  与  轴重合时，直线  为  轴． 若直线  过定点，则该点在  轴上，设为  ， 当  与  都不与  轴重合时，由可知：  ， 把  换成  可得  ， 因为  且  ，所以  ． 解得：  ， 所以直线  过定点  ． 19.【答案】解：将代入，得． 由，得， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则为等比数列，且首项和公比均为， 所以． 解：，，若，则，得，这与矛盾， 所以，则，又，，所以，得． 同理得，， 又因为，所以，所以，． 证明：，又，所以． ，， 得，即． 解：因为，， 所以． ，，， 因为，所以，即， 由， 且， 可得，又， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 因为，所以， 若，则，即， 解得  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $