专题02平行线和平行线的判定 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题02平行线和平行线的判定 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 立体图形中平行的棱】 2 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 4 【题型3 平行公理的应用】 5 【题型4 平面内两直线的位置关系】 6 【题型5 同位角相等两直线平行】 8 【题型6 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 9 【题型7 内错角相等两直线平行】 10 【题型8 同旁内角互补两直线平行】 12 · 掌握平行线定义：理解平行线的概念，明确“同一平面内”“不相交”两大核心前提，区分立体图形与平面内的平行关系，能准确找出立体图形中互相平行的棱。 · 理解平行公理：牢记平行公理及其推论，理解平行线的唯一性和传递性，能运用平行公理解决简单的几何说理、位置判断问题。 · 掌握三大判定定理：牢记同位角相等、内错角相等、同旁内角互补判定两直线平行的核心定理，理解定理的推导过程，分清判定与之前三类角的对应关系。 · 掌握特殊判定推论：熟练运用“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一推论，解决垂直相关的平行判定问题。模块三 知识◎梳理 知识点1：平行线的定义 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 · 核心前提：必须在同一平面内，立体图形中不相交、不共面的直线不是平行线； · 符号表示：直线a平行于直线b，记作a∥b，读作“a平行于b”； · 特征：两条直线没有公共点，无限延伸也不会相交。 知识点2：同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交；其中垂直是相交的一种特殊情况，不是独立的位置关系。 知识点3：平行公理及推论 · 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（强调：点不能在已知直线上） · 推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 数学语言：若a∥b，b∥c，则a∥c。 知识点4：用直尺、三角板画平行线 作图口诀：一贴、二靠、三移、四画 · 一贴：将三角板的一条直角边紧贴已知直线； · 二靠：将直尺紧靠三角板的另一条直角边； · 三移：固定直尺，沿直尺平移三角板； · 四画：沿三角板平移后的直角边画出平行线。 知识点5：平行线的四大判定方法 判定口诀：同位相等两线平，内错相等两线行，同旁互补两线平，同垂一直两线平 1. 同位角相等，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为180°（互补），则这两条直线平行； 4. 特殊推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 数学语言：若a⊥c，b⊥c，且a、b在同一平面内，则a∥b。 模块四 题型◎汇总 【题型1 立体图形中平行的棱】 【典例1】．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系：_________________________________；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们________（填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在_________内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【跟踪训练1】．下列说法错误的是（   ）． A．正方体的所有棱都相等 B．长方体的相对棱平行 C．棱柱的侧棱不一定平行 D．正四面体中没有平行的棱 【答案】C 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据几何体的棱的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．正方体的所有棱都相等，原说法正确，不符合题意； B．长方体的相对棱平行，原说法正确，不符合题意； C．棱柱的侧棱一定平行，原说法错误，符合题意； D．正四面体中没有平行的棱，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练2】．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【跟踪训练1】．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪训练2】．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 【题型3 平行公理的应用】 【典例3】．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪训练2】．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【题型4 平面内两直线的位置关系】 【典例4】．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 【跟踪训练1】．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件结合平行线性质推导b与c的位置关系即可． 【详解】解：∵同一平面内，，， ∴根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条， ∴，即b与c互相垂直． 因此答案选B． 【跟踪训练2】．观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系：______，______，______，______； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知______内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【答案】 ； ； ； 不是； 同一平面． 【分析】（）由平行线及垂线定义可得答案； （）由平行线定义可得答案； 本题考查了平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵该图是长方体， ∴，，，， 故答案为：；；；； （）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【题型5 同位角相等两直线平行】 【典例5】．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 【跟踪训练1】．如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【跟踪训练2】．如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，和是直线和被第三条直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】解：∵， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【题型6 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例6】．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解：，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 【跟踪训练2】．学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是_________．    【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答． 【详解】解：由图2可知：,由图3可知：, ∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． 故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键． 【题型7 内错角相等两直线平行】 【典例7】．在同一平面内，将两个完全相同的三角板如图所示摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】观察图形可知，两个完全相同的三角板摆放后，形成了一组相等的内错角，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”即可得出结论． 【详解】解：两个三角板完全相同， 它们的对应角相等， 由图可知，直线、被第三条直线所截，且这两个相等的角处于内错角的位置， 依据是“内错角相等，两直线平行” ． 【跟踪训练1】．下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项符合题意； C、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意． 【跟踪训练2】．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 【题型8 同旁内角互补两直线平行】 【典例8】．如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形中角的位置关系依次进行判断即可． 【详解】解： A、与分别在直线，的外侧，且在截线的同侧，不是同位角也不是内错角，无法判断，故A错误，该选项不符合题意； B、与是直线，被直线所截形成的同位角， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故B正确，该选项符合题意； C、与是直线 ， 被直线所截形成的角，与直线无关，无法判断，故C错误，该选项不符合题意； D、与涉及四条直线，无法直接判断，故D错误，该选项不符合题意． 故选 ：B． 【跟踪训练1】．如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 【跟踪训练2】．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 模块五 过关◎检测 1．在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴这三条直线中所有交点的个数为个． 故选：C． 2．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 3．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论． 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 4．如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行公理，根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”即可得出答案． 【详解】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点作直线的平行线，只能画一条． 故选：B． 5．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 6．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 7．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 8．如图，因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据：______________________________． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理的应用，根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 9．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 10．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相__________． 几何语言表示： ∵a∥c ， c∥b（已知） ∴__________∥__________（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 【答案】 平行 a b 【解析】略 11．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是________(填序号)． 【答案】②③④ 【分析】依据平行线的性质，垂线的定义及性质进行判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，故正确； ④在同一平面中，两条直线不相交就平行，故正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义及性质的运用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：两直线平行，内错角相等． 12．现有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若，，则； ④若，的两边与的两边分别平行，则或； ⑤若，，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】③④ 【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可． 【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误； 若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确； 若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确； 若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误． 所以其中正确的是③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 13．如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：由条件，可以通过同位角相等，两直线平行得到，不能得到，故①不符合题意； 由条件，可以通过内错角相等，两直线平行得到，故②符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故③符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故②符合题意； 综上可知，能判定的是②③④． 14．如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 15．如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键； 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：, 要使木条，由内错角相等，两直线平行得： 当时，． 故答案为：． 16．如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 17．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 18．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 19．如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 20．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线和平行线的判定 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 立体图形中平行的棱】 2 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 3 【题型3 平行公理的应用】 3 【题型4 平面内两直线的位置关系】 4 【题型5 同位角相等两直线平行】 5 【题型6 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 5 【题型7 内错角相等两直线平行】 6 【题型8 同旁内角互补两直线平行】 7 · 掌握平行线定义：理解平行线的概念，明确“同一平面内”“不相交”两大核心前提，区分立体图形与平面内的平行关系，能准确找出立体图形中互相平行的棱。 · 理解平行公理：牢记平行公理及其推论，理解平行线的唯一性和传递性，能运用平行公理解决简单的几何说理、位置判断问题。 · 掌握三大判定定理：牢记同位角相等、内错角相等、同旁内角互补判定两直线平行的核心定理，理解定理的推导过程，分清判定与之前三类角的对应关系。 · 掌握特殊判定推论：熟练运用“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一推论，解决垂直相关的平行判定问题。模块三 知识◎梳理 知识点1：平行线的定义 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 · 核心前提：必须在同一平面内，立体图形中不相交、不共面的直线不是平行线； · 符号表示：直线a平行于直线b，记作a∥b，读作“a平行于b”； · 特征：两条直线没有公共点，无限延伸也不会相交。 知识点2：同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交；其中垂直是相交的一种特殊情况，不是独立的位置关系。 知识点3：平行公理及推论 · 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（强调：点不能在已知直线上） · 推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 数学语言：若a∥b，b∥c，则a∥c。 知识点4：用直尺、三角板画平行线 作图口诀：一贴、二靠、三移、四画 · 一贴：将三角板的一条直角边紧贴已知直线； · 二靠：将直尺紧靠三角板的另一条直角边； · 三移：固定直尺，沿直尺平移三角板； · 四画：沿三角板平移后的直角边画出平行线。 知识点5：平行线的四大判定方法 判定口诀：同位相等两线平，内错相等两线行，同旁互补两线平，同垂一直两线平 1. 同位角相等，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为180°（互补），则这两条直线平行； 4. 特殊推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 数学语言：若a⊥c，b⊥c，且a、b在同一平面内，则a∥b。 模块四 题型◎汇总 【题型1 立体图形中平行的棱】 【典例1】．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系：_________________________________；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们________（填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在_________内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【跟踪训练1】．下列说法错误的是（   ）． A．正方体的所有棱都相等 B．长方体的相对棱平行 C．棱柱的侧棱不一定平行 D．正四面体中没有平行的棱 【跟踪训练2】．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【跟踪训练1】．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【题型3 平行公理的应用】 【典例3】．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【跟踪训练1】．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【跟踪训练2】．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【题型4 平面内两直线的位置关系】 【典例4】．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【跟踪训练1】．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【跟踪训练2】．观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系：______，______，______，______； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知______内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【题型5 同位角相等两直线平行】 【典例5】．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【跟踪训练1】．如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是________． 【题型6 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例6】．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【跟踪训练1】．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【跟踪训练2】．学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是_________．   【题型7 内错角相等两直线平行】 【典例7】．在同一平面内，将两个完全相同的三角板如图所示摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【跟踪训练1】．下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【题型8 同旁内角互补两直线平行】 【典例8】．如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【跟踪训练2】．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 模块五 过关◎检测 1．在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 4．如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 5．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 6．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 7．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 8．如图，因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据：______________________________． 9．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    10．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相__________． 几何语言表示： ∵a∥c ， c∥b（已知） ∴__________∥__________（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 11．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是________(填序号)． 12．现有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若，，则； ④若，的两边与的两边分别平行，则或； ⑤若，，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 13．如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 14．如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 15．如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 16．如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 17．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 18．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 19．如图，，与互为补角．求证：． 20．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $