27.1 图形的相似 同步练习-2025-2026学年人教版九年级下册数学

27.1 图形的相似 一、选择题（共10小题） 1．（2025秋•宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•中原区校级期末）河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为6cm，则AB的长约为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•滨江区期末）若线段a＝2，b＝8，则线段a，b的比例中项是（　　） A．4 B．32 C．±4 D．±32 4．（2025秋•丽水期末）已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（　　） A．﹣6 B．6 C．18 D．36 5．（2025秋•余姚市期末）若线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段是（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 6．（2025秋•威远县期末）已知3x﹣5y＝0（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•玉环市期末）已知2x﹣5y＝0，下列变形一定正确的是（　　） A．2x+3＝3﹣5y B． C．5y﹣7＝2x﹣7 D． 8．（2025秋•靖江市期末）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•顺德区期末）如果，那么的值是（　　） A． B． C． D．7 10．（2025秋•宜兴市期末）下列图形一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 二、填空题（共10小题） 11．（2025秋•广汉市校级期末）若，则　 　 ． 12．（2025秋•江都区期末）已知，则的值为　 　 ． 13．（2025秋•阜宁县期末）已知b是a，c的比例中项，且a＝2，c＝8，则b的值为 　 　 ． 14．（2025秋•蚌埠期末）已知线段a，b，c，d依次成比例，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝8cm，则线段b的长为　 　 cm． 15．（2025秋•拱墅区期末）若（a+b）：b＝3：2，则a：b＝　 　 ． 16．（2025秋•泗阳县期末）若，则　 　 ． 17．（2025秋•渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为　 　 cm2． 18．（2025秋•神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为　 　 ． 19．（2025秋•凉州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，它们的相似比是4：3，已知AB＝12cm，则EF＝　 　 cm． 20．（2025秋•安徽校级期中）在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是 　 　 千米． 三、解答题（共4小题） 21．（2025秋•滨江区期末）已知，求． 22．（2025秋•林州市期末）求值： （1）已知，求的值； （2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值． 23．（2025秋•大连期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则． 如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且b+d+…n≠0，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 24．（2025秋•资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°． （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度． 参考答案 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：由题意可知，C是AB的黄金分割点，AB＝10cm， ∴ACAB10＝（55）（cm）， 故选：C． 2．【答案】A 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝6cm， ∴， ∴AB＝（33）（cm）， 故选：A． 3．【答案】A 设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【解答】解：设线段a、b的比例中项为x， 则x2＝ab， 即x2＝ab＝2×8，∴x＝4或x＝﹣4＜0（舍去）． 故选：A． 4．【答案】B 比例中项线段c满足c2＝a•b，且线段长度为正值． 【解答】解：由条件可知c2＝a•b＝4×9＝36， ∴c6， 故选：B． 5．【答案】C 比例中项线段c满足c2＝a•b，且线段长度为正值． 【解答】解：由条件可知c2＝a•b＝4×9＝36， ∴c6， 故选：C． 6．【答案】B 直接利用比例的性质变形得出答案． 【解答】解：∵3x﹣5y＝0（xy≠0）， ∴3x＝5y， 则． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 7．【答案】C 先移项得到2x＝5y，再根据等式的性质对A、C选项进行判断；然后利用内项之积等于外项之积对B、D选项进行判断． 【解答】解：∵2x﹣5y＝0， ∴2x＝5y， ∴2x+3＝5y+3，所以A选项不符合题意， 2x﹣7＝5y﹣7，所以C选项符合题意， ，所以，B选项不符合题意， xy，所以D选项不符合题意． 故选：C． 8．【答案】A 直接利用合比性质求解． 【解答】解：∵， ， 即． 故选：A． 9．【答案】C 设a＝3k，b＝4k，代入原式即可． 【解答】解：设a＝3k，b＝4k， 则原式． 故选：C． 10．【答案】A 由相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由三边对应成比例的两个三角形相似判定两个等边三角形相似，故A符合题意； B、两个直角三角形只有一直角对应相等，不能判定两个直角三角形相似，故B不符合题意； C、两个矩的长和宽不一定对应成比例，不能判定两个矩形相似，故C不符合题意； D、两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，不能判定两个菱形相似，故D不符合题意． 故选：A． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设b＝3k，a＝2k， ∴， 故答案为：． 12．【答案】． 令，则a＝2k，b＝3k，代入，进行化简即可求值． 【解答】解：∵， ∴令， ∴a＝2k，b＝3k， ∴， 故答案为：． 13．【答案】4或﹣4． 根据比例中项的定义得到b2＝ac，然后根据平方根的定义求解． 【解答】解：∵b是a，c的比例中项， ∴b2＝ac， 即b2＝2×8， ∴b＝4或b＝﹣4． 故答案为：4或﹣4． 14．【答案】4． 根据题意可得． 【解答】解：∵线段a，b，c，d依次成比例， ∴， ∴， 故答案为：4． 15．【答案】1：2 直接利用已知变形进而得出答案． 【解答】解：∵（a+b）：b＝3：2， ∴， ∴2a+2b＝3b， 故2a＝b， 则a：b＝1：2． 故答案为：1：2． 16．【答案】． 由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求表达式进行化简即可． 【解答】解：设a＝k，b＝5k（其中k≠0）， 则： ， 故答案为：． 17．【答案】50． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：两个相似六边形的相似比为3：5，则面积比为32：52＝9：25． 较小六边形的面积为18cm2，则18÷9×25＝50cm2，即较大六边形的面积为50cm2． 故答案为：50． 18．【答案】20． 根据相似多边形的周长比等于相似比计算． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比1：5， ∵四边形ABCD的周长为4， ∴四边形A'B'C'D'的周长20， 故答案为：20． 19．【答案】9． 已知两个四边形的相似比为4：3，即，将AB代入求值即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH且相似比为4：3，AB＝12cm， ∴， ∴EF＝129（cm）， 故答案为：9． 20．【答案】20． 根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝4：x， 解得x＝2000000． 2000000cm＝20km． 故答案为：20． 三、解答题（共4小题） 21．【答案】． 利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴． 22．【答案】见试题解答内容 （1）设a＝4k，b＝3k，代入即可求出答案； （2）设k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝4k，c＝5k，代入a+b+c＝22得出2k+4k+5k＝22，求出k，求出a、b、c，再代入3a﹣b+2c求出即可． 【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k， 则； （2）设k， 则a＝2k，b＝4k，c＝5k， ∵a+b+c＝22， ∴2k+4k+5k＝22， 解得：k＝2， ∴a＝4，b＝8，c＝10， ∴3a﹣b+2c＝3×4﹣8+2×10＝24． 23．【答案】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk， ∵b+d+…n≠0， ∴k， ∴； （2）． （1）设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【解答】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk， ∵b+d+…n≠0， ∴k， ∴； （2）解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以． 24．【答案】（1）115°； （2）22.5cm． （1）利用相似多边形的性质对应角相等，把已知角代入可得所求的角的度数； （2）利用相似多边形的性质对应边的比等于相似比，可得所求的线段的长度． 【解答】解：（1）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∠E＝∠E1，∠F＝∠F1， ∵∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°， ∴∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°， ∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠F＝720°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D﹣∠E ＝720°﹣135°﹣120°﹣95°﹣135°﹣120° ＝115°； （2）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴， ∵CD＝15cm， ∴C1D1＝1.5CD＝22.5cm． 学科网（北京）股份有限公司 $