26.2 实际问题与反比例函数 同步练习 2025—2026学年人教版数学九年级下册

26.2 实际问题与反比例函数 一、选择题（共8小题） 1．（2025秋•大冶市期末）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（　　） A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．5kg/m3 D．10kg/m3 2．（2025秋•蓬莱区期末）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强P（单位：Pa）是木板面积S（单位：m2）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当S≤1m2时，P≤600Pa B．当S≥1m2时，P≥600Pa C．当S＝0.5m2时，P＝300Pa D．当0＜S≤0.5m2时，P≥1200Pa 3．（2025秋•南昌期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流I从6A增加到10A时，电阻R减小了（　　） A．6Ω B．3.6Ω C．3.4Ω D．2.4Ω 4．（2025秋•玉田县校级期末）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．10min B．11min C．15min D．18min 5．（2025秋•遵化市期末）面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（　　） A．y B．y C．y＝60x D．y＝60﹣x 6．（2025•运城校级模拟）密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出ρ与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（　　） A．密度ρ越大，深度h越大 B．若h1＜h3＜h2，则ρ1＜ρ3＜ρ2 C．密度ρ均匀增加时，深度h的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 7．（2025•洛龙区一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm 8．（2024秋•焦作期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，其图象如图所示．小敏同学想通过矫正治疗近视，眼镜的度数D不超过200度，则她佩戴眼镜的焦距f应满足（　　） A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≥0.5 D．f≤0.5 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•东莞市校级期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量m（kg）的函数表达式为，当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　 m/s． 10．（2025秋•易县期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为2000N，阻力臂为0.3m．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是F＝　 　 （用含l的式子表示）． 11．（2025秋•苏仙区期末）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R为18Ω时，电流I的值是　 　 ． 12．（2025秋•武汉期末）甲、乙两地之间公路全长240千米，汽车行驶的平均速度v千米每小时和行驶时间t小时满足的数量关系为：　 　 ． 13．（2025秋•锦江区期末）阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力F1×动力臂L1＝阻力F2×阻力臂L2）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力F2与阻力臂L2的函数图象如图所示，如果他想用动力F1（F1≤400N）去撬起这块石头，则动力臂L1至少长　 　 ． 14．（2025秋•高新区期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为　 　 g/cm3． 15．（2025秋•天元区期末）为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．如表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（x＞0）的函数关系是　 　 ． 动力F（N） 24 12 8 6 … 动力臂x（cm） 1 2 3 4 … 16．（2025秋•阿克苏地区期末）某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表： 每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 … 需要安排的工人人数 2 3 4 … 每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成　 　 比例关系．（填“正”或“反”） 三、解答题（共5小题） 17．（2025秋•秦都区期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为x元，本次采购的护腿板数量为y副，总预算为定值w元，y与x之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． x/元 12 a 30 y/副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： （1）本次采购的总预算w＝　 　 元，y与x之间的函数表达式为　 　 ； （2）求表中a的值； （3）当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 18．（2025秋•福田区期末）“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间y（h）与平均速度x（km/h）（0＜x＜350）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？ 19．（2025秋•江门期末）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1000N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数解析式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ 20．（2025秋•黄埔区期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如表： 每天装订的本数 200 400 500 800 … 需要的天数 10 5 4 2.5 … 请回答以下问题： （1）需要的天数随着每天装订的本数的增大而　 　 （增大、不变、减少）； （2）这批练习本一共有多少本？ （3）用t表示需要的天数，用b表示每天装订的本数，用式子表示t与b的关系，并判断t与b成什么比例关系． 21．（2025秋•吐鲁番市期末）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 根据图象可知点（5，2）在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入V＝10m3时，求得对应的函数值即可． 【解答】解：设该反比例函数的解析式为， 由图象可知，点（5，2）在该反比例函数图象上， 则，即k＝10， ∴该反比例函数的解析式为， ∴当V＝10m3时，． 故选：A． 2．【答案】D 根据函数图象结合各选项逐一判断即可． 【解答】解：由函数图象得P随S的增大而减小，且满足反比例函数关系， A、当S≤1m2时，P≥600Pa，不符合图象，错误； B、当S≥1m2时，P≤600Pa，不符合图象，错误； C、1×6000.5＝1200，则当S＝0.5m2时，P＝1200Pa，错误；， D、1×6000.5＝1200，当0＜S≤0.5m2时，P≥1200Pa，正确； 故选：D． 3．【答案】D 依据题意，先由待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质进行计算可以得解． 【解答】解：设I，把（9，4）代入I， 得U＝36， ∴反比例函数的解析式为I． ∴当I＝6A时，R＝6Ω，当I＝10A时，R＝3.6Ω． ∴当电流从6A增加到10A时，电阻小了：6﹣3.6＝2.4（Ω）， 答：当电流I从6A增加到10A时，求电阻R减小了2.4Ω． 故选：D． 4．【答案】C 根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速90km/h的时间，即可求出答案．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km， ∵最高车速为120km/h， ∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h）， 同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h）， ∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间． ∵12＜15＜16， ∴C选项符合题意． 故选：C． 5．【答案】A 根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：由题意可得，， ∴y， 故选：A． 6．【答案】D 直接观察函数图象，即可求解． 【解答】解：根据函数图象逐项分析判断如下： A、观察图象得：密度ρ越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：若h1＜h3＜h2，则ρ1＞ρ3＞ρ2，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：密度ρ均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 7．【答案】C 由题意可得，设，把ρ＝1，h＝20代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为， 由条件可得k＝20． ∴h关于ρ的函数解析式为．据此，逐项分析判断如下： A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确，不符合题意； B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故该选项不正确，不符合题意； C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，故该选项正确，符合题意； D．当液体的密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 8．【答案】C 设，待定系数法求得解析式，然后令D＝200，代入反比例函数，求得k的值，结合函数图象即可求解． 【解答】解：设近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）的解析式为， 将（0.2，500）代入，得， k＝0.2×500＝100， 当D＝200时，， 根据函数图象可知，当D≤200时，f≥0.5， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】4． 将m＝90kg代入计算即可． 【解答】解：当m＝90 时，（m/s）． 它的最快移动速度v＝m/s． 故答案为 4． 10．【答案】． 直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系 【解答】解：由题意可得：2000×0.3＝Fl， 则F， 答：动力F与动力臂l的函数关系是F， 故答案为：． 11．【答案】3A． 设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点（9，4），代入解析式求出k．再令R＝12，求出此时电流I的值． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 将R＝9，I＝4代入解析式得，， ∴k＝36， ∴， 令R＝12，则（A）， ∴此时电流I的值为3A． 故答案为：3A． 12．【答案】v． 根据路程＝速度×时间即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：vt＝240， 所以v， 故答案为：v． 13．【答案】3m． 根据函数图象中的数据可以计算出F2×L2的值，然后根据题意，即可计算出动力臂L1的最小值． 【解答】解：由图象可得， 阻力F2与阻力臂L2的关系符合反比例函数， 当L2＝6时，F2＝200，此时F2×L2＝200×6＝1200， ∵动力F1×动力臂L1＝阻力F2×阻力臂L2，F1≤400， ∴当F1＝400时，L1取得最小值，此时L1＝1200÷400＝3， 故答案为：3m． 14．【答案】． 根据题意，设反比例函数的解析式为h，代入ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，得出k的值，再代入h＝20cm到反比例函数的解析式即可解答． 【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比例函数的解析式为h， 将ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，代入得： 16， 解得：k＝24， ∴反比例函数为h， 当h＝20cm时，得20， 解得：ρ， 故答案为：． 15．【答案】． 由表中数据计算可得动力与动力臂的乘积为定值，该定值为24，故F与x的函数关系为反比例函数，据此求解即可． 【解答】解：由表中数据：24×1＝12×2＝8×3＝6×4＝24， ∴F•x＝24，即F与x的函数关系为反比例函数， 关系式为， 故答案为：． 16．【答案】反． 根据表格数据，计算每名工人每天生产的零件件数与需要安排的工人人数的乘积，发现乘积恒定，因此成反比例关系． 【解答】解：设每名工人每天生产的零件件数为x，需要安排的工人人数为y． 由表格可得： 当x＝60时，y＝2，x×y＝120； 当x＝40时，y＝3，x×y＝120； 当x＝30时，y＝4，x×y＝120． 可见x与y的乘积一定，故成反比例关系． 故答案为：反． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）600，； （2）a＝20； （3）当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可； （3）把x＝15代入反比例函数解析式得到． 【解答】解：（1）根据题意得w＝xy＝1250＝600元， y与x之间的函数表达式为， 故答案为：600，； （2）根据题意得：， 解得：a＝20； （3）当x＝15时，． 答：当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板． 18．【答案】（1）y与x之间的函数表达式为； （2）这趟列车的平均速度为240km/h． （1）设y与x之间的函数表达式为y，将（200，2）代入得，解方程即可得到结论； （2）把解析式得到，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y， 将（200，2）代入得， 解得：k＝400， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）∵1小时4（0分）小时， 当时，得， 解得x＝240， 答：这趟列车的平均速度为240km/h． 19．【答案】（1）； （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要250N的力． （1）根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可； （2）代入x＝2，求此时y的值即可． 【解答】解：（1）由题意可得，xy＝1000×0.5＝500， ∴． ∴； （2）当x＝2时，， ∴当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要250N的力． 20．【答案】（1）减少； （2）2000本； （3），t与b成反比例关系． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性； （2）根据“总本数＝每天装订本数×天数”，用表格中任意一组数据计算即可； （3）先根据总本数不变写出t与b的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知：需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）由题意得：200×10＝2000（本）； 400×5＝2000（本）； 500×4＝2000（本）； 800×2.5＝2000（本）， 答：这批练习本一共有2000本； （3）用t表示需要的天数，用b表示每天装订的本数， 由题意得：b×t＝2000， ∴， ∴t与b成反比例关系． 21．【答案】（1）； （2）10天． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把y＝40代入函数解析式求出函数解析式即可． 【解答】解：（1）设， 依题意得：， ∴； （2）把y＝40代入得：x＝10， 答：这片甘蔗要砍10天． 学科网（北京）股份有限公司 $