4.3 等腰三角形与直角三角形-【木牍中考】安徽中考十年（2016-2025）数学真题分类汇编

4.3 等腰三角形与直角三角形 一、等腰三角形的相关计算 1．（2025安徽中考第6题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2023安徽中考第10题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 4．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值． 二、直角三角形的相关计算 5．（2024安徽中考第7题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（     ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 8．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F （1）求证：CM=EM； （2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小； （3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM 参考答案与解析 一、等腰三角形判定及计算 1．（2025安徽中考第6题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ，， ∴= == ==，∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，则， ，∴，∴，∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E，∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC,∴∠OCE=30°，CE=,∴OC=2OE ∵，∴，解得OE=，∴OC=， ∴OP=CP-OC=．故选B． 3．（2023安徽中考第10题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【详解】解：如图所示，    延长，依题意,∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵，∴,∴，∴,∴，∴四边形是平行四边形，则为的中点,如图所示，    设的中点分别为，则,∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即，则三点共线，取得最小值，此时， 则，∴到的距离相等， 则，此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴，∴,∴ ， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时,故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时 ，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点，则， ∴是等边三角形，∴， 在与中， ∴,∴,∴ ∴,∴，则，∴是直角三角形，    在中，,∴当时，最短， ∵,∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵,∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为 ，故D选项正确，故选：A． 4．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值． 【详解】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点， ∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE， ∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°， ∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ， ∵PC＝AO＝OC＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ， 在△PCE与△EDQ中，，∴△PCE≌△EDQ； （2）①如图2，连接RO， ∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AR＝OR＝RB， ∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ， ∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°， ∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝60°，∴△ARB是等边三角形； ②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE， ∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°， ∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°， ∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，∴∠MON＝135°， 此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°， ∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝． 二、直角三角形的相关计算 5．（2024安徽中考第7题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得 ∵，∴ ∴故选：C． 7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（     ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H， ∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ACD，∴， ∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG， ∴△AEG∽△ADH，∴，∴ ∵EF=EG，∴DC=DH， 设DH=DC=x，则BD=12-x， 又∵△BDH∽△BCA，∴，即，解得：x=4，即CD=4， 故选B. 8．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F （1）求证：CM=EM； （2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小； （3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM 【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析. 【详解】（1）∵M为BD中点，Rt△DCB中，MC=BD，Rt△DEB中，EM=BD， ∴MC=ME； （2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°， ∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM， 同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°， ∴∠EMF=180°-80°=100°； （3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM， ∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE， ∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°， ∴∠ABC=45°，∠ECM=45°， 又∵CM=ME=BD=DM，∴DE=EM=DM， ∴△DEM是等边三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°， ∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM， ∵∠MCB+∠ACE=45°，∠CBM+∠MBE=45°， ∴∠ACE=∠MBE=30°，∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°， 连接AM，∵AE=EM=MB，∴∠MEB=∠EBM=30°，∠AME=∠MEB=15°， ∵∠CME=90°，∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，∴AC=AM， ∵N为CM中点，∴AN⊥CM， ∵CM⊥EM，∴AN∥CM. 试卷第1页，共3页 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $