精品解析：浙江省杭州市萧山区部分校2022-2023学年九年级下学期3月份联考数学试题

2022学年第二学期九年级三月独立作业 数学试题卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B. 概率很小的事情不可能发生 C. 2022年1月27日杭州会下雪是随机事件 D. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 3. 如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（　　） A. sinC＝ B. cosC＝ C. tanA＝ D. sinA＝ 4. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 弦的垂直平分线必经过圆心 6. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 7. 如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（　　） A. （+1）a B. （﹣1）a C. （3﹣）a D. （﹣2）a 8. 若二次函数的图象经过点，，，则p，q的大小关系为（ ） A. B. C. D. p，q的大小无法比较，与b，c的取值有关 9. 如图已知为半圆O的直径，为弦，且平分．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 12. 随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是_______． 13. 一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 14. 已知中，，点O为的外心，且，则度数为_________． 15. 设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是_________ 16. 如图，在矩形中，， ，点P在矩形内运动，且始终满足，则的最小值为____． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，按要求完成作答 （1）用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． （2）若，则______； （3）若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 19. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 20. 为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为30元，根据往年的销售经验发现：当售价定为每盒50元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒，超市规定售价不低于40元/盒，不高于50元/盒. (1)求每天的销售利润W(元)与每盒降价x(元)之间的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (2)当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？ (3)若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？ 21. 如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G． (1)求证：GE是⊙O的切线； (2)若tanC＝，BE＝4，求AG的长． 22. 如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G． （1）求的值． （2）若， ①求证：． ②求证：． 23. 已知抛物线的顶点为P． （1）当时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况； （2）该抛物线的顶点P的位置随着m的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的坐标； （3）已知点，若该抛物线与线段只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第二学期九年级三月独立作业 数学试题卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B. 概率很小的事情不可能发生 C. 2022年1月27日杭州会下雪是随机事件 D. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义去判断即可． 【详解】A、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误； B、概率很小的事情也可能发生，故此选项错误； C、2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确； D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义，理解这些概念的含义是正确解答的关键． 3. 如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（　　） A. sinC＝ B. cosC＝ C. tanA＝ D. sinA＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数逐项判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 所以sinC，cosC＝，tanA＝，sinA＝， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理和锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上方看到的图形结合图形特征即可解答． 【详解】解：由图可得它的俯视图是两个同心圆，即选项D符合题意． 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 6. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是的外接圆，，易得是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的外接圆，， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键． 7. 如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（　　） A. （+1）a B. （﹣1）a C. （3﹣）a D. （﹣2）a 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据黄金分割的定义求解． 【详解】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE， ∴BE=AB=2a=（﹣1）a． 故选B． 【点睛】考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 8. 若二次函数的图象经过点，，，则p，q的大小关系为（ ） A. B. C. D. p，q的大小无法比较，与b，c的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，再根据开口方向比较函数值大小，开口向上的抛物线上，对称轴处函数值最小． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值， ∵函数图象经过，，两点纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称，可得对称轴为直线， ∵点在对称轴上，为函数的最小值， ∴可得． 9. 如图已知为半圆O的直径，为弦，且平分．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，作于E，于F，运用圆周角定理可证得，即证，所以，根据勾股定理，得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，作于E，于F， ，， ∵平分， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 10. 已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】可画出抛物线的草图，先根据二次函数的对称性求得对称轴为方程，再根据图象法求解即可． 【详解】解：如图， 当和时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点是其图象上两点，且抛物线的开口向上， ∴当即时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离小， 由图象得：， 当即时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离大， 由图象得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是根据二次函数的表达式和图象求出对称轴，再利用数形结合思想求解． 二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 12. 随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出抽取两人的所有等可能结果，再找出两人性别不同的结果数，根据概率公式计算即可. 【详解】解：记两名男生分别为男1，男2，女生为女， 随机抽取两人，所有等可能的结果为： ，，，共种， 其中被抽中两人性别不同的结果有种， 根据概率公式， 得． 13. 一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可得． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径为2， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题关键． 14. 已知中，，点O为的外心，且，则度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角形外心的不同位置分情况讨论，结合圆周角定理计算即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点在内部时， ； ②当点在外部时， 根据圆周角定理可得． 15. 设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是_________ 【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2） 【解析】 【分析】分别对a、b的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），得出抛物线与x轴的交点坐标情况，即可求解． 【详解】因为 是二次函数，令=0，有或，解得：或； 对m来说， ①当时，图像与轴有一个交点，即； ② 当时，图像与轴有两个交点，即； 函数：令，有或， 对n来说， ①当时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即； ②当时，关于x的方程无解，图像与x轴没有交点，即； ③当且时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即； ④ 当且时，关于x的方程有两个不相等的解，图像与x轴有两个交点，即； 综上所述，当时，或；当时，或． ∴所有可能的数对是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2） 故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式． 16. 如图，在矩形中，， ，点P在矩形内运动，且始终满足，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即，根据圆的内接四边形的性质、圆周角定理可得是等边三角形，如图：连接交劣弧于点，连接，则，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可． 【详解】解：如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即， ∴四边形是的内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图：连接交劣弧于点，连接，则， ∵， ∴，即， ∴当点P与点重合时，最小， 如图：过点O分别作交的延长线于点E，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即的最小值为． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用特殊角的三角函数值化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，按要求完成作答 （1）用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． （2）若，则______； （3）若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别作和的角平分线，以为圆心，大于长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点的连接即为的角平分线，同理得到的角平分线，两条角平分线相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即为所求； （2）点是内心，得到，求出，得到，再根据，即可求出答案； （3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：作图如下， 【小问2详解】 解：点是内心， 平分，平分， ． 【小问3详解】 解：根据内切圆的性质得到， 且， ， ， ， ， ． 19. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可． 试题解析：解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，AC=，则EF=AC=，∵∠E=45°，∴FC=EF•sinE=，∴AF=AC﹣FC=． 20. 为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为30元，根据往年的销售经验发现：当售价定为每盒50元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒，超市规定售价不低于40元/盒，不高于50元/盒. (1)求每天的销售利润W(元)与每盒降价x(元)之间的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (2)当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？ (3)若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？ 【答案】(1)；(2)当每盒售价为45元时，每天的销售利润最大；(3)每盒的售价不高于49元，不低于41元. 【解析】 【分析】（1）根据总利润=每件商品的利润×商品数量即可求出每天的销售利润W（元）与每盒降价x（元）之间的函数关系式； （2）配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答本题； （3）根据题意，令利润等于2090，然后解方程求出x的值，根据函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得： （2） ∵， ∴当时，， ∴当每盒售价为45元时，每天的销售利润最大． （3）依题意得： 解得：x1 = 1，x2 = 9． 根据函数图象的性质可知，当时，． ∴每盒的售价不不低于41元，高于49元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21. 如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G． (1)求证：GE是⊙O的切线； (2)若tanC＝，BE＝4，求AG的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)AG＝12． 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先证明，再证明，然后利用得到，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，则，则可表示出，再利用得到，然后在中，根据勾股定理得到，再解方程求出即可得到结论. 【详解】(1)证明：连接OD，如图， ∵∠1＝∠2， 而∠2＝∠3， ∴∠3＝∠1， ∵OC⊥AB， ∴∠3+∠C＝90°， ∴∠1+∠C＝90°， 而OC＝OD， ∴∠C＝∠4， ∴∠1+∠4＝90°，即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴GE是⊙O的切线； (2)解：设OF＝x，则OC＝3x， ∴BF＝2x， ∵∠1＝∠2， ∴ED＝EF＝2x+4， 在Rt△ODE中， ∵OD2+DE2＝OE2， ∴(3x)2+(2x+4)2＝(4+3x)2，解得x＝2， ∴OD＝6，DE＝8，OE＝10 又∵△AGE∽△DOE， AE＝16， 可得AG＝12． 【点睛】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”. 22. 如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G． （1）求的值． （2）若， ①求证：． ②求证：． 【答案】（1） （2）①详见解析；②详见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案； （2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明； ②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 证明：①设， ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论，得：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解． 23. 已知抛物线的顶点为P． （1）当时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况； （2）该抛物线的顶点P的位置随着m的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的坐标； （3）已知点，若该抛物线与线段只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标的取值范围． 【答案】（1）与x轴无交点，与y轴的交点为 （2） （3）或或． 【解析】 【分析】（1）先求出函数关系式，再利用抛物线与坐标轴的交点以及根的判别式求解即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点坐标，顶点坐标的纵坐标的最大值即为顶点最高点的纵坐标，再利用二次函数的性质求最值，最后确定点P的坐标即可； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线联立求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， 当时，， ∵， ∴该抛物线与x轴无交点， 当时，，即抛物线与y轴的交点为． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点， 化简得， 当顶点移动到最高处，即顶点纵坐标最大，即， ∴时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标． 【小问3详解】 解：设直线解析式为，将代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 由得：或， ∴直线与抛物线的交点为：和， ∵在线段上，该抛物线与线段只有一个交点， ∴①抛物线与直线只有一个交点，即两个交点重合，此时，解得：； ② 抛物线与直线有两个不同的交点，其中一个交点在线段上，另一个交点在线段的延长线上。由于交点始终在线段上，因此另一个交点必须在线段的延长线上，即或， ∴或 ， ∴或。"不在线段上，或与重合， 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $