精品解析：2022年浙江省宁波市江北区部分学校中考模拟联考九年级数学试题

2022年浙江省宁波市江北区部分学校中考数学联考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 能与相加得0的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 2021年12月8日，国家邮政局快递大数据平台实时监测数据显示2021年我国快递业务量已达1000亿件．其中1000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于，，三点．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，；如，．若函数，则函数的最小值是（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A. 已知的三条中位线的长度 B. 已知的面积 C. 已知的长度，以及，的长度和 D. 已知，的长度及的度数 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可） 12. 分解因式：________________． 13. 从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______． 14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 15. 如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接，的图象经过上的动点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接，，．则的最大值为 _____．[参考公式：] 16. 如图，四边形是平行四边形，点F是边上一点，射线与对角线相交于点E，与延长线相交于点G，连结，若， ．则线段的长为 _____． 三、解答题解答题（本大题有8小题，共80分） 17. 解答 （1）先化简，再求值：．其中； （2）解不等式组：． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 19. 小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … （1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：______； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；求抛物线的解析式． 20. 为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）补全上面的条形统计图； （2）求扇形E的圆心角度数； （3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数． 21. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） （1）求此时水桶B所经过的路径长； （2）求此时水桶B上升的高度． 22. 在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程（千米）随时间（分）变化的图象（全程）如图，解决下列问题， （1）求线段所在的直线的函数表达式； （2）求两人第一次相遇时，行驶的时间； （3）求这次越野赛的全程是多少； （4）两人第二次相遇时，行驶了多长时间？ 23. 定义：若连接三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线． （1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，求证：． （2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：； （3）在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转，点旋转到点，点旋转到点，当旋转到如图3的位置时，，，三点共线，恰好是的相似分割线，求的值． 24. 如图1，四边形内接于，C是弧的中点，的平分线交于点E． （1）求证：． （2）如图2，F是上的动点，连接并延长交直线于点G，连接，，求证：． （3）如图3．在（2）的条件下，若是的直径，且点A与点F关于对称． ①当时，求的值． ②若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年浙江省宁波市江北区部分学校中考数学联考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 能与相加得0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可． 【详解】解：方法一：； 方法二：的相反数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变． 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式与多项式相乘等于单项式与多项式的每一个项相乘是解题的关键． 根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 3. 2021年12月8日，国家邮政局快递大数据平台实时监测数据显示2021年我国快递业务量已达1000亿件．其中1000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是确定和的值． 先将1000亿转化为数字形式，再根据科学记数法的规则，确定和的值，从而得出科学记数法的表达式． 【详解】解：因为1亿，所以1000亿， 科学记数法的表示形式为，其中为整数， 这里，满足，所以1000亿用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案． 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义． 5. 下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、方差的基础概念，逐一根据相关概念并结合举例判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①：一组数据的众数可以不止一个，例如数据，，，的众数为和，故①错误； 对于②：根据方差的性质，样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故②正确； 对于③：当数据个数为偶数时，一组数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，不一定是这组数据中的某一数据，例如，，，的中位数是，不属于原数据，故③错误； 对于④：一组数据的众数不一定比平均数大，例如数据，，中，众数是，平均数是，众数小于平均数，故④错误. 对于⑤：当一组数据中所有数都相等时，方差为，而不是正数，故⑤错误； 综上，只有1个说法正确． 6. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 必须同时满足下列条件： ，，， 综上：且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足． 7. 如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选∶B． 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y， 根据题意可得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 9. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于，，三点．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，；如，．若函数，则函数的最小值是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干的定义，选取每段函数图象的较高部分，从而得到函数的图象，结合图象确定函数的最小值． 【详解】解：根据题意，函数的图象如图所示： 由图可知，函数图象上的最低点为， ∴函数的最小值为． 10. 如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A. 已知的三条中位线的长度 B. 已知的面积 C. 已知的长度，以及，的长度和 D. 已知，的长度及的度数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，推出，推出，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， ， A、若已知的三条中位线的长度，则由三角形中位线性质可得三边的长度， 对于三角形，若已知其三条边长，可根据海伦公式，其中是三角形的三边，，求出其面积，即可得到的值，选项不符合题意； B、已知的面积，代入即可求得，选项不符合题意； C、∵已知两边长度和， 的长度不确定， 的面积也不确定， ∴不一定能求出的值，选项符合题意； D、连接，如图所示： 由是直径得，即， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ，据此即可求得的值，选项不符合题意． 【点睛】证明是本题的突破点． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可） 【答案】答案不唯一（如等） 【解析】 【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数， 【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可； 所以可以写： ①开方开不尽的数： ②无限不循环小数，， ③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可． 故答案为：答案不唯一（如等） 【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 12. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键． 13. 从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决． 【详解】从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及事件发生的可能结果数是关键． 14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 【答案】寸 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 15. 如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接，的图象经过上的动点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接，，．则的最大值为 _____．[参考公式：] 【答案】 【解析】 【分析】设，则的中点B为，即可求得，进而表示出C、E、D的坐标，即可利用三角形面积公式求出、、及的值，从而求出的值． 【详解】解：动点A在反比例函数的图象上， 设， 的中点B为， 函数的图象经过点B， ， ， 经过点B的函数表达式为， 过点B作轴交函数的图象于点C， 点的纵坐标为， 把代入得，， 、， 把代入得，， ， 、， 、， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16. 如图，四边形是平行四边形，点F是边上一点，射线与对角线相交于点E，与延长线相交于点G，连结，若， ．则线段的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和相似三角形的对应角相等可得：，则，所以，过点A作于M，过点F作于Q，则，设，则，，根据和，列比例式可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 如图，过点A作于M，过点F作于Q，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴（负值舍）， ∴． 三、解答题解答题（本大题有8小题，共80分） 17. 解答 （1）先化简，再求值：．其中； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将括号内通分，把除法化为乘法，再约分，化简后将m的值代入； （2）分别解出两个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴原式； 【小问2详解】 解：， 由不等式①得， 由不等式②得， ∴原不等式组的解集是． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置； （2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置； （3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置． 【详解】（1）如图①所示，点M即为所求． （2）如图②所示，点M即为所求． （3）如图③所示，点M即为所求． 【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键． 19. 小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … （1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：______； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；求抛物线的解析式． 【答案】（1）抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是（答案不唯一，写出一条即可）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）观察表格即可得到抛物线与轴交于，抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点是等信息； （2）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （3）求出抛物线的顶点是，把先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得，可得抛物线的顶点为，即可得答案． 【小问1详解】 由，可知抛物线与轴交于， 由，；，知抛物线的对称轴为直线， 结合，可知抛物线的顶点是等， 故答案为：抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是（答案不唯一，写出一条即可）； 【小问2详解】 将，，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ， 抛物线的顶点是， 把先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得， 抛物线的顶点为， 抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，涉及平移变换，待定系数法等，解题的关键是二次函数性质及平移的规律． 20. 为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）补全上面的条形统计图； （2）求扇形E的圆心角度数； （3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）792人 【解析】 【分析】（1）根据选C的人数与占比即可求得总人数，进而求得选D的人数，即可补全条形统计图； （2）用360°乘以选E的占比即可求解； （3）根据3600乘以选A的占比即可求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：90÷30%＝300（人）， 所以选D的人数为300×25%＝75（人）， 补全条形统计图为： 【小问2详解】 扇形E的圆心角度数为360°×＝18°； 【小问3详解】 3600×＝792（人）， 估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数为792人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） （1）求此时水桶B所经过的路径长； （2）求此时水桶B上升的高度． 【答案】（1）1.7米 （2）1.6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的性质应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由米，，得米，进而根据弧长公式求解即可； （2）过点O作，过点B作于点C，过点作于点D． 根据对顶角相等得，．在和中，解直角三角形即可得解。 【小问1详解】 解：∵米，， ∴米， ∴水桶B所经过的路径为圆心角度数为54.5度，半径为1.8米的弧长， ∴（米）． 【小问2详解】 解：如图，过点O作，过点B作于点C，过点作于点D． ∵，，， ∴，， ∴，． ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度约为1.6米． 22. 在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程（千米）随时间（分）变化的图象（全程）如图，解决下列问题， （1）求线段所在的直线的函数表达式； （2）求两人第一次相遇时，行驶的时间； （3）求这次越野赛的全程是多少； （4）两人第二次相遇时，行驶了多长时间？ 【答案】（1） （2）两人第一次相遇时，行驶的时间是分钟 （3）这次越野赛的全程是 （4）两人第二次相遇时，行驶了分钟 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）在中，令解得x的值，即可得两人第一次相遇时，行驶的时间； （3）使用待定系数法求出直线的表达式，再求出时，的值，即可得到越野赛的全程； （4）先求出直线的解析式，与直线联立，求出交点的坐标，即可得到两人第二次相遇的时间． 【小问1详解】 解：设线段所在的直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴线段所在的直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得， 答：两人第一次相遇时，行驶的时间为分钟； 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入，得， 答：这次越野赛的全程是； 【小问4详解】 解：直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， 答：两人第二次相遇时，行驶了分钟． 23. 定义：若连接三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线． （1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，求证：． （2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：； （3）在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转，点旋转到点，点旋转到点，当旋转到如图3的位置时，，，三点共线，恰好是的相似分割线，求的值． 【答案】（1）证明详见解析 （2）证明详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，结合中线的性质可得，命题得证； （2）根据全相似分割线的定义容易得到，利用面积法可得，变形得，结合勾股定理，通过变形可得结果； （3）设，，同理（2）可得，由可得．由旋转的性质可得，，，由可得．在直角中，使用勾股定理构造方程，解得，计算出的值即可． 【小问1详解】 证明：∵为钝角， ∴， ∵是的相似分割线， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：根据题意可知，与相似， ∵， 又∵， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在直角中，， ∴， 两边取倒数，得， 裂项，得， 化简，得； 【小问3详解】 解：设，，则， 同理（2）可知，，， ∴，即， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∵是的相似分割线， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 化简，得， 因式分解，得， ∵， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法，旋转的性质，理解新定义，运用分类讨论思想判断出相似三角形的对应关系是解题的关键． 24. 如图1，四边形内接于，C是弧的中点，的平分线交于点E． （1）求证：． （2）如图2，F是上的动点，连接并延长交直线于点G，连接，，求证：． （3）如图3．在（2）的条件下，若是的直径，且点A与点F关于对称． ①当时，求的值． ②若，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，将转化为，转化为，进一步得出结论； （2）连接，证明，进而推出，从而得出结论； （3）①连接，交于M，作直径，连接，设和交于点N，过点作于点，设、，表示出，根据，从而得出，从而得出，在直角三角形中根据面积法求得，从而得出，根据求得，根据，进一步求得结果； ②同①辅助线相同：连接，交于M，作直径，连接，设和交于点N，过点作于点，设的半径为r，同理①得，表示出，，根据，表示出，从而表示出，进而得出的函数解析式，据此解答． 【小问1详解】 证明：点C是弧的中点， ， 、， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图1，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①解：连接，交于M，作直径，连接，设和交于点N，过点作于点， 如图2， 点A与点F关于对称， ， ， 是的直径， ， ， 设、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 、， ， ； ②如图3，连接，交于M，作直径，连接，设和交于点N，过点作于点， 设的半径为r， 由①得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，圆周角定理及其推论等知识，解决问题的关键是较强的理解和计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $