《19.1 二次根式及其性质》课件 2025—2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级（下） 第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 1 正数有 个平方根且 互为 数 0 的平方根是_______ 负数_____平方根 非负数 a 的平方根表示为 . 平方根的性质 1 两 相反 零 没有 复习导入 正数只有____个算术平方根 0 的算术平方根是_____ 负数_____算术平方根 非负数 a 的算术平方根 表示为 . 算术平方根的性质 2 没有 零 一 自学提示 自学教材第2页： 完成教材思考上提出的问题. 思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m²，则它的宽为 m. 解析： 长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x) 2x2＝130 x2＝65 探究新知 知识点： 二次根式的概念 (2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 解析： S大正方形 = a2 ＋1 边长 = (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0) 解析： h = 5t2 ． 被开方数(式)大于 0 不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根. 问题1 这些式子还有什么共同特征？ 含有“ ”，根指数是 2 问题2 是否存在 ，为什么呢？ 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外在特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数(式) a≥0 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： √ √ √ × × 典例精析 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x - 2≥0，得 x≥2. 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， ∴ x＞1. 解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1≠0，∴ x≠1. ∴ x≥-3 且 x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 答：前者 x 为全体实数；后者 x≥0. 问题 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 例3 (1) 当 a＝－2 时，二次根式 的值是 ； (2) 当 a＝ 时，二次根式 的值是 ； (3) 当 a＝4 时，二次根式 的值是 ； 2 3 1 归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 二次根式 抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集 我们把形如___________的式子叫作二次根式 课堂小结 非负数 2.式子 有意义的条件是 （ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 3. 当 x =____ 时，二次根式 取最小值， 其最小值为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 当堂练习 4.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ; 第十九章 二次根式 19.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 人教版八年级（下） 18 定义 二次根式的双重非负性 二次根式 中，a____0且 ___0 二次根式 我们把形如__________的式子叫做二次根式 ≥ ≥ 复习导入 知识点1：二次根式的双重非负性 那么当 a≥0 时， 的大小是怎样的呢？ 有意义 a≥0 回顾之前思考的过程. 分别表示 65，， ，0 的 根． 算术平方 探究 探究新知 0 形如 ( 一般 ) 意义 大小 总结 (a＞0) (a = 0) 表示 a 的算术平方根 表示 0 的算术平方根 ＞0 ＝0 当 a≥0 时， ≥0 实例 ( 特殊 ) 二次根式的被开方数或式非负(a≥0) 二次根式的值非负 ( ≥0) 二次根式 的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数 (或式) 的算术平方根.对于任意一个二次根式 归纳总结 例1 已知实数 m，n 满足｜m - 2｜+ = 0， 则 m = ，n = . 2 1 1. 已知 (x－2)²＋ ＝0，则 xy 的值为 . 【练一练】 －2 典例精析 问题：根据算术平方根的意义填空： ; ＝ ; 因此，3. 分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 3 的非负数. 3 0.5 0 因此， 同理， 分别是 0.5， ，0，的算术平方根. 知识点2： （a≥0）的性质 【知识要点】 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式. 一般地， ＝a (a≥0). 典例精析 例2 计算： 解析： 1.5 积的乘方： (ab)2 = a2b2 20 ＝a (a≥0) 2. 等式 成立的条件是 . 1. 计算： 分析： x - 2≥0 x≥2 练一练 分数的乘方： 答案：(1) 5. ＝a (a≥0) (2) 18. (3) 12. (4) 问题：填空： ＝ ； 2 0.1 0 【拓展】当 a＞0 时， 当 a＝0 时， a 0 知识点3： 的性质 ＝a (a≥0). 即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 一般地，根据算术平方根的意义： 【知识要点】 【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 不成立. 问题：填空： ＝ ； 2 0.1 猜想： 证明： 当 a＜0 时， = -a ∵ a＜0，∴ -a＞0，则 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0)， -a (a＜0). 【知识要点】 ＝|a|＝ 问题：如果 a 是任意实数，那么如何化简 ？ 0 (a＝0)， 例3 化简： 解析： 4 5 3. 计算： 8 -1.2 练一练 π - 3.14 3-1 3-1 3.14 - π ＜0 幂的乘方的逆运 算：amn = (am)n 例3 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： a b 分析： | a | - | b | + | a - b | -2a 原式 = -a - b - (a - b) 上式 a＜0，b＞0，a - b＜0 课堂小结 性质 拓展性质 二次根式 ＝a (a≥0) ＝a (a≥0) ( a 为全体实数 ) 1. 化简： (1) ＝ ; (2) ＝ ; (3) ＝ ; (4) ＝ . 3 81 4 2 当堂练习 基础练习 2.当 1 < x < 3 时， 的值为 ( ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 D 3. 已知 a、b 是实数，且满足 ， 那么 a + b 的值是________. 1 解： 4.利用 a ＝ (a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2) 2.5 ； (3) ； (4) 0 . 解：根据数轴可知 b＜a＜0， ∴ a + 2b＜0，a - b＞0， 则 = | a + 2b | + | a - b | = - a - 2b + a - b = - 3b． 能力提升 5. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简： a b 0 6. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： 分析： | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a | 上式 a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c) 3a + b - c 三角形三边关系：a + b + c＞0 b + c - a＞0，c - b - a＜0 $