19.1 二次根式及其性质 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1二次根式及其性质 同步练习 一、单选题 1．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．与相等的式子是（    ） A． B． C． D． 3．要使有意义，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知，化简：的结果为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第行从左向右数第个数是（    ） A． B． C． D． 6．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7． ； ； 8．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 9．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ． 10．如果，那么的值是 ． 11．化简： ． 12．已知a是负数，b是正数，化简，正确的结果是 ． 13．观察下列各式，第一个为，第二个为，第三个为，类比上述式子，根据规律，第七个式子为 ． 14．若等式成立，则x的取值范围为 ． 15．若，求 ． 16．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…那么第10个数据应是 ． 三、解答题 17．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 18．计算： (1)； (2)． 19．阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围． 分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式 在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是 (1)此例题的解答过程运用了哪些数学思想？请列举例说明． (2)化简 20．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 21．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． 因为，所以，所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较下列实数的大小： (1)与． (2)与． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意； 、为二次根式，所以此选项符合题意； 、当或时，为二次根式，所以此选项不符合题意； 、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的定义，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键． 2．D 【分析】根据二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】， 解：A．，故A不符合题意； B．无意义，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D． ，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子中)是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再求出的范围即可． 【详解】解：要使式子有意义，必须， 解得：． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴原式 故选：B 5．D 【分析】本题考查了数字规律题，二次根式的性质化简，根据题意，分析第1行的第2个数，第2行的第3个数，第3行的第4个数，第4行的第5个数，从而找出规律第n行的第个数是，由此即可求解，掌握数字规律中特点数的计算方法，二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：第1行的第2个数是； 第2行的第3个数是； 第3行的第4个数是； 第4行的第5个数是 ...... ∴第行的第个数是， ∴第2023行从左向右数第2024个数是， 故选：D ． 6．D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 7． 20 / 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为20；． 8． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 9．/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，进而求出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到，即，可确定，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法运算是解题关键．根据二次根式的乘法，可得答案． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 13． 【分析】根据规律，列出关于的式子，代入，即可求解， 本题考查了，列代数式，二次根式的性质与化简，解题的关键是：找出规律，列出代数式． 【详解】解：根据规律可得：， 当时，，即：， 故答案为：． 14．且 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件以及非0数的0次幂等于1列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式、二次根式有意义的条件以及0指数幂的意义，即非0数的0次幂等于1，0的0次幂无意义． 15．2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 16． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、数据规律等知识点，根据已有数据发现规律是解题的关键． 先根据二次根式的性质整理数据，然后归纳规律，再利用规律求解即可． 【详解】解：∵0，，，3，，，，…… ∴，，，，，，，……， ∴第10个数据应是． 故答案为：． 17．(1) (2)为任意实数 (3) (4)且 【解析】略 18．(1)5 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，考查知识包括零指数幂，实数绝对值，二次根式性质化简等．正确解答的关键是熟练掌握相关知识进行计算． （1）先根据公式：，，化简，然后计算即可； （2）先去绝对值，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 19．(1)数形结合思想，分类讨论思想 (2)当时，原式；时，原式；当时，原式 【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论； （2）分，及三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）数形结合思想：借助数轴进行分析的值； 分类讨论思想：在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边． （2）原式 ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论． 20．(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 21．(1) (2) 【分析】本题运用作差法比较实数大小，作差法的核心思路是：对于两个实数，计算，若，则；若，则；若，则。分别对两小问按照此思路进行分析计算． 【详解】（1）解： ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． （2）解： ∵，且 ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $