第十九章 二次根式 习题课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加减 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 可以合并的二次根式 1.下列二次根式中，化简后能与 合并的是( ) C A. B. C. D. 2.下列二次根式化简后可以合并的一组是( ) C A.和 B.和 C.和 D.和 分层训练 构建学科思维 3 3.【题组训练】 （1）若最简二次根式与能进行合并，则 的值为 ( ) C A. B. C.1 D. （2）若与可以合并，则 的最小正整数值是( ) D A.18 B.8 C.4 D.2 分层训练 构建学科思维 4 4.下列二次根式:,,,, . （1）能与 合并的是_ ______; （2）能与 合并的是______. , 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点二 二次根式的加减运算 5.计算： （1）（______） ______; （2）_____-_____（___-___）____ ____. 6 4 3 2 6.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 7.计算： （1）（2025·自贡） ___； （2） _____； （3） ___； （4） _____. 0 8.一个三角形的三边长分别为，， ,则这个 三角形的周长是______________ . 分层训练 构建学科思维 7 9.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 10.【题组训练】 （1）若,则 的值为( ) D A. B.1 C.2 D.3 （2）若，则 的值是( ) B A.3 B.12 C.15 D.27 （3）若,则___, ___. 0 分层训练 构建学科思维 10 11.当时，代数式 的值是___. 2 12.【新考向·新定义】对于任意正数， ，定义运算“*”如下： 计算： ________. 分层训练 构建学科思维 11 13.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 14.已知，求 的近似值.（结果保留小 数点后两位） 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 15.已知一个三角形的三边长分别为，， ． （1）求它的周长（要求结果化简）； 解：三角形的周长为 ． 分层训练 构建学科思维 17 （2）请你给一个适当的 值，使它的周长为整数，并求出此时三 角形周长的值． 解：当时，三角形的周长为 （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 18 16.【运算能力】嘉琪准备完成题目“计算： ”时，发现“ ”处的数字印刷不清楚． 分层训练 构建学科思维 19 （1）他把“ ”处的数字猜成4，请你计算 的结果; 解： ． 分层训练 构建学科思维 20 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 ．” 通过计算说明题目中的“ ”处的数字是几. 分层训练 构建学科思维 21 解：设“ ”处的数字为 ，则 . 这个题的正确答案是,，解得 ，即“ ”处 的数字是8． 分层训练 构建学科思维 22 $第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第3课时 最简二次根式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 最简二次根式 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) D A. B. C. D. 2.下列式子中，属于最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（益阳中考）将 化为最简二次根式，其结果是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 5.（教材P9例7变式） 计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 知识点二 综合运算 6.计算： （1） ___； （2） ___. 4 1 分层训练 构建学科思维 9 7.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （5） ； 解：原式 . （6） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 8.若，把 化成最简二次根式为( ) C A. B. C. D. 9.【新考向·新运算】规定一种新运算： （其中，），则 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 10.写出一个大于2且小于3的最简二次根式：___________________. 11.（教材P11习题变式）已知 , ，则 的近似值为______（结果保留3位小数）. （答案不唯一） 1.225 12.（教材P10练习T3变式）现有一个体积为 的长方体， 它的高为，长为 ，则这个长方体的宽为_____ . 分层训练 构建学科思维 14 13.若与 是被开方数相同的最简二次根式，求 的值． 解：与 是被开方数相同的最简二次根式， 解得 分层训练 构建学科思维 15 ， 符合题意， ． 分层训练 构建学科思维 16 14.【新考向·真实问题情境】安全问题，时刻警醒．高 空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物 件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常 常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空 坠物下落的时间（单位：）和高度（单位： ）近 似满足公式 （不考虑风速的影响， ） . 分层训练 构建学科思维 17 （1）求物体从 的高空落到地面的时间. 解：把 代入公式,得 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）小明说物体从 的高空落到地面的时间是（1）中所求 时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由. 解：不正确． 理由：当时， ． ， 不正确. 分层训练 构建学科思维 19 （3）已知从高空坠落的物体所带能量单位： 物体质 量 高度，某质量为的鸡蛋经过 落在地上， 这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？ （注：杀伤无防护人体只需要 的能量） 分层训练 构建学科思维 20 解：当时，，解得 ． 鸡蛋产生的动能 ． 杀伤无防护人体只需要的能量，且 , 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 分层训练 构建学科思维 21 $第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第2课时 二次根式的除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 二次根式的除法 1.计算: （1） ； 20 5 4 2 （2） . 6 4 2 分层训练 构建学科思维 3 2.下列各式中，计算正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （4） ; 解：原式 . （5） ; 解：原式 . （6） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点二 商的算术平方根的应用 4.化简: （1） ； 25 （2） ___. 49 分层训练 构建学科思维 7 5.化简: _____. 6.已知成立，则 的取值范围是__________. 分层训练 构建学科思维 8 7.化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 ▶ 知识点三 二次根式除法的应用 8.的面积，底边 ，则底边上的高为 _____ ． 9.裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为 ，长为，则该长方形银片的宽为___ ． 分层训练 构建学科思维 11 10.（河北中考）若 ， ，则 ( ) A A.2 B.4 C. D. 分层训练 构建学科思维 12 11.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （4） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 （5） . 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 16 12.设长方形的面积是，相邻两边的长分别是， . （1）若，，求 的值； 解：根据题意，得 . （2）若，，求 的值. 解：根据题意，得 . 分层训练 构建学科思维 17 13.已知，且为奇数,求 的值. 分层训练 构建学科思维 18 解： ， ，，解得 . 又为奇数， 只能取7. 原式 . 分层训练 构建学科思维 19 14.【新考向·解题方法型阅读理解】老师在黑板上写出下面的一 道题： 已知,，用含，的代数式表示 .两位同学在 黑板上分别写了自己的解法： 同学甲： 解： 分层训练 构建学科思维 20 同学乙： 解： （1）你认为两位同学的解法都正确吗？ 解：两位同学的解法都正确. （2）请你再给出一种不同于二人的解法. 解：答案不唯一.如： . 分层训练 构建学科思维 21 $第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 二次根式的乘法 1.（2025·广东）计算 的结果是( ) B A.3 B.6 C. D. 2.等式 成立的条件是( ) A A. B. C. D.或 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1）（2025·广西） _____； （2）（2025·淮安） ___． 2 分层训练 构建学科思维 4 4.（1）【答题模板】按照二次根式的乘法法则填空： 计算： . 解：原式 . 2 -1 108 -12 分层训练 构建学科思维 5 （2）【针对练习】计算： ① ； 解：原式 . ②（淮安中考） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 ③ ； 解：原式 . ④ . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点二 积的算术平方根的应用 5.化简: （1） ; 0.49 （2） ; 9 6 0.7 4.2 3 9 3 （3） . 4 分层训练 构建学科思维 8 6.下列二次根式中，化简结果等于 的是( ) B A. B. C. D. 7.若，则 ( ) B A. B. C. D. 8.（教材P7练习T3变式）若一个长方形的长为 ，宽为 ，则它的面积为______ . 分层训练 构建学科思维 9 9.（教材P7例2变式） 化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 10.（教材P7例3变式）计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 11.已知 ，则有( ) D A. B. C. D. 12.如果的结果是一个正整数，那么 可取的最小正整数 为( ) C A.2 B.4 C.3 D.12 分层训练 构建学科思维 14 13.设，，用含，的式子表示 ______. 14.【训练角度：平面直角坐标系与二次根式的化简】若点 在第四象限，则化简 的结果是_________. 分层训练 构建学科思维 15 15.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 17 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 18 16.【新考向·跨物理学科】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的 距离估计车辆行驶的速度.在某高速公路上，所用的经验公式是 ，其中表示车速（单位：千米/时）， 表示 刹车后车轮滑过的距离（单位：米）， 表示摩擦系数， .在这条高速公路发生的一次交通事故中，测得 米，则肇事汽车的速度大约是多少？ 分层训练 构建学科思维 19 解：当 ， 时， （千米/时）. 答：肇事汽车的速度大约是96千米/时. 分层训练 构建学科思维 20 17.（教材P17“阅读与思考”变式） 海伦（约公元50年），古希腊 几何学家，利用三角形的三边求面积：如果一个三角形的三边长 分别为，，，记 ，那么这个三角形的面积 .这个公式被称为海伦公式. 分层训练 构建学科思维 21 秦九韶（约 约1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利 用三角形的三边求面积的秦九韶公式 . 通过公式变形，可以发现它们实质上是同一个公式，所以海伦公 式也称为“海伦-秦九韶公式”. 分层训练 构建学科思维 22 请选择合适的公式求下列三角形的面积： （1）三角形的三边长依次为，， ; 解： ， . 分层训练 构建学科思维 23 （2）三角形的三边长依次为，， . 解：将，， 代入秦九韶公式，得 . 分层训练 构建学科思维 24 $第十九章 二次根式 数学活动 纸张规格的奥秘 1 （素材来源：人教8下P18数学活动）综合与实践. 主题：“ 系列纸”的研究. 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用 的.目前在国际间最常使用的是 所制定的标准，并将尺寸冠以 编号，例如, 等.在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张 尺寸.在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸 张尺寸大大提高了生活的便利性.#1.2 分层训练 构建学科思维 2 探究：如图， 系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等；#1.3.1 ②纸对裁后可以得到两张纸， 纸对裁后 可以得到两张纸， , 纸对裁后可以得到 两张 纸. 问题： （1）纸面积是纸面积的多少倍?纸周长是 纸周长的多 少倍? 分层训练 构建学科思维 3 解：纸对裁后可以得到两张 纸， 纸面积是 纸面积的2倍. 设纸的长为，宽为，则纸的周长 ， 则纸的长为，宽为，纸的长为，宽为 ， 纸的周长 . 纸周长是 纸周长的2倍. 分层训练 构建学科思维 4 （2）根据 系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽 （长大于宽）之比. 解：设纸的长和宽分别为， ， 则纸的长和宽分别为， ， ， . 故该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为 . 分层训练 构建学科思维 5 （3）设纸的质量为克，试求出纸的质量（用含 的代数式 表示）. 解：纸的质量为克，纸面积是 纸面积的一半， 纸的质量为克，同理，纸的质量为克， ， 纸的质量是 克. 分层训练 构建学科思维 6 $第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 第2课时 二次根式的混合运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 二次根式的混合运算 1.（1）计算 时，先算____法，再算____法，过程 如下：原式_________ _____； （2）计算 时，先算______里面的，再算____法； 也可利用______律，先算____法，再算____法，结果是___. 乘 加 括号 乘 分配 乘 减 2 分层训练 构建学科思维 3 2.（青岛中考）计算 的结果是 ( ) B A. B.1 C. D.3 分层训练 构建学科思维 4 3.计算： （1）（威海中考） _______; （2） ____; （3） ___； （4） _________. 25 3 4.若长方形的长为，宽为 ，则此长方形的面 积为____ . 24 分层训练 构建学科思维 5 5.计算： （1） ； 解：原式 ． （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原式 ． （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点二 乘法公式在二次根式混合运算中的应用 6.陈老师在黑板上写了一个式子：，“ ”中的 运算符号没有给出.如果要求运算结果是有理数，那么“ ”中的运 算符号可能是( ) A A.或× B.×或 C.或- D.-或 7.（2025·天津）计算 的结果为____． 8.计算： _________. 60 分层训练 构建学科思维 8 9.计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 10.已知, . 求： （1）代数式 的值; 解：， ， . 分层训练 构建学科思维 10 （2）代数式 的值. 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 11.老师设计了一个“接力游戏”，用 合作的方式完成二次根式的混合运 算，如图，老师把题目交给一位同 学，他完成一步解答后交给第二位 同学，依次进行，最后完成计 B A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负 责的式子出现错误的是 ( ) 分层训练 构建学科思维 12 12.计算： _________. 13.幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格， 要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， 则 的值为_________． 分层训练 构建学科思维 13 14.如图，在矩形 中无重叠放入面积分别 为和 的两张正方形纸片，求图中 阴影部分的面积. 分层训练 构建学科思维 14 解： 两张正方形纸片的面积分别为和 ， 它们的边长分别为 ， ， ， ， ． 答：阴影部分的面积为 . 分层训练 构建学科思维 15 15.【新考向·解题方法型阅读理解】在进行二次根式的化简时， 我们有时会遇到形如, 的式子，对于这类式子，我们可 以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母 有理化.#1 分层训练 构建学科思维 16 例如： ； .#1.1.2.1 分层训练 构建学科思维 17 （1）用上述方法化简: ; 解： . 分层训练 构建学科思维 18 （2）计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 19 $第十九章 二次根式 章末复习 二次根式 1 ► 命题点1 二次根式的概念及有意义的条件 1.下列各式中，一定是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 2.若式子有意义，则实数 的取值范围是_______________． 3.已知，是实数，且满足，则 的值是_ _． 且 分层训练 构建学科思维 2 ► 命题点2 二次根式的性质及化简 4.下列各式中，正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 5.如下是小明的作业，他判断正确的个数是( ) （√） （√） （×） （√） C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 4 6.实数，在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是( ) B A.0 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 7.（1）计算：___, ___； （2）化简 的结果是______; （3）若点在第二象限，则化简 _______． 5 7 分层训练 构建学科思维 6 ► 命题点3 最简二次根式 8.（桂林中考）下列根式中，是最简二次根式的是( ) D A. B. C. D. 9.如果最简二次根式与能合并，那么 ___. 1 分层训练 构建学科思维 7 ► 命题点4 二次根式的运算 10.（西宁中考）下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 11.估计 的值在( ) C A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 分层训练 构建学科思维 8 12.（2025·南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的 三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，， ，三角 形的面积.若，， ， 则 的值为____． 分层训练 构建学科思维 9 13.【新考向·结论开放性】（潍坊中考）从，， 中任意 选择两个数，分别填在算式里面的“”与“ ”中， 计算该算式的结果是_ ________________________．（只需写出 一种结果） （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 10 14.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （3） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 13 15.已知，，求 的值. 解： . 当, 时， 原式 . 分层训练 构建学科思维 14 16.下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务. 计算： . 解:原式 …………第一步 …………第二步 .…………第三步 分层训练 构建学科思维 15 任务一： 以上步骤中，从第____步开始出现错误，这一步错误 的原因是__________________________________. 一 没有将带分数化为假分数再进行化简 任务二： 请写出正确的计算过程. 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 任务三： 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二 次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议. 解：二次根式运算时，认真观察题目特点，充分利用乘法公式简 化计算过程.（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 17 ► 命题点5 二次根式的应用 17.如图，在正方形中，正方形 和正方 形的面积分别为12和3，则正方形 的边 长为( ) D A.9 B.15 C. D. 分层训练 构建学科思维 18 18.在数学课上，老师将一个长方形的长增加 ,宽增加 ，就成了一个面积为 的正方形，求原长方形的面积. 解：设正方形的边长为 .由题意，得 ，解得 （负值已舍去）. 原长方形的长为 ，宽为 . 原长方形的面积为 . 分层训练 构建学科思维 19 ► 命题点6 二次根式中的规律问题 19.观察下列各式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 分层训练 构建学科思维 20 第4个等式： ； …… 根据上述规律，解答下面的问题： 分层训练 构建学科思维 （1）请写出第个等式（用含正整数 的式子表示），并证明. 解：第个等式是（ 是正整数），证明如下： . 分层训练 构建学科思维 22 （2）计算： . 解： . 分层训练 构建学科思维 23 $第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 二次根式的概念 1.下列各式是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 2.下列各式：；； ； ；； .其中二次根式有___个. 3 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 知识点二 二次根式有意义的条件 3.【题组训练】 （2025·福建）若在实数范围内有意义，则实数 的值可 以是( ) D A. B. C.0 D.2 分层训练 构建学科思维 4 【变式1】 （2025·北京）若 在实数范围内有意义，则 实数 的取值范围是______． 【变式2】 （2025·河南）请写出一个使 在实数范围内有 意义的 的值：_________________． 0（答案不唯一） 【变式3】 若式子在实数范围内有意义，则 的( ) A A.最大值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最小值是 分层训练 构建学科思维 5 4.（教材P2例1变式）当 满足什么条件时，下列各式在实数范围 内有意义？ （1） ； 解：由，得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 6 （2） ； 解：由，得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 7 （3） ； 解：由，得 . 当时， 在实数范围内有意义. （4） ； 解：由，得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 8 （5） ； 解：由，得 为任意实数. 当为任意实数时， 在实数范围内有意义. （6） . 解：由，得 为任意实数. 当为任意实数时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 知识点三 二次根式的实际应用 5.跳水运动员从跳台跳下，他在空中的时间 （单位：秒）与跳台 高度（单位：米）满足关系.如果用含有的式子表示 ， 则 _ ___. 6.（教材P3练习T1变式）若一个长方形的面积为 ，它的长 与宽的比为，则它的长为_____，宽为____ . 分层训练 构建学科思维 10 7.（1）当时， ____; （2）当时， _____; （3）当时， ____. 分层训练 构建学科思维 11 8.设，为实数，且，则 的值是 ( ) A A.1 B.9 C.4 D.5 分层训练 构建学科思维 12 9.【易错点：因不能全面考虑字母的取值范围致错】（2025·广 州）要使代数式有意义，则 的取值范围是_______________． 10.当_ ___时，式子 取最小值，这个最小值是___. 且 1 分层训练 构建学科思维 13 11.当 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 解：由题意，得解得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 14 （2） ； 解：由题意，得 ， . 又 ， .解得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 15 （3） ； 解：由题意，得 解得且 . 当且时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 16 （4） . 解：由题意，得解得 . 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 17 12.【训练角度：二次根式有意义的条件与三角形的三边关系结 合】已知，为等腰三角形的两条边长，且， 满足 ，求此三角形的周长． 分层训练 构建学科思维 18 解： ， 且，， . 当为等腰三角形的腰时，三边长分别是2,2,4,由于 , 故不能构成三角形; 当为等腰三角形的腰时，三边长分别是4,4,2,由于 ,故 能构成三角形.此时三角形的周长是 . 综上所述，此三角形的周长是 10. 分层训练 构建学科思维 19 13.【新考向·解题方法型阅读理解】先阅读，后回答问题：当 为 何值时， 有意义？ 分层训练 构建学科思维 20 解：要使该二次根式有意义，需 ，由乘法法则，得 或 解得或 . 当或时， 有意义. 体会解题思想后，请你解答：当为何值时， 有意义？ 分层训练 构建学科思维 21 解：要使该二次根式有意义，需 ， 即或 解得或 . 当或时， 有意义. 分层训练 构建学科思维 22 $第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点一 的应用 1.（苏州中考）计算 的结果是( ) B A. B.3 C. D.9 分层训练 构建学科思维 3 2.（教材P5习题变式）利用 ，把下列非负数 分别写成一个非负数的平方的形式： （1） _______； （2） _________； （3） _ _____； （4）_______ . 3.等式 成立的条件是______. 分层训练 构建学科思维 4 4.（1）【答题模板】计算： . 解：原式 . （2）【针对练习】计算： ____；__； _____； __. 0.8 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点二 的应用 5.化简： （1） ___； （2）（德阳中考） ___； （3） ______. 8 3 分层训练 构建学科思维 6 6.（杭州中考）下列各式中，正确的是( ) A A. B. C. D. 7.已知二次根式 的值为4，那么 的值是( ) D A.4 B.16 C. D.4或 8. ________. 分层训练 构建学科思维 7 9.（教材P4例3变式）化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 10.下列等式中：； ； ； .正确的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 10 11.【题组训练】 （1）若，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. （2）（乐山中考）已知，化简 的结 果为( ) B A. B.1 C. D. 分层训练 构建学科思维 11 （3）当时， ________． （4）已知实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 的结果是________. 分层训练 构建学科思维 12 12.（教材P5习题 变式） （1）已知 是整数，是正整数，则 的值是_________； （2）已知 是整数，则正整数 的最小值是___. 4或7或8 2 分层训练 构建学科思维 13 13.计算： （1） ; 解:原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 15 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 14.【新考向·过程纠错】在一节数学课上，李老师出了这样一道 题目： 先化简，再求值：，其中 . 小明是这样计算的： 解： . 当时，原式 . 小荣是这样计算的： 解： . 分层训练 构建学科思维 17 聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？ 解：小荣的计算结果正确，小明错在 的化简上，当 时， . 分层训练 构建学科思维 18 15.【新考向·综合与实践】探究题： ___，____，___，__， __， ___. 3 0.5 6 0 分层训练 构建学科思维 19 根据计算结果，回答下列问题： （1）一定等于 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的 语言描述出来; 解：不一定等于 ． 当时， ； 当时， ． 分层训练 构建学科思维 20 （2）利用你总结的规律，计算： ①若，则 ______； ② __________； 分层训练 构建学科思维 21 （3）已知实数， 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简: . 解：由数轴，得，，则 ， 故原式 ． 分层训练 构建学科思维 22 $