8.4用因式分解法解一元二次方程 同步自主提升训练题 2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《8.4用因式分解法解一元二次方程》同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 2．已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．3 B．5 C．或5 D．3或 3．若代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或2 D．或2 4．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（     ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 6．如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，那么我们称这两个方程为“友好方程”，若关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 8．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则m的值为（    ） A． B．7 C．1 D．7或1 二、填空题 9．当 时，代数式和的值相等． 10．方程的解是 ． 11．关于x的一元二次方程有一根为零，则m的值为 ． 12．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ． 13．如果正数a是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么a的值是 ． 14．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ． 15．关于x的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ． 16．已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是 ． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……………第一步 移项，合并同类项，得．……………………………第二步 系数化为1，得．………………………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出正确的解答过程． 19．已知，计算的值． 20．关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值； (2)求出方程的根． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 22．阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 23．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D B A D C 1．解： 或 解得：或， 故选：C． 2．解：设， 原方程变为：， ， 解得：， 因为平方和是非负数， 所以的值为5； 故选：B． 3．解：代数式与的值互为相反数， 则， 整理得：，即， 解得：或， 故选：B． 4．解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 5．解： 解得：，， 三角形是等腰三角形， 、、或、、， ， 此种情况不存在； 三角形的三边为：、、， 三角形的周长为：， 故选：B． 6．解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 7．解：， 分解因式，得， 解得． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． 所以的值为或1． 故选：D． 8．解：根据题意得，， 整理得， 解得：， 故选：C． 9．解：由题意得，， 整理得：， 解得：， ∴当时，代数式和的值相等， 故答案为：2． 10．解： 移项，得 或 解得：，． 11．解：∵关于的方程有一个根为零， ∴， ∴， ∴或， 解得， 根据题意得，即， ∴ 故故答案为：． 12．解：设， 原方程可化为：， 去分母得，即， 故答案为：． 13．解：根据题意，得①，②， ，得， 解得或． ∵， ∴． 故答案为：3． 14．解：∵是“奇妙方程”， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 15．解：令， 则方程可化为， 可知方程的解为， 或， 解得． 故答案为：． 16．解： ， ， 或， 的两边是方程的两根， 的两边为、， 当是等腰三角形且第三边为时， 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知不能构成三角形，故不符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 故答案为：或． 17．（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． （2）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 18．解：任务一：解：小明的解法从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以，需要， 故答案为：一，方程两边同除以，需要； 任务二：解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19．解： ， ， ， ， ，， ∵，， ， 当时，原式． 20．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴方程为， 即， 解得． 21．（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 22．解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 23．（1）解：为等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵是直角三角形，为斜边， ∴，则 而， ∴一元二次方程有两个相等的实数根； （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司 $$