7.3二次根式的加减 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《7.3二次根式的加减》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．估算的结果应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（   ） A． B． C． D． 8．用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 二、填空题（满分32分） 9．若，则整数a的值为________． 10．在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是_____． 11．最简二次根式与可以合并，则的值为________． 12．若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 13．一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_____________． 14．计算：___． 15．若 ，求 的值为 ________． 16．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则______． 三、解答题（满分56分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．计算：． 19．先化简，再求值：，其中满足． 20．如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 21．小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． (1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； (2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 22．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并）是解题的关键．先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否为，若为则能与合并，否则不能． 【详解】解：已是最简二次根式，被开方数是，能与合并，故A项不符合题意． 已是最简二次根式，被开方数是，能与合并，故B项不符合题意． ，被开方数是，不能与合并，故C项符合题意． ，被开方数是，能与合并，故D项不符合题意． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的加减运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，故错误． 选项B：3与不是同类二次根式，无法合并，，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键．先根据二次根式加减运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：． ∵， ∴，即． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了二次根式的化简与减法，对二次根式进行化简并利用二次根式的减法即可求出a． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 先化简和，然后合并即可． 【详解】解：原式 故选：D． 6．A 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．根据三角形周长公式，用周长减去已知的两条边的长度，即可求出第三边的长度，计算过程中需要先将二次根式化为最简二次根式． 【详解】解：第三边长为． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化等知识，先求出，由是的小数部分，是的小数部分，求得，，再代入即可得出结论． 【详解】解：∵，而， ∴． 又∵，而， ∴． ∴． 故选：A． 9．6 【分析】本题考查了二次根式的化简以及同类二次根式的合并．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 首先，利用二次根式的性质对进行化简；然后，根据合并同类二次根式的法则，即同类二次根式的系数相加减，根式部分不变，对等式左边的同类二次根式进行合并；即可求解整数的值． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：6． 10． 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查了同类二次根式．根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式运算的应用，熟练掌握以上知识点求出、的值是解题的关键．根据，求出、的值，代入即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ； 故答案为4． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，三角形的周长等于其三边长的和，据此结合二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为， ∴这个三角形的周长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的知识点是平方差公式在二次根式运算中的应用．即,通过观察算式结构，快速简化运算;题目中的两个括号分别呈现“和”与“差”的形式，直接应用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐计算，关键在于识别出公式中的和，即 和． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．5 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的因式分解等知识点，掌握二次根式的化简是解题的关键． 先将分母有理化，因式分解，再将a代入分解后的式子即可． 【详解】解：， ． 故答案为：5． 16． 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算． 根据新定义将数代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知二次根式的加减运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算．先比较二次根式的大小，再去绝对值符号，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 19．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，绝对值的非负性等知识点，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先由平方和绝对值的非负性求解，再根据分式的混合运算法则化简，最后代入并分母有理化求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ， ∵， ∴原式． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键． （1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明，据此可证明结论； （2）过点P作于点E，由角平分线的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，； （2）解：如图所示，过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2)最后的计算结果能和合并，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，同类二次根式，利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）先计算，再化简，判断是否为同类二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：最后的计算结果能和合并，理由如下： 由题意得，， 而， ∵与是同类二次根式，故能合并， ∴最后的计算结果能和合并． 22．(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $